Fonction de Stumpff

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Les fonctions de Stumpff, du nom du mathématicien Karl Stumpff (en), sont des développements en série entière utilisés en mécanique céleste dans la résolution de l'équation de Kepler.

Définition[modifier | modifier le code]

La fonction $c_{n}(x)$ de Stumpff, est définie par :

c_{n}(x)=\sum \limits _{k=0}^{+\infty }{{\frac {(-1)^{k}}{(2k+n)!}}x^{k}}.

La série converge pour tout réel $x$ .

Valeurs particulières[modifier | modifier le code]

On remarque que :

$c_{0}(x^{2})=\cos(x)$
$c_{1}(x^{2})={\frac {\sin(x)}{x}}=\operatorname {sinc} (x)$ , où sinc désigne le sinus cardinal
$c_{2}(x^{2})={\frac {1-\cos(x)}{x^{2}}}$
$c_{3}(x^{2})={\frac {x-\sin(x)}{x^{3}}}$

Ce sont essentiellement ces quatre fonctions qui interviennent dans la théorie de l'équation de Kepler elliptique.

Il suffit d'utiliser $c_{n}(-x^{2})$ pour passer au cas hyperbolique :

$c_{0}(-x^{2})=\cosh(x)$
$c_{1}(-x^{2})={\frac {\sinh(x)}{x}}$

Propriétés[modifier | modifier le code]

Les fonctions de Stumpff satisfont la relation de récurrence :

\forall n\in \mathbb {N} ,\,xc_{n+2}(x)={\frac {1}{n!}}-c_{n}(x)

On a également :

2{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}c_{n}(x)=nc_{n+2}(x)-c_{n+1}(x)

Pour tout entier positif n, $c_{n}(0)={\frac {1}{n!}}$ .

Utilité[modifier | modifier le code]

La trajectoire d'un corps soumis aux lois de Kepler est :

une ellipse si l'énergie est négative
une branche d'hyperbole si l'énergie est positive
une parabole si l'énergie est nulle (cas de Barker).

Les formules exprimant le mouvement sont donc différentes dans chaque cas, obligeant donc à considérer différentes fonctions, si par exemple une perturbation finie vient à changer le signe de l'énergie.

Stumpff a compris que les trois cas pouvaient s'exprimer d'une seule façon grâce à « ses » fonctions, qui ne sont que des formes modifiées du développement en série de $sin$ et $cos$ .

Références[modifier | modifier le code]