در حسابان بردارها گرادیان (به فرانسوی : Gradient میدان نرده‌ای ، میدانی برداری است که مؤلفه‌های آن نرخ تغییر میدان نخستین را در جهت‌های مختلف نشان می‌دهد. جهت خود میدان برداری گرادیان جهت بیشینهٔ تغییرات است.
به تعبیر دیگر برداری که اندازه و جهت حداکثر نرخ فضائی تغییر یک کمیت عددی را نمایش می‌دهد، گرادیان آن کمیت عددی تعریف می‌کنیم.
∇ f = ( ∂ f ∂ x 1 , … , ∂ f ∂ x n ) {\displaystyle \nabla f=\left({\frac {\partial f}{\partial x_{1}}},\dots ,{\frac {\partial f}{\partial x_{n}}}\right)}
در حالت خاص برای اسکالر f ( x , y , z ) {\displaystyle f(x,y,z)} f در دستگاه کارتزین به صورت زیر نوشته می‌شود:
grad f = ∂ f ∂ x i + ∂ f ∂ y j + ∂ f ∂ z k = ∇ f {\displaystyle {\mbox{grad}}\,f={\partial f \over \partial x}\mathbf {i} +{\partial f \over \partial y}\mathbf {j} +{\partial f \over \partial z}\mathbf {k} =\nabla f} تعبیر فیزیکی [ ویرایش ] ∇ ϕ {\displaystyle \nabla \phi } ϕ {\displaystyle \phi } ϕ = c t e {\displaystyle \phi =cte}
در دستگاه مختصات مختلف [ ویرایش ] در دستگاه مختصات دکارتی (کارتزین) گرادیان برابر است با:
∇ f ( x , y , z ) = ( ∂ f ∂ x , ∂ f ∂ y , ∂ f ∂ z ) {\displaystyle \nabla f(x,y,z)={\begin{pmatrix}{\frac {\partial f}{\partial x}},{\frac {\partial f}{\partial y}},{\frac {\partial f}{\partial z}}\end{pmatrix}}}
و در دستگاه مختصات استوانه‌ای :
∇ f ( ρ , θ , z ) = ( ∂ f ∂ ρ , 1 ρ ∂ f ∂ θ , ∂ f ∂ z ) {\displaystyle \nabla f(\rho ,\theta ,z)={\begin{pmatrix}{\frac {\partial f}{\partial \rho }},{{\frac {1}{\rho }}{\frac {\partial f}{\partial \theta }}},{\frac {\partial f}{\partial z}}\end{pmatrix}}}
و در دستگاه مختصات کروی عبارت است از:
∇ f ( r , θ , ϕ ) = ( ∂ f ∂ r , 1 r ∂ f ∂ θ , 1 r sin θ ∂ f ∂ ϕ ) {\displaystyle \nabla f(r,\theta ,\phi )={\begin{pmatrix}{\frac {\partial f}{\partial r}},{{\frac {1}{r}}{\frac {\partial f}{\partial \theta }}},{{\frac {1}{r\sin \theta }}{\frac {\partial f}{\partial \phi }}}\end{pmatrix}}}
گرادیان روی خمینه مجهّز به متریک ریمانی [ ویرایش ] اگر f {\displaystyle f} g {\displaystyle g} f g {\displaystyle fg}
∇ ( f g ) = f ∇ g + g ∇ f {\displaystyle \nabla (fg)=f\nabla g+g\nabla f} و اگر u → {\displaystyle {\vec {u}}} v → {\displaystyle {\vec {v}}} u → ⋅ v → {\displaystyle {\vec {u}}\cdot {\vec {v}}}
∇ ( u → ⋅ v → ) = ( u → ⋅ ∇ ) v → + ( v → ⋅ ∇ ) u → + u → × ( ∇ × v → ) + v → × ( ∇ × u → ) {\displaystyle \nabla ({\vec {u}}\cdot {\vec {v}})=({\vec {u}}\cdot \nabla ){\vec {v}}+({\vec {v}}\cdot \nabla ){\vec {u}}+{\vec {u}}\times (\nabla \times {\vec {v}})+{\vec {v}}\times (\nabla \times {\vec {u}})} به عنوان مثال :
گرادیان f ( x , y , z ) = 2 x + 3 y 2 − sin ( z ) {\displaystyle f(x,y,z)=\ 2x+3y^{2}-\sin(z)}
∇ f = ( ∂ f ∂ x , ∂ f ∂ y , ∂ f ∂ z ) = ( 2 , 6 y , − cos ( z ) ) {\displaystyle \nabla f={\begin{pmatrix}{\frac {\partial f}{\partial x}},{\frac {\partial f}{\partial y}},{\frac {\partial f}{\partial z}}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}{2},{6y},{-\cos(z)}\end{pmatrix}}} جستارهای وابسته [ ویرایش ]
Optimization computes maxima and minima.
