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Núcleo e imagen de un operador lineal L : V → W {\displaystyle L:V\to W} En matemáticas y especialmente en álgebra lineal , dada la transformación lineal L : V → W {\displaystyle L:V\to W} kernel o núcleo L {\displaystyle L} Ker ( L ) {\displaystyle \operatorname {Ker} (L)} Nuc ( L ) {\displaystyle \operatorname {Nuc} (L)} conjunto de todos los vectores en V {\displaystyle V} L {\displaystyle L} vector nulo de W {\displaystyle W} Ker ( L ) {\displaystyle \operatorname {Ker} (L)}
Ker ( L ) = { v → ∈ V : L ( v → ) = 0 → W } {\displaystyle \operatorname {Ker} (L)=\{{\vec {v}}\in V:L({\vec {v}})={\vec {0}}_{W}\}} Considere la función
f : R 2 → R ( x , y ) ↦ x − y {\displaystyle {\begin{aligned}f:\mathbb {R} ^{2}&\to \mathbb {R} \\(x,y)&\mapsto x-y\end{aligned}}} que es lineal cumple que para α ∈ R {\displaystyle \alpha \in \mathbb {R} } ( x 1 , y 1 ) , ( x 2 , y 2 ) ∈ R 2 {\displaystyle (x_{1},y_{1}),(x_{2},y_{2})\in \mathbb {R} ^{2}}
f ( α ( x 1 , y 1 ) + ( x 2 , y 2 ) ) = f ( α x 1 + x 2 , α y 1 + y 2 ) = ( α x 1 + x 2 ) − ( α y 1 − y 2 ) = ( α x 1 − α y 1 ) + ( x 2 − y 2 ) = α ( x 1 − y 1 ) + ( x 2 − y 2 ) = α f ( x 1 , y 1 ) + f ( x 2 , y 2 ) {\displaystyle {\begin{aligned}f(\alpha (x_{1},y_{1})+(x_{2},y_{2}))&=f(\alpha x_{1}+x_{2},\alpha y_{1}+y_{2})\\&=(\alpha x_{1}+x_{2})-(\alpha y_{1}-y_{2})\\&=(\alpha x_{1}-\alpha y_{1})+(x_{2}-y_{2})\\&=\alpha (x_{1}-y_{1})+(x_{2}-y_{2})\\&=\alpha f(x_{1},y_{1})+f(x_{2},y_{2})\end{aligned}}} Su núcleo consiste en todos aquellos vectores cuya primera y segunda coordenada coinciden pues
Ker ( f ) = { ( x , y ) ∈ R 2 : f ( x , y ) = 0 } = { ( x , y ) ∈ R 2 : x − y = 0 } = { ( x , y ) ∈ R 2 : x = y } = { ( x , x ) ∈ R 2 : x ∈ R } {\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {Ker} (f)&=\{(x,y)\in \mathbb {R} ^{2}:f(x,y)=0\}\\&=\{(x,y)\in \mathbb {R} ^{2}:x-y=0\}\\&=\{(x,y)\in \mathbb {R} ^{2}:x=y\}\\&=\{(x,x)\in \mathbb {R} ^{2}:x\in \mathbb {R} \}\end{aligned}}} en concreto el Ker ( f ) {\displaystyle \operatorname {Ker} (f)}
Ker ( f ) = { ( x , x ) ∈ R 2 : x ∈ R } {\displaystyle \operatorname {Ker} (f)=\{(x,x)\in \mathbb {R} ^{2}:x\in \mathbb {R} \}} que es el mismo que la variedad lineal generada por el vector (1,1), que describe la recta y = x {\displaystyle y=x} R 2 {\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}
En el espacio euclídeo de dimensión 3, el núcleo de una forma lineal está formado por todos aquellos vectores que son ortogonales a uno dado. Por ejemplo, dado el vector a = (1,2,3) , la forma lineal dada por el producto escalar a ⋅ x {\displaystyle a\cdot x}
( 1 2 3 ) ⋅ ( x 1 x 2 x 3 ) = 0 {\displaystyle {\begin{pmatrix}1&2&3\\\end{pmatrix}}\cdot {\begin{pmatrix}x_{1}\\x_{2}\\x_{3}\end{pmatrix}}=0} que equivale a la ecuación lineal :
x 1 + 2 x 2 + 3 x 3 = 0 {\displaystyle x_{1}+2x_{2}+3x_{3}=0} La solución es otro subespacio de dimensión 2, que se puede describir por ejemplo como el subespacio generado por los vectores: L ( ( − 2 , 1 , 0 ) , ( − 3 , 0 , 1 ) ) {\displaystyle {\mathcal {L}}\left((-2,1,0),(-3,0,1)\right)}
Propiedades [ editar ] Dado un operador lineal f : R n → R m {\displaystyle f:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{m}} A {\displaystyle A} R n {\displaystyle \mathbb {R} ^{n}} nulidad de A {\displaystyle A} reducir por filas la matriz A {\displaystyle A} teorema rango-nulidad establece que el rango más la nulidad es igual al número de columnas de la matriz.
Véase también [ editar ] Enlaces externos [ editar ]
Datos: Q2914509