Notación matemática

La matemática se apoya en un lenguaje simbólico formal, la notación matemática, que sigue una serie de convenciones propias. Los símbolos representan un concepto, una relación, una operación, o una fórmula matemática según ciertas reglas. Estos símbolos no deben considerarse abreviaturas, sino entidades con valor propio y autónomo.

Algunos principios básicos son:

• Los símbolos de una letra se representan en letra cursiva: ${\displaystyle \scriptstyle a,\,b,\,i,\,k,\,x,\,y}$, etc.
• Los símbolos de varias letras se representan en letra redonda: ${\displaystyle \scriptstyle \cos \alpha ,\,\exp x}$, etc.; en lugar de ${\displaystyle \scriptstyle \ln x}$ no debe escribirse ${\displaystyle \scriptstyle lnx}$, porque eso representaría el producto ${\displaystyle \scriptstyle l\cdot n\cdot x}$ en lugar del logaritmo neperiano.
• Según la norma ISO/IEC 80000 los operadores diferenciales y las constantes matemáticas universales (${\displaystyle \scriptstyle {\text{e}},\,{\text{i}}}$), también se escriben con letra redonda: ${\displaystyle \scriptstyle a{\text{e}}^{x}}$.^[1]​

Teoría de conjuntos[editar]

Sean ${\displaystyle x}$ un elemento y ${\displaystyle A,B}$ conjuntos

Relación	Notación	Se lee
pertenencia	${\displaystyle x\in A}$	x pertenece a A
inclusión	${\displaystyle A\subset B}$	A está contenido en B
	${\displaystyle A\subseteq B}$	A está contenido en B o es igual que B
inclusión	${\displaystyle A\supset B}$	A contiene a B
	${\displaystyle A\supseteq B}$	A contiene a B o es igual que B

Una barra cruzada sobre el símbolo niega el enunciado; por ejemplo ${\displaystyle x\not \in A}$ es "x no pertenece a A";

Conjuntos numéricos[editar]

La siguiente tabla recoge algunos ejemplos de símbolos que utilizan blackboard bold. Se muestra el símbolo creado con LaTeX, el carácter Unicode equivalente (podría no ser visible dependiendo del navegador y los tipos de letra disponibles), y su significado habitual en matemáticas:

TeX	Unicode	Uso en matemáticas
${\displaystyle \mathbb {C} \!}$	ℂ	Números complejos
${\displaystyle \mathbb {H} \!}$	ℍ	Cuaterniones
${\displaystyle \mathbb {N} \!}$	ℕ	Números naturales
${\displaystyle \mathbb {P} \!}$	ℙ	Números primos
${\displaystyle \mathbb {Q} \!}$	ℚ	Números racionales
${\displaystyle \mathbb {R} \!}$	ℝ	Números reales
${\displaystyle \mathbb {S} \!}$	𝕊	Esfera
${\displaystyle \mathbb {Z} \!}$	ℤ	Números enteros

Conjuntos numéricos especiales[editar]

${\displaystyle \mathbb {N} =\{1,2,3,\ldots \}}$

${\displaystyle \mathbb {N} _{0}=\mathbb {N} ^{*}=\mathbb {N} \cup \{0\}=\{0,1,2,3,\ldots \}}$

${\displaystyle \mathbb {Z} =\{\ldots -3,-2,-1,0,1,2,3\ldots \}}$

${\displaystyle \mathbb {Z} ^{+}=\mathbb {Z} \setminus \mathbb {Z} ^{-}=\{0,1,2,3,\ldots \}}$

${\displaystyle \mathbb {Q} =\{p:\quad p={\frac {a}{b}}\quad /\quad a,b\in \mathbb {Z} \quad \land \quad b\neq 0\}}$

${\displaystyle \mathbb {Q} =\{p:\quad p={\frac {a}{b}}\quad /\quad a\in \mathbb {Z} \quad \land \quad b\in \mathbb {N} \}}$

${\displaystyle \mathbb {R} ={\mbox{El conjunto de los números reales }}}$

${\displaystyle \mathrm {Irracionales} =\mathbb {R} \setminus \mathbb {Q} }$

${\displaystyle {\overline {\mathbb {R} }}=\mathbb {R} \cup \{\pm \infty \}={\mbox{ La recta real ampliada}}}$

${\displaystyle \mathbb {C} =\{c:\quad c=a+b\cdot i\quad /\quad a,b\in \mathbb {R} \quad \land \quad i^{2}=-1\}}$

${\displaystyle \mathbb {S} ^{1}=\{z\in \mathbb {C} \colon \|z\|=1\}}$

Expresiones[editar]

Relación	Notación	Se lee
igualdad	${\displaystyle x=y}$	x es igual que y
menor que	${\displaystyle x<y}$	x es menor que y
mayor que	${\displaystyle x>y}$	x es mayor que y
aproximado	${\displaystyle x\approx y}$	x es aproximadamente igual que y

Cuantificador	Notación	Se lee
cuantificador universal	${\displaystyle \forall x\ ...}$	para todo x
cuantificador existencial	${\displaystyle \exists x\ ...}$	Existe por lo menos un x
cuantificador existencial con marca de unicidad	${\displaystyle \exists !x\ ...}$	Existe un único x
tal que	${\displaystyle x\mid y}$	x, tal que y
por lo tanto	${\displaystyle x\therefore y}$	x, por lo tanto y

Ejemplo:

Teorema de Weierstrass:

"Sea f una función real continua en un intervalo real cerrado y acotado [a, b], donde a es estrictamente menor que b.

Se tiene que:

• La función f está acotada.
• La función f alcanza un máximo y un mínimo en dicho intervalo, no necesariamente únicos."

Este teorema se puede expresar con notación matemática de la siguiente forma:

" ${\displaystyle f:[a,b]\subseteq \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} ,a<b\Longrightarrow \exists r,s\in [a,b]\mid \forall x\in [a,b]:f(r)\leq f(x)\leq f(s)}$ ".

Lógica proposicional, álgebra de Boole[editar]

Operadores básicos[editar]

Los operadores lógicos más básicos son la conjunción, la disyunción, y la negación.

Sean ${\displaystyle p}$ y ${\displaystyle q}$ dos proposiciones

Operación	Notación	Se lee
Negación	${\displaystyle \neg p}$	no 'p'
Conjunción	${\displaystyle p\land q}$	'p' y 'q'
Disyunción	${\displaystyle p\lor q}$	'p' o (exclusivo) 'q'

Los operadores básicos se usan para formar declaraciones atómicas. Las declaraciones atómicas dicen cual combinación de pp y qq es verdad.

Implicación[editar]

Una combinación muy útil de los operadores matemáticos es la implicación. Se escribe ${\displaystyle p\to q}$ o ${\displaystyle p\Rightarrow q}$ como abreviatura de ${\displaystyle \neg p\lor q}$. La declaración "${\displaystyle p}$ implica ${\displaystyle q}$" es cierta siempre que ${\displaystyle p}$ sea verdad, pero no necesariamente si ${\displaystyle q}$ lo es (ya que q puede ser verdad por otras razones).

Si ${\displaystyle p\Rightarrow q}$ y ${\displaystyle q\Rightarrow p}$, se escribe ${\displaystyle p\Leftrightarrow q}$, que se lee "${\displaystyle p}$ implica y es implicada por ${\displaystyle q}$", o bien "${\displaystyle p}$ si y solo si ${\displaystyle q}$".

Uno de los usos más comunes de los operadores lógicos se encuentra en la Programación de Sistemas de Información, así como en la generación de circuitos eléctricos, y en general en cualquier sistema de toma de decisiones para la empresa o para la vida cotidiana, por ejemplo:

Si salgo tarde de mi casa y no tengo vehículo, entonces llegaré tarde al trabajo.

Conjunción: Salgo tarde ${\displaystyle \land }$ no tengo vehículo ${\displaystyle \Rightarrow }$ llegaré tarde al trabajo.

Viajo en autobús o viajo en mi coche, no las dos cosas a la vez.

Disyunción lógica: viajo en bus ${\displaystyle \lor }$ viajo en mi auto ${\displaystyle \Rightarrow }$ o lo uno o lo otro.

Contradicciones del lenguaje

Si se dice: aquí no hay nadie y se aplica literalmente la doble negación expresada en el habla cotidiana, entonces, se podría entender que aquí hay alguien.

Negación lógica: no ${\displaystyle \neg }$ hay nadie ${\displaystyle \Rightarrow }$ aquí hay alguien.

Si una empresa no produce nada, podríamos entender que la empresa produce algo.

Negación lógica: no ${\displaystyle \neg }$ produce nada ${\displaystyle \Rightarrow }$ produce algo.

Otros idiomas, como el francés, evitan esta ambigüedad o contradicción delimitando la negación con una doble marca, remplazando sólo la segunda marca cuando se utiliza "nada" o "nadie", de manera que cuando se conjuga la negación se remplaza sólo la segunda marca, "ne...pas" se convierte en "ne...rien" o "ne ...personne", lo cual evita una posible interpretación de doble negación de la estructura básica.

Cuantificadores[editar]

Hasta ahora las declaraciones que podemos hacer no dicen cuándo son verdades. Para decirnos cuándo una declaración es verdad, necesitamos los cuantificadores. Hay tres cuantificadores básicos: el cuantificador universal, el cuantificador existencial y el cuantificador existencial con marca de unicidad. Aquí están los símbolos.

Nombre	Notación	Se lee
cuantificador universal	${\displaystyle \forall x\ldots }$	Para todo x...
cuantificador existencial	${\displaystyle \exists x\ldots }$	Existe por lo menos un x...
cuantificador existencial con marca de unicidad	${\displaystyle \exists !x\ldots }$	Existe un único x...

Las declaraciones cuantificadas se escriben en la forma ${\displaystyle \forall x\ ,\ p\quad o\quad \exists y\mid q}$ que se leen "para todo ${\displaystyle x}$, es verdad que ${\displaystyle p}$" y "existe por lo menos un ${\displaystyle y}$ tal que ${\displaystyle q}$ es verdad".

Estos dos últimos cuantificadores pueden usarse para lo mismo, ya que ${\displaystyle \neg \forall x\ ,\ p}$ dice lo mismo que dice ${\displaystyle \exists x|\neg p}$. En palabras, decir "no es para todo ${\displaystyle x}$ que ${\displaystyle p}$ es verdad" es igual que decir "existe ${\displaystyle x}$ tal que ${\displaystyle p}$ es falsa".

Teoría de números[editar]

Análisis matemático[editar]

Análisis real[editar]

Límites[editar]

Para decir que el límite de la función ${\displaystyle f}$ es ${\displaystyle L}$ cuando ${\displaystyle x}$ tiende a ${\displaystyle a}$, se escribe:

${\displaystyle \lim _{x\to a}f(x)=L}$ o bien ${\displaystyle f(x){\overset {x\to a}{\rightarrow }}L}$ o simplemente ${\displaystyle f(x)\to L}$.

Igualmente, para decir que la sucesión ${\displaystyle \{a_{n}\}}$ va a ${\displaystyle a}$ cuando ${\displaystyle n}$ tiende a la infinidad, se escribe:

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }a_{n}=a}$ o bien ${\displaystyle a_{n}\to a}$.

Derivadas[editar]

Derivadas ordinarias[editar]

Se define la derivada de una función como el límite del cociente del cambio en la ordenada y la abscisa. Hay varias notaciones para denotar la derivada de una función de una sola variable:

${\displaystyle y=f(x)\,}$

Las derivadas serían:

${\displaystyle y'\quad f'(x)\quad {\frac {d}{dx}}f(x)\quad {\frac {dy}{dx}}\quad D_{x}(y)\quad D_{x}(f(x))}$

Derivadas parciales[editar]

Si la función depende de dos o más variables, por ejemplo:

${\displaystyle z=f(x,y)\,}$

Las derivadas parciales respecto a cada una de las variables independientes:

${\displaystyle {\frac {\partial z}{\partial x}}\quad {\frac {\partial }{\partial x}}f(x,y)\quad {\frac {\partial z}{\partial y}}\quad {\frac {\partial }{\partial y}}f(x,y)}$

${\displaystyle {\frac {\partial ^{2}z}{\partial x\partial y}}\quad {\frac {\partial ^{2}}{\partial x\partial y}}f(x,y)\quad {\frac {\partial ^{2}z}{\partial x^{2}}}\quad {\frac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}f(x,y)\quad {\frac {\partial ^{2}z}{\partial y^{2}}}\quad {\frac {\partial ^{2}}{\partial y^{2}}}f(x,y)}$

Véase también[editar]

• Anexo:Tabla de símbolos matemáticos
• Anexo:Constantes matemáticas
• Ayuda:Uso de TeX

Notas[editar]

Enlaces externos[editar]

• Ortotipografía y notaciones matemáticas.