La fonction q -gamma est une fonction mathématique qui est une généralisation q-analogue de la fonction gamma ordinaire[ 1]
Elle est définie par :
Γ q ( x ) = ( 1 − q ) 1 − x ∏ n = 0 ∞ 1 − q n + 1 1 − q n + x = ( 1 − q ) 1 − x ( q ; q ) ∞ ( q x ; q ) ∞ {\displaystyle \Gamma _{q}(x)=(1-q)^{1-x}\prod _{n=0}^{\infty }{\frac {1-q^{n+1}}{1-q^{n+x}}}=(1-q)^{1-x}\,{\frac {(q;q)_{\infty }}{(q^{x};q)_{\infty }}}} pour
| q | < 1 {\displaystyle |q|<1} , et
Γ q ( x ) = ( q − 1 ; q − 1 ) ∞ ( q − x ; q − 1 ) ∞ ( q − 1 ) 1 − x q ( x 2 ) {\displaystyle \Gamma _{q}(x)={\frac {(q^{-1};q^{-1})_{\infty }}{(q^{-x};q^{-1})_{\infty }}}(q-1)^{1-x}q^{\binom {x}{2}}} pour
| q | > 1 {\displaystyle |q|>1} .
Ici ( ⋅ ; ⋅ ) ∞ {\displaystyle (\cdot ;\cdot )_{\infty }} q -symbole de Pochhammerq -gamma est solution de l'équation fonctionnelle suivante :
Γ q ( x + 1 ) = 1 − q x 1 − q Γ q ( x ) = [ x ] q Γ q ( x ) {\displaystyle \Gamma _{q}(x+1)={\frac {1-q^{x}}{1-q}}\Gamma _{q}(x)=[x]_{q}\Gamma _{q}(x)} De plus, la fonction
q -gamma vérifie le
q -analogue du
théorème de Bohr-Mollerup [ 2] . Pour tout entier
n positif ou nul,
Γ q ( n ) = [ n − 1 ] q ! {\displaystyle \Gamma _{q}(n)=[n-1]_{q}!} où
[ ⋅ ] q {\displaystyle [\cdot ]_{q}} est la fonction
q -factorielle. Ainsi, la fonction
q -gamma peut être considérée comme prolongeant la
q -factorielle aux
nombres réels , de la même manière que la fonction gamma prolonge la
factorielle . La fonction gamma apparaît également comme la limite
[ 3] :
lim q → 1 ± Γ q ( x ) = Γ ( x ) {\displaystyle \lim _{q\to 1\pm }\Gamma _{q}(x)=\Gamma (x)} La fonction q- gamma vérifie la q -analogue de la formule de multiplication de Gauss [ 4]
Γ q ( n x ) Γ r ( 1 / n ) Γ r ( 2 / n ) ⋯ Γ r ( ( n − 1 ) / n ) = ( 1 − q n 1 − q ) n x − 1 Γ r ( x ) Γ r ( x + 1 / n ) ⋯ Γ r ( x + ( n − 1 ) / n ) , r = q n . {\displaystyle \Gamma _{q}(nx)\Gamma _{r}(1/n)\Gamma _{r}(2/n)\cdots \Gamma _{r}((n-1)/n)=\left({\frac {1-q^{n}}{1-q}}\right)^{nx-1}\Gamma _{r}(x)\Gamma _{r}(x+1/n)\cdots \Gamma _{r}(x+(n-1)/n),\ r=q^{n}.} La fonction q -gamma peut s'écrire sous forme intégrale [ 5]
1 Γ q ( z ) = sin ( π z ) π ∫ 0 ∞ t − z d t ( − t ( 1 − q ) ; q ) ∞ . {\displaystyle {\frac {1}{\Gamma _{q}(z)}}={\frac {\sin(\pi z)}{\pi }}\int _{0}^{\infty }{\frac {t^{-z}\mathrm {d} t}{(-t(1-q);q)_{\infty }}}.} On a aussi un q -analoque de la formule de Stirling [ 6]
log Γ q ( x ) ∼ x → ∞ ( x − 1 2 ) log [ x ] q + L i 2 ( 1 − q x ) log q + C q ^ + 1 2 H ( q − 1 ) log q + ∑ k = 1 ∞ B 2 k ( 2 k ) ! ( log q ^ q ^ x − 1 ) 2 k − 1 q ^ x p 2 k − 3 ( q ^ x ) {\displaystyle \log \Gamma _{q}(x){\underset {x\to \infty }{\sim }}(x-{\frac {1}{2}})\log[x]_{q}+{\frac {\mathrm {Li} _{2}(1-q^{x})}{\log q}}+C_{\hat {q}}+{\frac {1}{2}}H(q-1)\log q+\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {B_{2k}}{(2k)!}}\left({\frac {\log {\hat {q}}}{{\hat {q}}^{x}-1}}\right)^{2k-1}{\hat {q}}^{x}p_{2k-3}({\hat {q}}^{x})} q ^ = { q s i 0 < q ≤ 1 1 / q s i q ≥ 1 } , {\displaystyle {\hat {q}}=\left\{{\begin{aligned}q\quad \mathrm {si} \ &0<q\leq 1\\1/q\quad \mathrm {si} \ &q\geq 1\end{aligned}}\right\},} C q = 1 2 log ( 2 π ) + 1 2 log ( q − 1 log q ) − 1 24 log q + log ∑ m = − ∞ ∞ ( r m ( 6 m + 1 ) − r ( 3 m + 1 ) ( 2 m + 1 ) ) , {\displaystyle C_{q}={\frac {1}{2}}\log(2\pi )+{\frac {1}{2}}\log \left({\frac {q-1}{\log q}}\right)-{\frac {1}{24}}\log q+\log \sum _{m=-\infty }^{\infty }\left(r^{m(6m+1)}-r^{(3m+1)(2m+1)}\right),} où
r = exp ( 4 π 2 / log q ) {\displaystyle r=\exp(4\pi ^{2}/\log q)} ,
H {\displaystyle H} désigne la
fonction échelon d'Heaviside ,
B k {\displaystyle B_{k}} est le
nombre de Bernoulli ,
L i 2 ( z ) {\displaystyle \mathrm {Li} _{2}(z)} est le
dilogarithme , et
p k {\displaystyle p_{k}} est un polynôme de degré
k {\displaystyle k} vérifiant
p k ( z ) = z ( 1 − z ) p k − 1 ′ ( z ) + ( k z + 1 ) p k − 1 ( z ) , p 0 = p − 1 = 1 , k = 1 , 2 , ⋯ . {\displaystyle p_{k}(z)=z(1-z)p'_{k-1}(z)+(kz+1)p_{k-1}(z),p_{0}=p_{-1}=1,k=1,2,\cdots .} On a également les q -analogues de la formule de Raabe , pour les valeurs de | q | > 1 {\displaystyle |q|>1}
∫ 0 1 log Γ q ( x ) d x = ζ ( 2 ) log q + log q − 1 q 6 + log ( q − 1 ; q − 1 ) ∞ ( q > 1 ) . {\displaystyle \int _{0}^{1}\log \Gamma _{q}(x)dx={\frac {\zeta (2)}{\log q}}+\log {\sqrt {\frac {q-1}{\sqrt[{6}]{q}}}}+\log(q^{-1};q^{-1})_{\infty }\quad (q>1).} On a également pour
0 < q < 1 {\displaystyle 0<q<1} :
∫ 0 1 log Γ q ( x ) d x = 1 2 log ( 1 − q ) − ζ ( 2 ) log q + log ( q ; q ) ∞ ( 0 < q < 1 ) . {\displaystyle \int _{0}^{1}\log \Gamma _{q}(x)dx={\frac {1}{2}}\log(1-q)-{\frac {\zeta (2)}{\log q}}+\log(q;q)_{\infty }\quad (0<q<1).} On connaît les valeurs suivantes de la fonction q -gamma[ 7]
Γ e − π ( 1 2 ) = e − 7 π / 16 e π − 1 1 + 2 4 2 15 / 16 π 3 / 4 Γ ( 1 4 ) , Γ e − 2 π ( 1 2 ) = e − 7 π / 8 e 2 π − 1 2 9 / 8 π 3 / 4 Γ ( 1 4 ) , Γ e − 4 π ( 1 2 ) = e − 7 π / 4 e 4 π − 1 2 7 / 4 π 3 / 4 Γ ( 1 4 ) , Γ e − 8 π ( 1 2 ) = e − 7 π / 2 e 8 π − 1 2 9 / 4 π 3 / 4 1 + 2 Γ ( 1 4 ) . {\displaystyle {\begin{aligned}\Gamma _{\mathrm {e} ^{-\pi }}\left({\frac {1}{2}}\right)&={\frac {\mathrm {e} ^{-7\pi /16}{\sqrt {\mathrm {e} ^{\pi }-1}}{\sqrt[{4}]{1+{\sqrt {2}}}}}{2^{15/16}\pi ^{3/4}}}\,\Gamma \left({\frac {1}{4}}\right),\\\Gamma _{\mathrm {e} ^{-2\pi }}\left({\frac {1}{2}}\right)&={\frac {\mathrm {e} ^{-7\pi /8}{\sqrt {\mathrm {e} ^{2\pi }-1}}}{2^{9/8}\pi ^{3/4}}}\,\Gamma \left({\frac {1}{4}}\right),\\\Gamma _{\mathrm {e} ^{-4\pi }}\left({\frac {1}{2}}\right)&={\frac {\mathrm {e} ^{-7\pi /4}{\sqrt {\mathrm {e} ^{4\pi }-1}}}{2^{7/4}\pi ^{3/4}}}\,\Gamma \left({\frac {1}{4}}\right),\\\Gamma _{\mathrm {e} ^{-8\pi }}\left({\frac {1}{2}}\right)&={\frac {\mathrm {e} ^{-7\pi /2}{\sqrt {\mathrm {e} ^{8\pi }-1}}}{2^{9/4}\pi ^{3/4}{\sqrt {1+{\sqrt {2}}}}}}\,\Gamma \left({\frac {1}{4}}\right).\end{aligned}}} Ce sont les analogues de l'identité classique
Γ ( 1 2 ) = π {\textstyle \Gamma \left({\frac {1}{2}}\right)={\sqrt {\pi }}} .
De même, on a les analogues suivants de l'identité Γ ( 1 4 ) Γ ( 3 4 ) = 2 π {\textstyle \Gamma \left({\frac {1}{4}}\right)\Gamma \left({\frac {3}{4}}\right)={\sqrt {2}}\pi }
Γ e − 2 π ( 1 4 ) Γ e − 2 π ( 3 4 ) = e − 29 π / 16 ( e 2 π − 1 ) 1 + 2 4 2 33 / 16 π 3 / 2 Γ ( 1 4 ) 2 , Γ e − 4 π ( 1 4 ) Γ e − 4 π ( 3 4 ) = e − 29 π / 8 ( e 4 π − 1 ) 2 23 / 8 π 3 / 2 Γ ( 1 4 ) 2 , Γ e − 8 π ( 1 4 ) Γ e − 8 π ( 3 4 ) = e − 29 π / 4 ( e 8 π − 1 ) 16 π 3 / 2 1 + 2 Γ ( 1 4 ) 2 . {\displaystyle {\begin{aligned}\Gamma _{\mathrm {e} ^{-2\pi }}\left({\frac {1}{4}}\right)\Gamma _{\mathrm {e} ^{-2\pi }}\left({\frac {3}{4}}\right)&={\frac {\mathrm {e} ^{-29\pi /16}\left(\mathrm {e} ^{2\pi }-1\right){\sqrt[{4}]{1+{\sqrt {2}}}}}{2^{33/16}\pi ^{3/2}}}\,\Gamma \left({\frac {1}{4}}\right)^{2},\\\Gamma _{\mathrm {e} ^{-4\pi }}\left({\frac {1}{4}}\right)\Gamma _{\mathrm {e} ^{-4\pi }}\left({\frac {3}{4}}\right)&={\frac {\mathrm {e} ^{-29\pi /8}\left(\mathrm {e} ^{4\pi }-1\right)}{2^{23/8}\pi ^{3/2}}}\,\Gamma \left({\frac {1}{4}}\right)^{2},\\\Gamma _{\mathrm {e} ^{-8\pi }}\left({\frac {1}{4}}\right)\Gamma _{\mathrm {e} ^{-8\pi }}\left({\frac {3}{4}}\right)&={\frac {\mathrm {e} ^{-29\pi /4}\left(\mathrm {e} ^{8\pi }-1\right)}{16\pi ^{3/2}{\sqrt {1+{\sqrt {2}}}}}}\,\Gamma \left({\frac {1}{4}}\right)^{2}.\end{aligned}}} Soit A une matrice carrée complexe définie positive . On peut définir une fonction q -gamma matricielle par q -intégrale [ 8]
Γ q ( A ) := ∫ 0 1 1 − q t A − I E q ( − q t ) d q t {\displaystyle \Gamma _{q}(A):=\int _{0}^{\frac {1}{1-q}}t^{A-I}E_{q}(-qt)\mathrm {d} _{q}t} où
E q {\displaystyle E_{q}} est la fonction
q -exponentielle.
↑ (en) « The basic gamma-function and the elliptic functions », Proceedings of the Royal Society of London. Series A, Containing Papers of a Mathematical and Physical Character vol. 76, no 508, 24 mai 1905 , p. 127–144 (ISSN 0950-1207 2053-9150 DOI 10.1098/rspa.1905.0011 lire en ligne , consulté le 5 avril 2024 ) ↑ (en) Richard Askey , « The q -Gamma and q -Beta Functions† », Applicable Analysis vol. 8, no 2, décembre 1978 , p. 125–141 (ISSN 0003-6811 1563-504X DOI 10.1080/00036817808839221 lire en ligne , consulté le 5 avril 2024 ) ↑ (en) George E. Andrews , Q-series: Their Development and Application in Analysis, Number Theory, Combinatorics, Physics, and Computer Algebra , American Mathematical Soc., 1er janvier 1986(ISBN 978-0-8218-8911-4 lire en ligne ) , Annexes↑ George Gasper et Mizan Rahman , Basic hypergeometric series , Cambridge University Press, coll. « Encyclopedia of mathematics and its applications », 2004 (ISBN 978-0-521-83357-8 ↑ (en) Mourad E. H. Ismail , « The Basic Bessel Functions and Polynomials », SIAM Journal on Mathematical Analysis vol. 12, no 3, mai 1981 , p. 454–468 (ISSN 0036-1410 1095-7154 DOI 10.1137/0512038 lire en ligne , consulté le 5 avril 2024 ) ↑ Daniel S. Moak , « The Q-analogue of Stirling's formula », Rocky Mountain Journal of Mathematics , vol. 14, no 2, 1er juin 1984(ISSN 0035-7596 DOI 10.1216/RMJ-1984-14-2-403 lire en ligne , consulté le 5 avril 2024 ) ↑ (en) István Mező, « Several special values of Jacobi theta functions 2011 .↑ Salem, « On a q -gamma and a q -beta matrix functions », Linear and Multilinear Algebra , vol. 60, no 6, juin 2012 , p. 683–696 (DOI 10.1080/03081087.2011.627562 S2CID 123011613 
![{\displaystyle \Gamma _{q}(x+1)={\frac {1-q^{x}}{1-q}}\Gamma _{q}(x)=[x]_{q}\Gamma _{q}(x)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1369d42adac73e85d50ce69ed4e83fe4d9432ce7)
![{\displaystyle \Gamma _{q}(n)=[n-1]_{q}!}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4be916fb8ef9c2bb7a93ee692b3719d096150dbe)
![{\displaystyle [\cdot ]_{q}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e46774647e16db9db5cc5a224d1b2e41c74299a7)
![{\displaystyle \log \Gamma _{q}(x){\underset {x\to \infty }{\sim }}(x-{\frac {1}{2}})\log[x]_{q}+{\frac {\mathrm {Li} _{2}(1-q^{x})}{\log q}}+C_{\hat {q}}+{\frac {1}{2}}H(q-1)\log q+\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {B_{2k}}{(2k)!}}\left({\frac {\log {\hat {q}}}{{\hat {q}}^{x}-1}}\right)^{2k-1}{\hat {q}}^{x}p_{2k-3}({\hat {q}}^{x})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/59a5c52d6a8f0860f6116eba65b8934a7a1d2ccb)
![{\displaystyle \int _{0}^{1}\log \Gamma _{q}(x)dx={\frac {\zeta (2)}{\log q}}+\log {\sqrt {\frac {q-1}{\sqrt[{6}]{q}}}}+\log(q^{-1};q^{-1})_{\infty }\quad (q>1).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/18dd5281744cfa39cf8031d498765542f51ae6b7)
![{\displaystyle {\begin{aligned}\Gamma _{\mathrm {e} ^{-\pi }}\left({\frac {1}{2}}\right)&={\frac {\mathrm {e} ^{-7\pi /16}{\sqrt {\mathrm {e} ^{\pi }-1}}{\sqrt[{4}]{1+{\sqrt {2}}}}}{2^{15/16}\pi ^{3/4}}}\,\Gamma \left({\frac {1}{4}}\right),\\\Gamma _{\mathrm {e} ^{-2\pi }}\left({\frac {1}{2}}\right)&={\frac {\mathrm {e} ^{-7\pi /8}{\sqrt {\mathrm {e} ^{2\pi }-1}}}{2^{9/8}\pi ^{3/4}}}\,\Gamma \left({\frac {1}{4}}\right),\\\Gamma _{\mathrm {e} ^{-4\pi }}\left({\frac {1}{2}}\right)&={\frac {\mathrm {e} ^{-7\pi /4}{\sqrt {\mathrm {e} ^{4\pi }-1}}}{2^{7/4}\pi ^{3/4}}}\,\Gamma \left({\frac {1}{4}}\right),\\\Gamma _{\mathrm {e} ^{-8\pi }}\left({\frac {1}{2}}\right)&={\frac {\mathrm {e} ^{-7\pi /2}{\sqrt {\mathrm {e} ^{8\pi }-1}}}{2^{9/4}\pi ^{3/4}{\sqrt {1+{\sqrt {2}}}}}}\,\Gamma \left({\frac {1}{4}}\right).\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/42334bf4cc2533c0d200b68ecabd7bd358993c9e)
![{\displaystyle {\begin{aligned}\Gamma _{\mathrm {e} ^{-2\pi }}\left({\frac {1}{4}}\right)\Gamma _{\mathrm {e} ^{-2\pi }}\left({\frac {3}{4}}\right)&={\frac {\mathrm {e} ^{-29\pi /16}\left(\mathrm {e} ^{2\pi }-1\right){\sqrt[{4}]{1+{\sqrt {2}}}}}{2^{33/16}\pi ^{3/2}}}\,\Gamma \left({\frac {1}{4}}\right)^{2},\\\Gamma _{\mathrm {e} ^{-4\pi }}\left({\frac {1}{4}}\right)\Gamma _{\mathrm {e} ^{-4\pi }}\left({\frac {3}{4}}\right)&={\frac {\mathrm {e} ^{-29\pi /8}\left(\mathrm {e} ^{4\pi }-1\right)}{2^{23/8}\pi ^{3/2}}}\,\Gamma \left({\frac {1}{4}}\right)^{2},\\\Gamma _{\mathrm {e} ^{-8\pi }}\left({\frac {1}{4}}\right)\Gamma _{\mathrm {e} ^{-8\pi }}\left({\frac {3}{4}}\right)&={\frac {\mathrm {e} ^{-29\pi /4}\left(\mathrm {e} ^{8\pi }-1\right)}{16\pi ^{3/2}{\sqrt {1+{\sqrt {2}}}}}}\,\Gamma \left({\frac {1}{4}}\right)^{2}.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/831bcb01055cbb7c929e1b63d1c8d36dfa5b457d)
