Fonction additive (arithmétique)

En théorie des nombres, une fonction additive f est une fonction arithmétique (donc définie sur l'ensemble des entiers strictement positifs à valeurs dans l'ensemble des nombres complexes ${\displaystyle \mathbb {C} }$) telle que :

(en particulier, f(1) = 0).

On dit que f est (une fonction additive) réelle si elle est uniquement à valeurs dans l'ensemble des nombres réels ${\displaystyle \mathbb {R} }$.

Une fonction arithmétique f est dite complètement additive lorsque :

même si a et b ne sont pas premiers entre eux.

En dehors de la théorie des nombres, le terme additive est habituellement utilisé pour toutes les fonctions vérifiant :

Cet article ne concerne que les fonctions additives de la théorie des nombres.

Toute fonction complètement additive est additive, mais la réciproque est fausse.

Exemples de fonctions complètement additives[modifier | modifier le code]

Deux exemples élémentaires[modifier | modifier le code]

• la restriction de la fonction logarithme à ℕ^*.
• la valuation p-adique, pour tout nombre premier p.

La fonction Ω[modifier | modifier le code]

La fonction Ω associe à un entier naturel non nul n, le nombre avec répétition (i.e. en comptant de multiples fois les facteurs multiples) des facteurs premiers de n :

${\displaystyle {\text{si }}n=\prod _{i=1}^{m}p_{i}^{\gamma _{i}},{\text{ alors }}\Omega (n)=\sum _{i=1}^{m}\gamma _{i}.}$

Par exemple (suite A001222 de l'OEIS) :

Ω(4) = 2 ;

Ω(24) = Ω(2³ ⋅ 3¹) = 3 + 1 = 4 ;

Ω(27) = 3 ;

Ω(144) = Ω(2⁴ ⋅ 3²) = Ω(2⁴) + Ω(3²) = 4 + 2 = 6 ;

Ω(2 000) = Ω(2⁴ ⋅ 5³) = Ω(2⁴) + Ω(5³) = 4 + 3 = 7 ;

Ω(2 001) = 3 ;

Ω(2 002) = 4 ;

Ω(2 003) = 1 ;

Ω(54 032 858 972 279) = Ω(11 ⋅ 1993² ⋅ 1236661) = 4  ;

Ω(54 032 858 972 302) = Ω(2 ⋅ 7² ⋅ 149 ⋅ 2081 ⋅ 1778171)= 6 ;

Ω(20 802 650 704 327 415) = Ω(5 ⋅ 7 ⋅ 11² ⋅ 1993² ⋅ 1236661) = 7.

La fonction a₀[modifier | modifier le code]

La fonction a₀ (parfois appelée par les anglo-saxons sopfr) associe à un entier naturel non nul n la somme avec répétition des facteurs premiers de n :

${\displaystyle {\text{si }}n=\prod _{i=1}^{m}p_{i}^{\gamma _{i}},{\text{ alors }}a_{0}(n)=\sum _{i=1}^{m}\gamma _{i}p_{i}.}$

Par exemple (suite A001414 de l'OEIS) :

a₀(4) = 4 ;

a₀(20) = a₀(2² ⋅ 5) = 2 + 2+ 5 = 9 ;

a₀(27) = 9 ;

a₀(144) = a₀(2⁴ ⋅ 3²) = a₀(2⁴) + a₀(3²) = 8 + 6 = 14 ;

a₀(2000) = a₀(2⁴ ⋅ 5³) = a₀(2⁴) + a₀(5³) = 8 + 15 = 23 ;

a₀(2001) = 55 ;

a₀(2002) = 33 ;

a₀(2003) = 2003 ;

a₀(54 032 858 972 279) = 1240658 ;

a₀(54 032 858 972 302) = 1780417 ;

a₀(20 802 650 704 327 415) = 1240681.

Exemples de fonctions qui sont seulement additives[modifier | modifier le code]

• la fonction ω, qui associe à un entier naturel n le nombre total de nombres premiers distincts qui divisent n (elle est donc majorée par Ω). Par exemple (suite A001221 de l'OEIS) :

ω(4) = 1 ;

ω(27) = 1 ;

ω(144) = ω(2⁴ ⋅ 3²) = ω(2⁴) + ω(3²) = 1 + 1 = 2 ;

ω(2000) = ω(2⁴ ⋅ 5³) = ω(2⁴) + ω(5³) = 1 + 1 = 2 ;

ω(2001) = 3 ;

ω(2002) = 4 ;

ω(2003) = 1 ;

ω(54 032 858 972 279) = 3 ;

ω(54 032 858 972 302) = 5 ;

ω(20 802 650 704 327 415) = 5.

• la fonction a₁ (parfois appelée par les anglo-saxons sopf) qui à un entier n associe la somme de ses diviseurs premiers distincts (elle est de même majorée par a₀). Par exemple (suite A008472 de l'OEIS) :

a₁(4) = 2 ;

a₁(20) = 2 + 5 = 7 ;

a₁(27) = 3 ;

a₁(144) = a₁(2⁴ ⋅ 3²) = a₁(2⁴) + a₁(3²) = 2 + 3 = 5 ;

a₁(2 000) = a₁(2⁴ ⋅ 5³) = a₁(2⁴) + a₁(5³) = 2 + 5 = 7 ;

a₁(2 001) = 55 ;

a₁(2 002) = 33 ;

a₁(2 003) = 2003 ;

a₁(54 032 858 972 279) = 1238665 ;

a₁(54 032 858 972 302) = 1780410 ;

a₁(20 802 650 704 327 415) = 1238677.

Fonctions multiplicatives[modifier | modifier le code]

À partir de n'importe quelle fonction additive f, il est facile de créer une fonction multiplicative g en définissant par exemple g par :

${\displaystyle \forall n\in \mathbb {N} ^{*}\quad g(n)=2^{f(n)}.}$

Références[modifier | modifier le code]

• (en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Additive function » (voir la liste des auteurs).
• Janko Bračič, Kolobar aritmetičnih funkcij (Ring of arithmetical functions), (Obzornik mat, fiz. 49 (2002) 4, p. 97-108) (MSC (2000) 11A25)

Articles connexes[modifier | modifier le code]

• Équation fonctionnelle
• Morphisme de groupes
• Application linéaire
• Relation faiblement additive

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