Planímetro

El planímetro es un aparato de medición utilizado para el cálculo de áreas irregulares. Este modelo se obtiene con base en la teoría de integrales de línea o de recorrido.

Contexto[editar]

Para los casos en los que se necesita calcular superficies irregulares o en perspectiva, como mapas o manchas la geometría clásica o incluso la geometría analítica no son suficientes y no prestan mayor utilidad. Por ello es necesario recurrir a una herramienta de medición específica para tal fin, el planímetro es una buena y fácil alternativa.

Modelo y esquema de utilización[editar]

Se tiene un origen O, dos longitudes constantes conocidas R y L, y los ángulos variables  y  respectivamente, que se forman con la horizontal,

Para poder calcular el área A de la sección irregular, según la teoría del cálculo, se emplea una integral de línea en sentido contrario a las manecillas del reloj (para resultado positivo).

Pero el vector r, no es fácilmente implementable en la vida real, ya que se tiene un largo y un ángulo variables. Para simplificar la implementación del vector r, se recurre a la suma de dos vectores cuyo módulo es constante, pero se tendrían dos ángulos variables, los cuales son sencillos de medir.

Obtención del modelo matemático[editar]

Para calcular el área de una sección encerrada por una curva c, descrita por la ecuación vectorial r(t) se utiliza: A= (1)

Donde (t)=(x(t),y(t))

Ahora según la figura 1:

x(t) = Rcos() + Lcos() (2) y(t) = Rsen() + Lsen() (3)

Al aplicar (2) y (3) en la ecuación (1), se obtiene:

A= (4)

Conclusiones[editar]

La ecuación (4) es fácilmente programable en muchos lenguajes de programación de alto nivel (PASCAL, C, FORTRAN, etc), debido a que sólo se necesita de un muestreo de los ángulos  y .

Incluso los ángulos se podrían medir manualmente e ingresar los datos registrados al programa del planímetro.

Véase también[editar]