Illustration de l'inégalité d'Hermite-Hadamard. En mathématiques , l'inégalité d'Hermite–Hadamard , nommé d'après Charles Hermite et Jacques Hadamard , parfois appelée inégalité de Hadamard , dit que si une fonction f :[a ,b ]→ℝ est convexe , alors son intégrale est bornée par :
f ( a + b 2 ) ≤ 1 b − a ∫ a b f ( x ) d x ≤ f ( a ) + f ( b ) 2 . {\displaystyle f\left({\frac {a+b}{2}}\right)\leq {\frac {1}{b-a}}\int _{a}^{b}f(x)\,dx\leq {\frac {f(a)+f(b)}{2}}.} Si la fonction f est convexe sur un intervalle, elle y est continue, mais aussi dérivable à gauche et à droite en chaque point. On note f − et f + ces dérivées respectivement. Ainsi, pour chaque x 0 ∈ [a ,b ] , on peut construire une ligne
t ( x ) = f ( x 0 ) + c ( x − x 0 ) , c ∈ [ f − ( x 0 ) , f + ( x 0 ) ] . {\displaystyle t(x)=f(x_{0})+c(x-x_{0}),\ c\in [f^{-}(x_{0}),f^{+}(x_{0})].} telle que
∀ x ∈ [ a , b ] , t ( x ) ⩽ f ( x ) , et t ( x ) = f ( x ) ⇔ x = x 0 . {\displaystyle \forall x\in [a,b],t(x)\leqslant f(x),{\text{ et }}t(x)=f(x)\Leftrightarrow x=x_{0}.} On a, en particulier, pour x 0 =a +b / 2 :
∀ x ∈ [ a , b ] , f ( a + b 2 ) + c ( x − a + b 2 ) ⩽ f ( x ) , c ∈ [ f − ( a + b 2 ) , f + ( a + b 2 ) ] . {\displaystyle \forall x\in [a,b],f\left({\frac {a+b}{2}}\right)+c\left(x-{\frac {a+b}{2}}\right)\leqslant f(x),\ c\in \left[f^{-}\left({\frac {a+b}{2}}\right),f^{+}\left({\frac {a+b}{2}}\right)\right].} D'autre part, toujours par convexité de f , on a :
∀ x ∈ [ a , b ] , f ( x ) ⩽ f ( a ) + f ( b ) − f ( a ) b − a ( x − a ) . {\displaystyle \forall x\in [a,b],f(x)\leqslant f(a)+{\frac {f(b)-f(a)}{b-a}}(x-a).} Il suffit alors de calculer les intégrales des deux fonctions affines :
∫ a b [ f ( a + b 2 ) + c ( x − a + b 2 ) ] d x = ( b − a ) f ( a + b 2 ) , ∫ a b [ f ( a ) + f ( b ) − f ( a ) b − a ( x − a ) ] d x = ( b − a ) f ( a ) + f ( b ) 2 . {\displaystyle \int _{a}^{b}\left[f\left({\frac {a+b}{2}}\right)+c\left(x-{\frac {a+b}{2}}\right)\right]\,\mathrm {d} x=(b-a)f\left({\frac {a+b}{2}}\right),\ \int _{a}^{b}\left[f(a)+{\frac {f(b)-f(a)}{b-a}}(x-a)\right]\,\mathrm {d} x=(b-a){\frac {f(a)+f(b)}{2}}.} On considère f :[a , b ] → ℝ une fonction réelle intégrable. On peut définir la suite de fonctions suivante d'intégrales itérées de f , pour a ≤ s ≤ b .:
F ( 0 ) ( s ) := f ( s ) , F ( 1 ) ( s ) := ∫ a s F ( 0 ) ( u ) d u = ∫ a s f ( u ) d u , F ( 2 ) ( s ) := ∫ a s F ( 1 ) ( u ) d u = ∫ a s ( ∫ a t f ( u ) d u ) d t , ⋮ F ( n ) ( s ) := ∫ a s F ( n − 1 ) ( u ) d u , ⋮ {\displaystyle {\begin{aligned}F^{(0)}(s)&:=f(s),\\F^{(1)}(s)&:=\int _{a}^{s}F^{(0)}(u)du=\int _{a}^{s}f(u)du,\\F^{(2)}(s)&:=\int _{a}^{s}F^{(1)}(u)du=\int _{a}^{s}\left(\int _{a}^{t}f(u)du\right)\,dt,\\&\ \ \vdots \\F^{(n)}(s)&:=\int _{a}^{s}F^{(n-1)}(u)\,du,\\&{}\ \ \vdots \end{aligned}}} Alors si f est convexe, pour a < x i < b , i = 1, ..., n , distincts deux à deux (x i ≠ x j et i ≠ j ), alors on a:
∑ i = 1 n F ( n − 1 ) ( x i ) Π i ( x 1 , … , x n ) ≤ 1 n ! ∑ i = 1 n f ( x i ) {\displaystyle \sum _{i=1}^{n}{\frac {F^{(n-1)}(x_{i})}{\Pi _{i}(x_{1},\dots ,x_{n})}}\leq {\frac {1}{n!}}\sum _{i=1}^{n}f(x_{i})} avec
Π i ( x 1 , … , x n ) := ∏ i ∈ { 1 ; n } , i ≠ j ( x i − x j ) = ( x i − x 1 ) ( x i − x 2 ) ⋯ ( x i − x i − 1 ) ( x i − x i + 1 ) ⋯ ( x i − x n ) , i = 1 , … , n . {\displaystyle \Pi _{i}(x_{1},\dots ,x_{n}):=\prod _{i\in \{1;n\},i\neq j}(x_{i}-x_{j})=(x_{i}-x_{1})(x_{i}-x_{2})\cdots (x_{i}-x_{i-1})(x_{i}-x_{i+1})\cdots (x_{i}-x_{n}),\ \ i=1,\dots ,n.} L'inégalité change de sens si f est concave.
Le cas d'égalité est vérifié si et seulement si f est linéaire.
On a également : avec α _ = ( α , … , α ) {\displaystyle {\underline {\alpha }}=(\alpha ,\ldots ,\alpha )} pour a < α < b , {\displaystyle \ a<\alpha <b,} alors
lim x _ → α _ ∑ i = 1 n F ( n − 1 ) ( x i ) Π i ( x 1 , … , x n ) = lim x _ → α _ 1 n ! ∑ i = 1 n f ( x i ) = f ( α ) ( n − 1 ) ! {\displaystyle \lim _{{\underline {x}}\to {\underline {\alpha }}}\sum _{i=1}^{n}{\frac {F^{(n-1)}(x_{i})}{\Pi _{i}(x_{1},\ldots ,x_{n})}}=\lim _{{\underline {x}}\to {\underline {\alpha }}}{\frac {1}{n!}}\sum _{i=1}^{n}f(x_{i})={\frac {f(\alpha )}{(n-1)!}}} (en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Hermite–Hadamard inequality » (voir la liste des auteurs ) . Jacques Hadamard , "Étude sur les propriétés des fonctions entières et en particulier d'une fonction considérée par Riemann ", Journal de mathématiques pures et appliquées , volume 58, 1893, pages 171–215. Zoltán Retkes, "An extension of the Hermite–Hadamard Inequality", Acta Sci. Math. (Szeged) , 74 (2008), pages 95–106. Mihály Bessenyei, "The Hermite–Hadamard Inequality on Simplices", American Mathematical Monthly , volume 115, April 2008, pages 339–345. Flavia-Corina Mitroi, Eleutherius Symeonidis, "The converse of the Hermite-Hadamard inequality on simplices", Expo. Math. 30 (2012), pp. 389–396. DOI:10.1016/j.exmath.2012.08.011; (ISSN 0723-0869 )