تبدیل ستاره-مثلث

تبدیل ستاره مثلث، یا وای-دلتا، روشی ریاضی برای تسهیل تحلیل یک شبکه الکتریکی است. این نام از شکل نمودارهای مداری، که به ترتب شبیه حروف Y و حرف یونانی Δ هستند مشتق شده است. این نظریه تبدیل مدار توسط آرتور ادوین کینلی منتشر شد.

ایده[ویرایش]

شکل بالا را در نظر بگیرید. این دو ساختار (ستاره و مثلث) تنها در صورتی برابر هستند که مقاومت معادل بین هر دو نقطه در هردو شکل برابر باشد. یعنی به طور مثال مقاومت معادل بین نقاط ${\displaystyle {N_{1}}}$ و ${\displaystyle {N_{2}}}$ در ساختار مثلث باید برابر با مقاومت همان دو نقطه در ساختار ستاره برابر باشد.

روش[ویرایش]

مثلث به ستاره[ویرایش]

با توجه به ایده گفته شده در بالا، فرض کنید که مقاومت‌های ساختار مثلثی داده (${\displaystyle {R_{b}}}$،${\displaystyle {R_{a}}}$،${\displaystyle {R_{c}}}$) و مقاومت‌های ساختار ستاره باید محاسبه شوند.
دو نقطه ${\displaystyle {N_{1}}}$ و ${\displaystyle {N_{3}}}$ را در ساختار مثلثی نظر بگیرید. مقاومت معادل در ساختار ستاره (بین همان دو نقطه) برابر است با:

${\displaystyle {R_{1}}+{R_{3}}={{{R_{a}}({R_{b}}+{R_{c}})} \over {{R_{a}}+{R_{b}}+{R_{c}}}}}$

به همین ترتیب می‌توان مقاومت معادل بین دو جفت نقاط دیگر را محاسبه و پس از ساده‌سازی به روابط زیر دست یافت:

${\displaystyle {R_{1}}={{R_{a}}{R_{b}} \over {{R_{a}}+{R_{b}}+{R_{c}}}}}$

${\displaystyle {R_{2}}={{R_{b}}{R_{c}} \over {{R_{a}}+{R_{b}}+{R_{c}}}}}$

${\displaystyle {R_{3}}={{R_{a}}{R_{c}} \over {{R_{a}}+{R_{b}}+{R_{c}}}}}$

حالت خاص وقتی که همه مقاومت ها یکسان باشد:

${\displaystyle {R_{1}}={{R_{a}} \over {3}}}$

ستاره به مثلث[ویرایش]

${\displaystyle {R_{a}}={{R_{1}}{R_{2}}+{R_{2}}{R_{3}}+{R_{1}}{R_{3}} \over {R_{2}}}}$

${\displaystyle {R_{b}}={{R_{1}}{R_{2}}+{R_{1}}{R_{3}}+{R_{2}}{R_{3}} \over {R_{3}}}}$

${\displaystyle {R_{c}}={{R_{1}}{R_{2}}+{R_{1}}{R_{3}}+{R_{2}}{R_{3}} \over {R_{1}}}}$

حالت خاص وقتی که همه مقاومت ها یکسان باشد:

${\displaystyle {R_{a}}={{3}{R_{1}}}}$

منابع[ویرایش]