Loi de Dirichlet

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En probabilité et statistiques, la loi de Dirichlet, souvent notée Dir(α), est une famille de lois de probabilité continues pour des variables aléatoires multinomiales. Cette loi (ou encore distribution) est paramétrée par le vecteur α de nombres réels positifs et tire son nom de Johann Peter Gustav Lejeune Dirichlet. Elle est vue comme la généralisation multinomiale de la loi bêta.

Densité de probabilité[modifier | modifier le code]

La loi de Dirichlet d'ordre K ≥ 2 de paramètres α₁, ..., α_K > 0 possède pour densité de probabilité :

${\displaystyle f(x_{1},\dots ,x_{K};\alpha _{1},\dots ,\alpha _{K})={\frac {1}{\mathrm {B} (\alpha )}}\prod _{i=1}^{K}x_{i}^{\alpha _{i}-1}}$

pour tous les x₁, ..., x_K > 0 vérifiant x₁ + ... + x_K-1 < 1, où x_K est une abréviation pour 1 – x₁ – ... – x_K–1. La densité est nulle en dehors de ce simplexe ouvert de dimension (K − 1).

La constante de normalisation est la fonction bêta multinomiale, qui s'exprime à l'aide de la fonction gamma :

${\displaystyle \mathrm {B} (\alpha )={\frac {\prod _{i=1}^{K}\Gamma (\alpha _{i})}{\Gamma \left(\sum _{i=1}^{K}\alpha _{i}\right)}},\qquad \alpha =(\alpha _{1},\dots ,\alpha _{K}).}$

Propriétés[modifier | modifier le code]

Soit ${\displaystyle X=(X_{1},\ldots ,X_{K})\sim \operatorname {Dir} (\alpha )}$, signifiant que les K – 1 premières composantes possèdent la distribution précédente et que

${\displaystyle X_{K}=1-X_{1}-\cdots -X_{K-1}.}$

Posons ${\displaystyle \textstyle \alpha _{0}=\sum _{i=1}^{K}\alpha _{i}}$. Alors

${\displaystyle \mathrm {E} [X_{i}]={\frac {\alpha _{i}}{\alpha _{0}}},}$

et

${\displaystyle \mathrm {Var} [X_{i}]={\frac {\alpha _{i}(\alpha _{0}-\alpha _{i})}{\alpha _{0}^{2}(\alpha _{0}+1)}},}$

En fait, les densités marginales sont des lois bêta :

${\displaystyle X_{i}\sim \operatorname {Beta} (\alpha _{i},\alpha _{0}-\alpha _{i}).}$

Qui plus est pour ${\displaystyle i\neq j}$,

${\displaystyle \mathrm {Cov} [X_{i}X_{j}]=-{\frac {\alpha _{i}\alpha _{j}}{\alpha _{0}^{2}(\alpha _{0}+1)}}.}$

Le mode de la distribution est le vecteur (x₁, ..., x_K) avec

${\displaystyle x_{i}={\frac {\alpha _{i}-1}{\alpha _{0}-K}},\quad \alpha _{i}>1.}$

Agrégation[modifier | modifier le code]

Si ${\displaystyle X=(X_{1},\ldots ,X_{K})\sim \operatorname {Dir} (\alpha _{1},\ldots ,\alpha _{K})}$,alors ${\displaystyle X'=(X_{1},\ldots ,X_{i}+X_{j},\ldots ,X_{K})\sim \operatorname {Dir} (\alpha _{1},\ldots ,\alpha _{i}+\alpha _{j},\ldots ,\alpha _{K})}$. Cette propriété d'agrégation permet d'obtenir la distribution marginale de ${\displaystyle X_{i}}$ mentionnée plus haut.

Distributions associées[modifier | modifier le code]

• Si, pour ${\displaystyle i\in \{1,2,\ldots ,K\},}$

${\displaystyle Y_{i}\sim \gamma (\alpha _{i},1),}$, où γ désigne la distribution Gamma, indépendamment

alors

${\displaystyle V=\sum _{i=1}^{K}Y_{i}\sim \gamma \left(\sum _{i=1}^{K}\alpha _{i},1\right),}$

et

${\displaystyle (X_{1},\ldots ,X_{K})=(Y_{1}/V,\ldots ,Y_{K}/V)\sim \operatorname {Dir} (\alpha _{1},\ldots ,\alpha _{K}).}$

Bien que les X_i ne soient pas indépendants, ils peuvent néanmoins générer un échantillon de ${\displaystyle K}$ variables aléatoires, distribuées selon une distribution Gamma. Malheureusement, puisque la somme ${\displaystyle V}$ est perdue lors de la génération de X = (X₁, ..., X_K), il n'est pas possible de retrouver les variables Gamma initiales.

• Les marginales d'une loi de Dirichlet sont des lois bêta :

${\displaystyle X_{i}\sim \operatorname {Beta} \left(\alpha _{i},\sum _{k=1}^{K}\alpha _{k}-\alpha _{i}\right).}$

Génération de (pseudo-)nombres aléatoires (RNG)[modifier | modifier le code]

Une méthode pour obtenir un vecteur aléatoire ${\displaystyle x=(x_{1},\ldots ,x_{K})}$ à partir de la distribution de Dirichlet de dimension K de paramètres ${\displaystyle (\alpha _{1},\ldots ,\alpha _{K})}$ est fournie par la remarque précédente. Tout d'abord, on tire K variables indépendantes ${\displaystyle y_{1},\ldots ,y_{K}}$ selon des distributions Gamma, chacune avec la densité

${\displaystyle {\textrm {Gamma}}(\alpha _{i},1)={\frac {y_{i}^{\alpha _{i}-1}\;e^{-y_{i}}}{\Gamma (\alpha _{i})}},\!}$

et on pose finalement

${\displaystyle x_{i}=y_{i}/\sum _{j=1}^{K}y_{j}.\!}$

Interprétations intuitives des paramètres[modifier | modifier le code]

Découpage d'une ficelle[modifier | modifier le code]

Une illustration de la distribution de Dirichlet apparaît lorsque l'on désire découper des ficelles (toutes de longueur initiale 1.0) en K pièces de différentes longueurs, et où chaque pièce a, en moyenne, une longueur désignée mais cette longueur est autorisée à varier. Les valeurs α/α₀ spécifient les longueurs moyennes des découpes résultant de la distribution. La variance (disparité autour de la moyenne) varie inversement avec α₀.

Modèles d'urne et simulations du cas particulier des urnes de Pólya[modifier | modifier le code]

Considérons une urne contenant K couleurs différentes. Initialement, l'urne contient α₁ boules de couleur 1, α₂ boules de couleur 2, etc. Procédons alors à N tirages dans l'urne suivant ce protocole : chaque boule tirée est replacée dans l'urne et on y ajoute une boule supplémentaire de même couleur. Lorsque N devient très grand, les proportions des boules de différentes couleurs sont distribuées selon ${\displaystyle \operatorname {Dir} (\alpha _{1},\ldots ,\alpha _{K})}$^[1].

Notons que chaque tirage modifie la probabilité d'obtenir une couleur donnée. Cette modification s'atténue d'ailleurs avec le nombre de tirages, puisque l'effet marginal de l'ajout d'une boule supplémentaire diminue avec l'augmentation du nombre total de boules dans l'urne.

Références[modifier | modifier le code]

Voir aussi[modifier | modifier le code]

Articles connexes[modifier | modifier le code]

• Loi bêta
• Loi binomiale
• Loi multinomiale
• Allocation de Dirichlet latente (LDA)

Liens externes[modifier | modifier le code]

• Dirichlet Distribution
• Estimating the parameters of the Dirichlet distribution

Non-Uniform Random Variate Generation, par Luc Devroye http://cg.scs.carleton.ca/~luc/rnbookindex.html

• SciencesPo: Un package de R qui contient des fonctions pour simuler des paramètres d'une distribution de Dirichlet.

• Portail des probabilités et de la statistique