La función Si(x ) La integral senoidal es la función definida mediante la integración de la función sinc (seno cardinal):
Si ( x ) = ∫ 0 x sinc ( t ) d t = ∫ 0 x sen ( t ) t d t {\displaystyle {\mbox{Si}}(x)=\int _{0}^{x}{\mbox{sinc}}(t)\,dt=\int _{0}^{x}{\frac {\operatorname {sen}(t)}{t}}\,dt} Esta integral no puede expresarse en términos de funciones elementales. Mediante una integración término a término, se ve que la integral senoidal puede expresarse como una serie :
Si ( x ) = ∑ n = 0 ∞ ( − 1 ) n x 2 n + 1 ( 2 n + 1 ) ( 2 n + 1 ) ! = x − x 3 3 ⋅ 3 ! + x 5 5 ⋅ 5 ! − x 7 7 ⋅ 7 ! + … {\displaystyle {\mbox{Si}}(x)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}x^{2n+1}}{(2n+1)(2n+1)!}}=x-{\frac {x^{3}}{3\cdot 3!}}+{\frac {x^{5}}{5\cdot 5!}}-{\frac {x^{7}}{7\cdot 7!}}+\dots } Propiedades [ editar ] Algunas propiedades de la integral senoidal son:
Al ser la integral de una función par , es una función impar , esto es, Si(-x) = -Si(x). El valor de Si(x) cuando x tiende a infinito es el límite: lim x → ∞ Si ( x ) = ∫ 0 ∞ sen ( t ) t d t = π 2 {\displaystyle \lim _{x\rightarrow \infty }{\mbox{Si}}(x)=\int _{0}^{\infty }{\frac {\operatorname {sen}(t)}{t}}\,dt={\frac {\pi }{2}}} Asimismo, el valor de Si(x) cuando x tiende a menos infinito es − π 2 {\displaystyle -{\frac {\pi }{2}}} . Funciones asociadas [ editar ] Seno Integral [ editar ] Gráfico de Si(x ) para 0 ≤ x ≤ 8π. Las diferentes definiciones son:
S i ( x ) = ∫ 0 x sen t t d t {\displaystyle {\rm {Si}}(x)=\int _{0}^{x}{\frac {\operatorname {sen} t}{t}}\,dt} s i ( x ) = − ∫ x ∞ sen t t d t {\displaystyle {\rm {si}}(x)=-\int _{x}^{\infty }{\frac {\operatorname {sen} t}{t}}\,dt} S i ( x ) {\displaystyle {\rm {Si}}(x)} es la primitiva de sen x / x {\displaystyle \operatorname {sen} x/x} que es cero para x = 0 {\displaystyle x=0} ; s i ( x ) {\displaystyle {\rm {si}}(x)} es la primitiva de sen x / x {\displaystyle \operatorname {sen} x/x} que es cero para x = ∞ {\displaystyle x=\infty } . Se debe distinguir que sen t t {\displaystyle {\tfrac {\operatorname {sen} t}{t}}} es la Función sinc y también la función esférica de Bessel: j n , y n {\displaystyle j_{n},y_{n}} de orden cero. Cuando x = ∞ {\displaystyle x=\infty } , se conoce como la Integral de Dirichlet.
Se define la función integral senoidal complementaria como:
si ( x ) = Si ( x ) − π 2 = − ∫ x ∞ sen ( t ) t d t {\displaystyle {\mbox{si}}(x)={\mbox{Si}}(x)-{\frac {\pi }{2}}=-\int _{x}^{\infty }{\frac {\operatorname {sen}(t)}{t}}\,dt} Coseno Integral [ editar ] Gráfico de Ci(x ) para 0 < x ≤ 8π. Se define la función integral cosenoidal como:
ci ( x ) = ∫ x ∞ cos ( t ) t d t {\displaystyle {\mbox{ci}}(x)=\int _{x}^{\infty }{\frac {\cos(t)}{t}}\,dt} Las diferentes definiciones son:
C i ( x ) = γ + ln x + ∫ 0 x cos t − 1 t d t {\displaystyle {\rm {Ci}}(x)=\gamma +\ln x+\int _{0}^{x}{\frac {\cos t-1}{t}}\,dt} c i ( x ) = − ∫ x ∞ cos t t d t {\displaystyle {\rm {ci}}(x)=-\int _{x}^{\infty }{\frac {\cos t}{t}}\,dt} C i n ( x ) = ∫ 0 x 1 − cos t t d t {\displaystyle {\rm {Cin}}(x)=\int _{0}^{x}{\frac {1-\cos t}{t}}\,dt} c i ( x ) {\displaystyle {\rm {ci}}(x)} es la primitiva de cos x / x {\displaystyle \cos x/x} que es cero para x = ∞ {\displaystyle x=\infty } . Se tiene:
c i ( x ) = C i ( x ) {\displaystyle {\rm {ci}}(x)={\rm {Ci}}(x)\,} C i n ( x ) = γ + ln x − C i ( x ) {\displaystyle {\rm {Cin}}(x)=\gamma +\ln x-{\rm {Ci}}(x)\,} Véase también [ editar ] Referencias [ editar ] Kreyszig, Erwin, Matemáticas avanzadas para ingeniería . Enlaces externos [ editar ] Weisstein, Eric W . «Sine Integral» . En Weisstein, Eric W, ed. MathWorld (en inglés) . Wolfram Research . Hazewinkel, Michiel, ed. (2001), «Integral senoidal» , Encyclopaedia of Mathematics (en inglés) , Springer, ISBN 978-1556080104 . Hazewinkel, Michiel, ed. (2001), «Integral senoidal» , Encyclopaedia of Mathematics (en inglés) , Springer, ISBN 978-1556080104 .