Filtration de Jantzen

En théorie des représentations, la filtration de Jantzen est une filtration d'un module de Verma (en) d'une algèbre de Lie semi-simple, ou d'un module de Weyl (en) d'un groupe algébrique réductif de caractéristique positive. Les filtrations de Jantzen ont été introduites dans (Jantzen 1979).

Filtration de Jantzen pour les modules de Verma[modifier | modifier le code]

Si M(λ) est un module de Verma d'une algèbre de Lie semi-simple de plus haut poids λ, alors la filtration de Janzen est une filtration décroissante

M(\lambda )=M(\lambda )^{0}\supseteq M(\lambda )^{1}\supseteq M(\lambda )^{2}\supseteq \cdots .

Elle possède les propriétés suivantes :

M(λ)¹ = N(λ), l'unique sous-module propre maximal de M(λ) ;
les quotients M(λ)ⁱ/M(λ)ⁱ⁺¹ admettent une forme bilinéaire contravariante (en) non dégénérée ;
la formule de la somme de Jantzen est satisfaite :

\sum _{i>0}{\text{ch}}(M(\lambda )^{i})=\sum _{\alpha >0,\ s_{\alpha }(\lambda )<\lambda }{\text{ch}}(M(s_{\alpha }\cdot \lambda ))

où

{\text{ch}}(\cdot )

(en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Jantzen filtration » (voir la liste des auteurs).
Alexander Beilinson et Joseph Bernstein, « A proof of Jantzen conjectures », dans Sergei Gelʹfand et Simon Gindikin, I. M. Gelʹfand Seminar, vol. 16, Providence, R.I., American Mathematical Society, coll. « Adv. Soviet Math. », 1993, 1-50 p. (ISBN 978-0-8218-4118-1, lire en ligne)
James E. Humphreys, Representations of semisimple Lie algebras in the BGG category O, vol. 94, Providence, R.I., American Mathematical Society, coll. « Graduate Studies in Mathematics », 2008 (ISBN 978-0-8218-4678-0, MR 2428237, présentation en ligne)
Jens Carsten Jantzen, Moduln mit einem höchsten Gewicht, Berlin, New York, Springer-Verlag, coll. « Lecture Notes in Mathematics » (n^o 750), 1979 (ISBN 978-3-540-09558-3, DOI 10.1007/BFb0069521, MR 552943)