در حساب دیفرانسیل تنها یک نوع نمادگذاری واحد برای مشتق وجود ندارد و نمادگذاریهای مختلفی توسط ریاضیدانها استفاده شدهاست. در هر زمینهای خاص٬ برخی نمادها مفیدترند.
نمادگذاری لایبنیتز [ ویرایش ] معمولترین نمادگذاری استفادهشده مربوط به لایبنیتز است.در این نمادگذاری مشتق y {\displaystyle y} نسبت به x {\displaystyle x} میشود: d y d x {\displaystyle {\frac {dy}{dx}}}
و مشتقهای مرتبههای بالاتر چنین نمایش داده میشوند:
d n y d x n , d n ( f ( x ) ) d x n , or d n d x n ( f ( x ) ) {\displaystyle {\frac {d^{n}y}{dx^{n}}},\quad {\frac {d^{n}{\bigl (}f(x){\bigr )}}{dx^{n}}},{\text{ or }}{\frac {d^{n}}{dx^{n}}}{\bigl (}f(x){\bigr )}}
نمادگذاری لاگرانژ [ ویرایش ] یکی دیگر از نمادگذاری های پرکاربرد ٬توسط ژوزف لویی لاگرانژ ابداع شدهاست.سه مرتبهی اول مشتق چنین اند: f ′ {\displaystyle f'\;} ٬ f ″ {\displaystyle f''\;} ٬ f ‴ {\displaystyle f'''\;}
و مشتق مرتبه n {\displaystyle n} نیز به صورت f (n ) نشان داده میشود.
نمادگذاری اویلر [ ویرایش ] در نمادگذاری لئونارد اویلر مشتق به شکل یک عملگر دیفرانسیلی به شکل D {\displaystyle D} که قبل از تابع میآید نمایش مییابد:
مشتق اول: D f {\displaystyle Df\;}
مشتق دوم: D 2 f {\displaystyle D^{2}f\;}
مشتق nام: D n f {\displaystyle D^{n}f\;}
معمولاً متغیری که نسبت به آن مشتق گرفتهمیشود را هم اینطور نشان میدهند: D x n y {\displaystyle D_{x}^{n}y\;}
نمادگذاری نیوتون [ ویرایش ] ẋ ẍ
در نمادگذاری نیوتن ٬ مشتق با قرار دادن نقطه بالای تابع مورد نظر نمایش مییابد.این نوع نمایش مشتق٬ بیشتر برای مشتق زمانی و حداکثر تا مرتبهی دوم کاربرد دارد:
y ˙ = d y d t {\displaystyle {\dot {y}}={\frac {dy}{dt}}} و y ¨ = d 2 y d t 2 {\displaystyle {\ddot {y}}={\frac {d^{2}y}{dt^{2}}}}
نمادگذاری در حساب برداری [ ویرایش ] در حساب برداری ٬ابتدا یک عملگر دیفرانسیلی با نام عملگر دل تعریف میکنیم:
∇ = ( ∂ ∂ x , ∂ ∂ y , ∂ ∂ z ) {\displaystyle \nabla =\left({\frac {\partial }{\partial x}},{\frac {\partial }{\partial y}},{\frac {\partial }{\partial z}}\right)}
حال گرادیان در دستگاه دکارتی چنین تعریف میشود:
g r a d φ = ( ∂ φ ∂ x , ∂ φ ∂ y , ∂ φ ∂ z ) {\displaystyle \mathrm {grad\,} \,\varphi =\left({\frac {\partial \varphi }{\partial x}},{\frac {\partial \varphi }{\partial y}},{\frac {\partial \varphi }{\partial z}}\right)} ,
= ( ∂ ∂ x , ∂ ∂ y , ∂ ∂ z ) φ {\displaystyle =\left({\frac {\partial }{\partial x}},{\frac {\partial }{\partial y}},{\frac {\partial }{\partial z}}\right)\varphi } , = ∇ φ {\displaystyle =\nabla \varphi } . دیورژانس روی یک میدان برداری عمل میکند و به این شکلها نمایش دادهمیشود:
d i v A = ∂ A x ∂ x + ∂ A y ∂ y + ∂ A z ∂ z {\displaystyle \mathrm {div\,} \mathbf {A} ={\partial A_{x} \over \partial x}+{\partial A_{y} \over \partial y}+{\partial A_{z} \over \partial z}} , = ( ∂ ∂ x , ∂ ∂ y , ∂ ∂ z ) ⋅ A {\displaystyle =\left({\frac {\partial }{\partial x}},{\frac {\partial }{\partial y}},{\frac {\partial }{\partial z}}\right)\cdot \mathbf {A} } , = ∇ ⋅ A {\displaystyle =\nabla \cdot \mathbf {A} } . عملگر لاپلاسین : Δ = ∇ 2 {\displaystyle \Delta =\nabla ^{2}} عملگر لاپلاسین خوانده میشود:
d i v g r a d φ = ∇ ⋅ ( ∇ φ ) {\displaystyle \mathrm {div} \,\mathrm {grad} \,\varphi \,=\nabla \cdot (\nabla \varphi )}
= ( ∇ ⋅ ∇ ) φ = ∇ 2 φ = Δ φ {\displaystyle =(\nabla \cdot \nabla )\varphi =\nabla ^{2}\varphi =\Delta \varphi } , و عملگر کرل یا تاو٬ c u r l A {\displaystyle \mathrm {curl} \,\mathbf {A} \,} یا r o t A {\displaystyle \mathrm {rot} \,\mathbf {A} \,} که روی میدان برداری A عمل میکند به این صورتها قابل نمایش است:
c u r l A = ( ∂ A z ∂ y − ∂ A y ∂ z , ∂ A x ∂ z − ∂ A z ∂ x , ∂ A y ∂ x − ∂ A x ∂ y ) {\displaystyle \mathrm {curl} \,\mathbf {A} =\left({\partial A_{z} \over {\partial y}}-{\partial A_{y} \over {\partial z}},{\partial A_{x} \over {\partial z}}-{\partial A_{z} \over {\partial x}},{\partial A_{y} \over {\partial x}}-{\partial A_{x} \over {\partial y}}\right)}
دیگر نمادگذاریها [ ویرایش ] برخی روشهای دیگر برای نمایش مشتق ٬ در حساب چندمتغیره یا آنالیز تانسوری استفاده میشود.برای مثال:
f x = d f d x {\displaystyle f_{x}={\frac {df}{dx}}}
f x x = d 2 f d x 2 . {\displaystyle f_{xx}={\frac {d^{2}f}{dx^{2}}}.} و
∂ f ∂ x = f x = ∂ x f = ∂ x f , {\displaystyle {\frac {\partial f}{\partial x}}=f_{x}=\partial _{x}f=\partial ^{x}f,}
البته دو نماد آخر تنها در فضای اقلیدسی یکسانند و روی خمینه ها یکی نیستند.
پیوند به بیرون [ ویرایش ]
Mathematical Analysis I & II,V.A Zorich