Intégrale curviligne

En géométrie différentielle, l'intégrale curviligne est une intégrale où la fonction à intégrer est évaluée sur une courbe $Γ$ . Il y a deux types d'intégrales curvilignes, selon que la fonction est à valeurs réelles ou à valeurs dans les formes linéaires. Le second type (qui peut se reformuler en termes de circulation d'un champ de vecteurs) a comme cas particulier les intégrales que l'on considère en analyse complexe.

Dans cet article, $Γ$ est un arc orienté dans ℝⁿ, rectifiable c'est-à-dire paramétré par une fonction continue à variation bornée $t \mapsto γ(t)$ , avec $t \in [a, b]$ .

Intégrale d'un champ scalaire[modifier | modifier le code]

On définit l'intégrale curviligne d'un champ scalaire continu $f:\Gamma \to \mathbb {R}$ comme l'intégrale de Stieltjes de $f \circγ$ par rapport à l'abscisse curviligne $s γ (t)$ (longueur de l'arc $γ$ restreint à $[a, t]$ )^[1] :

\int _{\Gamma }f\ \mathrm {d} s=\int _{a}^{b}(f\circ \gamma )\,\mathrm {d} s_{\gamma },

c'est-à-dire la limite, quand le pas de la subdivision pointée de $[a, b]$ tend vers 0, des sommes de Riemann associées : $\sum _{k=1}^{n}f(\gamma (t'_{k}))\left(s_{\gamma }(t_{k})-s_{\gamma }(t_{k-1})\right)$ où la subdivision pointée est notée : $a = t 0 < t 1 < \dots < t n = b, t' k \in [t k -1, t k]$ .

Cette définition ne dépend pas du paramétrage de $Γ$ , ni de l'orientation.

La longueur $s γ (b)$ de l'arc $Γ$ est l'intégrale curviligne de la fonction constante $1$ .

Si $γ$ est de classe C¹, $\int _{\Gamma }f\ \mathrm {d} s=\int _{a}^{b}f(\gamma (t))\|\gamma '(t)\|\mathrm {d} t.$

Analyse vectorielle[modifier | modifier le code]

On définit également la circulation le long de $Γ$ d'un champ vectoriel continu $f:\Gamma \to \mathbb {R} ^{n}$ comme une intégrale de Stieltjes :

\int _{\Gamma }f\cdot \,\mathrm {d} \gamma =\int _{a}^{b}(f\circ \gamma )\cdot \,\mathrm {d} \gamma ,

où $∙$ désigne le produit scalaire^[2].

Cette définition ne dépend pas du paramétrage de $Γ$ mais dépend de l'orientation (l'intégrale est changée en son opposée quand la courbe est parcourue en sens inverse).

On peut reformuler cette définition en notant $ω$ la 1-forme différentielle « produit scalaire par $f$ » : si $ω$ est une 1-forme différentielle continue sur le support de $Γ$ , on définit l'intégrale curviligne de $ω$ le long de $Γ$ par :

\int _{\Gamma }\omega =\int _{a}^{b}\langle \omega \circ \gamma ,\mathrm {d} \gamma \rangle ,

où $⟨∙, ∙⟩$ est le crochet de dualité.

Si $γ$ est de classe C¹, $\int _{\Gamma }f\cdot \,\mathrm {d} \gamma =\int _{a}^{b}f(\gamma (t))\cdot \gamma '(t)\,\mathrm {d} t\quad {\rm {et}}\quad \int _{\Gamma }\omega =\int _{a}^{b}\omega _{\gamma (t)}(\gamma '(t))\,\mathrm {d} t.$

Analyse complexe[modifier | modifier le code]

Pour n = 2 et en identifiant ℝ² au plan complexe, on définit l'intégrale curviligne d'une fonction continue $f:\Gamma \to \mathbb {C}$ comme l'intégrale de la 1-forme différentielle « produit (complexe) par $f$ » :

\int _{\Gamma }f(z)\,\mathrm {d} z=\int _{a}^{b}(f\circ \gamma )\,\mathrm {d} \gamma .

Si $γ$ est de classe C¹, $\int _{\Gamma }f(z)\,\mathrm {d} z=\int _{a}^{b}f(\gamma (t))\gamma '(t)\,\mathrm {d} t.$

Lorsque $Γ$ est une courbe fermée (ses deux extrémités coïncident), il arrive qu'on utilise la notation : $\oint _{\Gamma }f(z)\,\mathrm {d} z.$

Exemple[modifier | modifier le code]

Soit la fonction $f (z) = 1/ z$ , et soit C le cercle unité parcouru une fois dans le sens trigonométrique, ce qui peut se paramétrer par $e i t$ , avec $t$ parcourant $[0, 2π]$ . L'intégrale correspondante est $\oint _{C}f(z)\,\mathrm {d} z=\int _{0}^{2\pi }{1 \over {\rm {e}}^{{\rm {i}}t}}{\rm {i}}{\rm {e}}^{{\rm {i}}t}\,\mathrm {d} t=\int _{0}^{2\pi }{\rm {i}}\,\mathrm {d} t=2i\pi .$