گرانش خطی‌شده

بخشی از سری مقالات در مورد:
نسبیت عام
معادلات میدان اینشتین
آشنایی با نسبیت عام عصر طلایی نسبیت عام ریاضیات نسبیت عام آزمون‌های نسبیت عام
مفاهیم بنیادین اصل نسبیت نظریه نسبیت هموردایی عام معیت نسبیت همزمانی سینماتیک رویداد (نسبیت) چارچوب مرجع دستگاه مرجع لخت جرم (فیزیک) جرم (فیزیک) Rest frame Center-of-momentum frame انحنا ژئودزیک Geon اصل هم‌ارزی جرم در نسبیت عام هم‌ارزی جرم و انرژی اصل ناوردایی جرم نامتغیر Spacetime symmetries نسبیت خاص Doubly special relativity de Sitter invariant special relativity لائورنت نوتال سرعت نور مشتق زمانی زمان ویژه Proper length انقباض طول Action at a distance Principle of locality هندسه ریمانی شرایط انرژی
پدیده‌ها مغناطیس گرانشی مسئله دو جسم در نسبیت عام گرانش میدان گرانشی پتانسیل گرانشی همگرایی گرانشی امواج گرانشی انتقال به سرخ گرانشی انتقال به سرخ انتقال‌به‌آبی اتساع زمان اتساع زمان گرانشی تأخیر شاپیرو پتانسیل گرانشی Gravitational compression رمبش گرانشی کشش چارچوب اثر ژئودزیکی Apparent horizon افق رویداد تکینگی گرانشی تکینگی برهنه سیاه‌چاله سفیدچاله فضازمان پیکان زمان مخروط نوری خط جهانی فضای سه‌بعدی فضای چهاربعدی فضا زمان منیفلد (هندسه) منیفلد دیفرانسیل‌پذیر Riemannian manifold Configuration space فضای حالت (فیزیک) فضای فاز فضای هیلبرت فضای اقلیدسی فضای توپولوژی Topological defect نمودار مینکوفسکی فضای مینکوفسکی Lorentz scalar Closed timelike curve (CTC) کرم‌چاله Ellis wormhole
معادلات فرمالیسم‌ها معادلات گرانش خطی‌شده معادلات میدان اینشتین معادلات فریدمان ژئودزیک‌ها در نسبیت عام Mathisson–Papapetrou–Dixon معادله همیلتون-ژاکوبی-اینشتین Curvature invariant (general relativity) تبدیل لورنتس منیفلد شبه ریمانی Globally hyperbolic manifold Causality conditions ساختار علی فرمالیسم‌ها صورت‌گرایی ای‌دی‌ام صورت‌گرایی بی‌اس‌اس‌ان Newman–Penrose صورت‌گرایی پسانیوتنی پارامتری نظریه پیشرفته نظریه برانس دیکی فرضیه سانسور کیهانی نظریه کالوزا-کلین گرانش کوانتومی ابرگرانش
حل‌ها Relativistic disk متریک شوارتس‌شیلد (interior) متریک رایسنر-نوردشتروم متریک گودل متریک کر نیومن متریک (کر) متریک کازنر Lemaître–Tolman فضای تاب–نات مدل میلن متریک فریدمان-لومتر-رابرتسون-واکر فضازمان موج پی پی غبار ون استاکم Weyl–Lewis–Papapetrou Vacuum solution
قضایا Birkhoff's theorem Geroch's splitting theorem Goldberg–Sachs theorem Lovelock's theorem نظریه بدون مو قضایای تکینگی پنروز-هاوکینگ Positive energy theorem
دانشمندان آلبرت اینشتین هندریک لورنتز دیوید هیلبرت آنری پوانکاره کارل شوارتزشیلد ویلم دو سیتر هانس رایسنر گونار نوردشتروم هرمان ویل آرتور استنلی ادینگتون الکساندر فریدمان ادوارد آرتور میلن فریتس تسوئیکی ژرژ لومتر کورت گودل جان ویلر هاوارد پرسی رابرتسون جیمز ماکسول باردین آرتور جئوفری واکر روی کر سوبرامانیان چاندراسخار یورگن الرس راجر پنروز استیون هاوکینگ امل کومار ریچادوری جوزف تیلور راسل هالس ویلم ژاکوب ون استاکم آبراهام هاسکل تاب ازرا نیومن شینگ تونگ یائو کیپ تورن مشارکت‌کنندگان در نسبیت عام
ن ب و

گرانش خطی شده (به انگلیسی: Linearized gravity) یکی از روش‌های تقریب زدن در نسبیت عام است که در آن جملات غیرخطی از متریک فضازمان نادیده گرفته می‌شوند تا علاوه بر ساده‌ترسازی مطالعه برخی مسائل، بتوان همچنان پاسخهای تقریبی قابل قبولی به دست آورد.

روش[ویرایش]

در گرانش خطی شده، تنسور متریک ${\displaystyle g}$ فضازمان از جمع زدن یک پاسخ کامل معادلات اینشتین (اغلب در فضای مینکوفسکی) با اغتشاش ${\displaystyle h}$ به دست می‌آید.

${\displaystyle g\,=\eta +h}$

که در آن η متریک زمینه غیردینامیکی است که مورد اغتشاش قرار می‌گیرد و ${\displaystyle h}$ انحراف متریک واقعی (g) را از فضازمان تخت نشان می‌دهد.

برای محاسبه اغتشاش را از روش‌های نظریه اغتشاش استفاده می‌شود و با نادیده گرفتن جمله‌های با درجه بالاتر از یک، خطی می‌شود.

کاربرد[ویرایش]

معادلات میدان اینشتین دارای متریک غیرخطی هستند و این مسئله حل دقیق این معادلات و یافتن پاسخ کامل را دشوار می‌سازد. با استفاده از این روش اغتشاشی می‌توانیم معادلات میدان خطی شده را به دست آوریم. متریک این معادلات خطی است و حاصل جمع زدن دو پاسخ معادلات میدان خطی شده نیز یک پاسخ خواهد بود. بنابراین فرایند خطی‌سازی ور واقع بر پایه ایده نادیده گرفتن بخش غیرخطی شکل گرفته‌است.

از این روش برای به دست آوردن حد نیوتنی نیز استفاده می‌شود. دیدگاه مفهومی گرانش خطی، دیدگاهی استاندارد در فیزیک ذرات بنیادی و نظریه ریسمان یا به‌طور کلی هر نظریه میدان کوانتومی که در آن میدان‌های کلاسیک (بوزونی) به عنوان حالات همدوسی از ذرات بیان می‌شوند، می‌باشد.

این تقریب همچنین به نام تقریب میدان ضعیف شناخته می‌شود زیرا برای مواردی صادق است که h بسیار کوچک باشد.

تقریب میدان ضعیف[ویرایش]

در یک تقریب میدان ضعیف، تقارن‌های پیمانه ای به صورت هم شکلی دیفرانسیلی (به انگلیسی: deffeomorphism) با اندکی جابجایی (هم شکلی‌های دیفرانسیلی با جابجایی‌های بزرگ قطعاً تقریب میدان ضعیف را نقض می‌کنند).

${\displaystyle \delta _{\vec {\xi }}h=\delta _{\vec {\xi }}g-\delta _{\vec {\xi }}\eta ={\mathcal {L}}_{\vec {\xi }}g={\mathcal {L}}_{\vec {\xi }}\eta +{\mathcal {L}}_{\vec {\xi }}h=\left[\xi _{\nu ;\mu }+\xi _{\mu ;\nu }+\xi ^{\alpha }h_{\mu \nu ;\alpha }+\xi _{;\mu }^{\alpha }h_{\alpha \nu }+\xi _{;\nu }^{\alpha }h_{\mu \alpha }\right]dx^{\mu }\otimes dx^{\nu }}$

که ${\displaystyle {\mathcal {L}}}$ مشتق لی است و ما از این واقعیت استفاده نمودیم که η بنا بر تعریف تغییرشکل نمی‌دهد. توجه کنید که اندیس هارا نسبت به η بالاوپایین می‌بریم و نه g و نسبت به η مشتقهای هموردا می‌گیریم. این رویه استاندارد در گرانش خطی شده‌است.

در حد میدان ضعیف تبدیلات به صورت زیر ساده می‌شوند :

${\displaystyle \delta _{\vec {\xi }}h_{\mu \nu }\approx \left({\mathcal {L}}_{\vec {\xi }}\eta \right)_{\mu \nu }=\xi _{\nu ;\mu }+\xi _{\mu ;\nu }}$

تقریب میدان ضعیف در یافتن مقادیر بعضی از ثابتها مفید است. مثلاً در معادلات میدان اینشتین و متریک شوارتزشیلد.

صورت خطی شده معادلات میدان اینشتین[ویرایش]

معادلات میدان اینشتین خطی شده تقریبی از معادلات میدان اینشتین است که برای میدان‌های گرانشی ضعیف اعتبار دارد و برای ساده کردن بسیاری از مسائل در نسبیت عام و بحث پیرامون پدیده تابش گرانشی کاربرد دارد. از این روش همچنین می‌توان گرانش نیوتنی را به عنوان تقریب میدان ضعیف گرانش اینشتینی استنتاج نمود.

معادلات با این فرض به دست می آیند که متریک فضازمان تنها اندکی با یک متریک مبنای انتخاب شده(معمولاً یک متریک مینکوفسکی) اختلاف دارد. سپس می‌توان اختلاف متریک‌ها را به عنوان میدانی در متریک پایه در نظر گرفت که رفتار آن با مجموعه‌ای از معادلات خطی تقریب زده می‌شود.

استنتاج از یک متریک مینکوفسکی[ویرایش]

از یک متریک در فضازمان به شکل زیر آغاز می‌کنیم :

${\displaystyle g_{ab}=\eta _{ab}+h_{ab}}$

که در آن ${\displaystyle \,\eta _{ab}}$ متریک مینکوفسکی و ${\displaystyle \,h_{ab}}$ - که به صورت ${\displaystyle \epsilon \,\gamma _{ab}}$ نیز نوشته می‌شود - انحراف ${\displaystyle \,g_{ab}}$ از آن است. ${\displaystyle h}$ باید نسبت به ${\displaystyle \eta }$: ${\displaystyle \left|h_{\mu \nu }\right|\ll 1}$ (و به‌طور مشابه برای همه مشتقات ${\displaystyle h}$) قابل چشم پوشی باشد. در این تقریب فرض شده‌است که اندیس‌های h مشتقات آن با ${\displaystyle \eta }$ افزایش و کاهش می یابند.

متریک h مشخصا متقارن است زیرا g و η متقارن هستند. شرط سازگاری ${\displaystyle g_{ab}g^{bc}=\delta _{a}{}^{c}}$ نشان می‌دهد که :

${\displaystyle g^{ab}\,=\eta ^{ab}-h^{ab}}$

نمادهای کریستوفل را می‌توان به طریق زیر محاسبه کرد :

${\displaystyle 2\Gamma _{bc}^{a}=(h^{a}{}_{b,c}+h^{a}{}_{c,b}-h_{bc,}{}^{a})}$

به‌طوری‌که ${\displaystyle h_{bc,}{}^{a}\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ \eta ^{ar}h_{bc,r}}$ و این برای محاسبه تنسور ریمان به کار می‌رود:

${\displaystyle 2R^{a}{}_{bcd}=2(\Gamma _{bd,c}^{a}-\Gamma _{bc,d}^{a})=\eta ^{ae}(h_{eb,dc}+h_{ed,bc}-h_{bd,ec}-h_{eb,cd}-h_{ec,bd}+h_{bc,ed})=}$

${\displaystyle =\eta ^{ae}(h_{ed,bc}-h_{bd,ec}-h_{ec,bd}+h_{bc,ed})=h_{d,bc}^{a}-h_{bd,}{}^{a}{}_{c}+h_{bc,}{}^{a}{}_{d}-h^{a}{}_{c,bd}}$

با داشتن ${\displaystyle R_{bd}=\delta ^{c}{}_{a}R^{a}{}_{bcd}}$ نتیجه می‌گیریم

${\displaystyle 2R_{bd}=h_{d,br}^{r}+h_{b,dr}^{r}-h_{,bd}-h_{bd,rs}\eta ^{rs}}$

برای کمیت نرده‌ای ریچی داریم :

${\displaystyle R=R_{bd}\eta ^{bd}=h_{,ab}^{ab}-\square h}$

در نتیجه معادلات خطی شده اینشتین به صورت زیر خواهند بود :

${\displaystyle 8\pi T_{bd}\,=R_{bd}-R_{ac}\eta ^{ac}\eta _{bd}/2}$

و یا به‌طور معادل :

${\displaystyle 8\pi (T_{bd}-T_{ac}\eta ^{ac}\eta _{bd}/2)\,=R_{bd}}$

${\displaystyle 16\pi (T_{bd}-T_{ac}\eta ^{ac}\eta _{bd}/2)\,=h_{d,br}^{r}+h_{b,dr}^{r}-h_{,bd}-h_{bd,rs}\eta ^{rs}}$

به همراه یک شرط مختصات[ویرایش]

اگر از شرط مختصات هارمونیک ناوردای لورنتز استفاده کنیم :

${\displaystyle h_{\alpha \beta ,\gamma }\eta ^{\beta \gamma }={\frac {1}{2}}h_{\beta \gamma ,\alpha }\eta ^{\beta \gamma }\,,}$

بنابراین صورت خطی شده معادله اینشتین در بالا به شکل زیر ساده می‌شود :

${\displaystyle 16\pi (T_{bd}-T_{ac}\eta ^{ac}\eta _{bd}/2)\,=\,-h_{bd,rs}\eta ^{rs}\,.}$

منابع[ویرایش]

• Stephani, Hans (1990). General Relativity: An Introduction to the Theory of the Gravitational Field,. Cambridge: Cambridge University Press. ISBN 0-521-37941-5.
• Adler, Ronald; Bazin, Maurice' & Schiffer, Menahem (1965). Introduction to General Relativity. New York: McGraw-Hill. ISBN 0-07-000423-4.{{cite book}}: نگهداری یادکرد:نام‌های متعدد:فهرست نویسندگان (link)