Lemme de Goursat
Ne pas confondre avec le lemme de Goursat en analyse complexe
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En algèbre, le lemme de Goursat est un théorème de la théorie des groupes.
Énoncé[modifier | modifier le code]
Soient G et G' deux groupes, H un sous-groupe de G×G' tel que les deux projections canoniques, p : H → G et p' : H → G', soient surjectives. Le noyau N de p' est un sous-groupe normal de G×{e'} (où e' désigne l'élément neutre de G') donc s'identifie à un sous-groupe normal de G ; le noyau N' de p s'identifie de même à un sous-groupe normal de G'. Avec ces identifications,
Démonstration[modifier | modifier le code]
On vérifie d'abord que N, vu comme sous-groupe de G, est bien normal, comme image de ker(p') (normal dans H) par le morphisme surjectif p.
L'image de H dans G/N×G'/N' est l'ensemble
Par surjectivité de p, tout élément de G/N est la première composante d'au moins un couple de G". Un tel couple est de plus unique car
De même, tout élément de G'/N' est la seconde composante d'un unique couple de G".
D'après les tests des verticales et des horizontales, G" est donc le graphe d'une bijection de G/N dans G'/N'.
Par construction, cette bijection est un morphisme de groupes.
Références[modifier | modifier le code]
- Édouard Goursat, « Sur les substitutions orthogonales et les divisions régulières de l'espace », Ann. Sci. Éc. Norm. Supér., 3e série, vol. 6, , p. 9-102 (lire en ligne)
- (en) Serge Lang, Algebra [détail des éditions], 2002, p. 75
