Équation aux différences

Ne doit pas être confondu avec Équation différentielle.

En mathématiques, une équation aux différences est l'analogue d'une équation différentielle, où les dérivées sont remplacées par des opérateurs de différence finie.

Fonctions d'une variable[modifier | modifier le code]

À l'aide de l'opérateur :

${\displaystyle \Delta :a_{n}\mapsto a_{n+1}-a_{n}}$

et de ses puissances :

${\displaystyle \Delta ^{2}:a_{n}\mapsto a_{n+2}-2\,a_{n+1}+a_{n}}$, etc.,

des dérivées comme ${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} T}{\mathrm {d} t}}}$ et ${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} ^{2}T}{\mathrm {d} t^{2}}}}$ sont remplacées par ${\displaystyle {\frac {\Delta T_{n}}{\Delta t_{n}}}}$ et ${\displaystyle {\frac {\Delta ^{2}T_{n}}{(\Delta t_{n})^{2}}}}$, où l'on prend généralement ${\displaystyle \Delta t_{n}}$ constant (noté simplement ${\displaystyle \Delta t}$).

Fonctions de plusieurs variables[modifier | modifier le code]

De manière similaire, une équation aux dérivées partielles comme :

${\displaystyle {\frac {\partial T}{\partial t}}=\kappa {\frac {\partial ^{2}T}{\partial x^{2}}}}$,

portant sur la fonction inconnue ${\displaystyle T(x,t)}$, est remplacée par l'équation aux différences :

${\displaystyle {\frac {T_{m,n+1}-T_{m,n}}{\Delta t}}=\kappa {\frac {T_{m+2,n}-2\,T_{m+1,n}+T_{m,n}}{(\Delta x)^{2}}}}$,

qui porte sur les éléments ${\displaystyle T_{m,n}}$ d'une double suite (dans l'espace et dans le temps).

Bibliographie[modifier | modifier le code]

• (en) Paul M. Batchelder, An introduction to linear difference equations, Dover Publications, 1967 (1^re éd. 1927)
• (en) Kenneth S. Miller, Linear difference equations, W. A. Benjamin, 1968

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