Espacio dual

Dado ${\displaystyle v\in V}$ tal que ${\displaystyle v\neq 0}$, existe ${\displaystyle \omega \in V^{*}}$tal que ${\displaystyle \omega (v)\neq 0}$.

Tomamos el subespacio vectorial generado por v, ${\displaystyle \langle v\rangle }$, y sea ${\displaystyle {\overline {V}}}$ el subespacio suplementario del anterior. Como los anteriores subespacios son suplementarios, tenemos lo siguiente: ${\displaystyle \langle v\rangle \oplus \;{\overline {V}}=\;V}$ y deducimos que ${\displaystyle \dim _{F}V=\;\dim _{F}{\overline {V}}+\dim _{F}(\langle v\rangle )\longrightarrow \dim _{F}{\overline {V}}=\;\dim _{F}V-1}$.

Ahora tomamos el paso al cociente y obtenemos ${\displaystyle V/{\overline {V}}}$ que es de dimensión 1, como podemos comprobar a continuación: ${\displaystyle \dim _{F}V/{\overline {V}}=\;\dim _{F}V-\dim _{F}{\overline {V}}=\;\dim _{F}V-(\dim _{F}V-1)=\;\dim _{F}V-\dim _{F}V+1=\;1}$

Como la dimensión del espacio cociente es uno y como sabemos por hipótesis que ${\displaystyle v\neq 0}$ podemos construir una base de ${\displaystyle V/{\overline {V}}}$ con la clase de equivalencia de ${\displaystyle v}$. Tenemos que ${\displaystyle V/{\overline {V}}=\langle [v]\rangle }$ , luego los elementos ${\displaystyle V/{\overline {V}}}$ son de la forma ${\displaystyle \lambda [v],\;\;\lambda \in F}$. Definimos la siguiente aplicación lineal:

${\displaystyle {\begin{array}{cccl}\omega ':&V/{\overline {V}}&\longrightarrow &F\\&\lambda [v]&\longmapsto &\lambda \end{array}}}$

y podemos realizar una composición de aplicaciones con el paso al cociente y la aplicación lineal que acabamos de definir:

${\displaystyle {\begin{array}{ccccl}V&{\overset {\Pi }{\longrightarrow }}&V/{\overline {V}}&{\overset {\omega '}{\longrightarrow }}&F\\v&\longmapsto &[v]\\&&\lambda [v]&\longmapsto &\lambda \end{array}}}$ , definimos ${\displaystyle \omega =\omega '\circ \;\Pi }$.

Luego ${\displaystyle \omega }$ es una composición de aplicaciones lineales, por lo tanto ${\displaystyle \omega }$ debe de ser también una aplicación lineal. Finalmente, hemos encontrado la aplicación lineal ${\displaystyle \omega }$ que verifica el enunciado a demostrar: ${\displaystyle \omega (v)=\;\omega '(\Pi (v))=\;\omega '(\lambda [v])=\;\lambda \quad \mathrm {Q.E.D.} }$

${\displaystyle \phi (e)\in V^{**}}$

${\displaystyle V^{**}}$

${\displaystyle \omega _{1},\omega _{2}\in V^{*},\lambda _{1},\lambda _{2}\in F}$

${\displaystyle (\phi (v))(\lambda _{1}\omega _{1}+\lambda _{2}\omega _{2})\;{\overset {?}{=}}\;\lambda _{1}(\phi (v))(\omega _{1})+\lambda _{2}(\phi (v))(\omega _{2})}$

${\displaystyle (\phi (v))(\lambda _{1}\omega _{1}+\lambda _{2}\omega _{2})=(\lambda _{1}\omega _{1}+\lambda _{2}\omega _{2})(v)=\lambda _{1}\omega _{1}(v)+\lambda _{2}\omega _{2}(v)=\lambda _{1}(\phi (v))(\omega _{1})+\lambda _{2}(\phi (v))(\omega _{2})\quad \mathrm {Q.E.D.} }$

luego es lineal.

A continuación veamos que ${\displaystyle \phi :V\rightarrow V^{**}}$ es también lineal. Sean ${\displaystyle v_{1},v_{2}\in V,\;\;\lambda _{1},\lambda _{2}\in F}$, veamos que ${\displaystyle \phi (\lambda _{1}v_{1}+\lambda _{2}v_{2})\;{\overset {?}{=}}\;\lambda _{1}\phi (v_{1})+\lambda _{2}\phi (v_{2})}$ .

Esta igualdad es equivalente a ${\displaystyle (\phi (\lambda _{1}v_{1}+\lambda _{2}v_{2}))(\omega )\;{\overset {?}{=}}\;(\lambda _{1}\phi (v_{1})+\lambda _{2}\phi (v_{2}))(\omega ),\quad \forall \omega \in V^{*}}$

Desarrollando el primer miembro: ${\displaystyle (\phi (\lambda _{1}v_{1}+\lambda _{2}v_{2}))(\omega )=\omega (\lambda _{1}v_{1}+\lambda _{2}v_{2})=\lambda _{1}\omega (v_{1})+\lambda _{2}\omega (v_{2})}$

y desarrollando el segundo miembro: ${\displaystyle (\lambda _{1}\phi (v_{1})+\lambda _{2}\phi (v_{2}))(\omega )=\lambda _{1}(\phi (v_{1}))(\omega )+\lambda _{2}(\phi (v_{2}))(\omega )=\lambda _{1}\omega (v_{1})+\lambda _{2}\omega (v_{2})}$

obtenemos cosas idénticas, por lo que hemos demostrado que la aplicación ${\displaystyle \phi }$ es lineal.

Veamos ahora que ${\displaystyle \phi :V\rightarrow V^{**}}$es inyectiva.

Sean ${\displaystyle v,v'\in V,\;\;v\neq v'}$, veamos que ${\displaystyle \phi (v)\neq \phi (v')}$.

Como ${\displaystyle v\neq v'}$, por el lema anterior, existe ${\displaystyle {\overline {\omega }}\in V^{*}}$ tal que ${\displaystyle {\overline {\omega }}(v)\neq {\overline {\omega }}(v')}$. Ahora por la definición de ${\displaystyle \phi }$ tenemos lo siguiente:

${\displaystyle {\begin{cases}(\phi (v))({\overline {\omega }})=\;{\overline {\omega }}(v)\\(\phi (v'))({\overline {\omega }})=\;{\overline {\omega }}(v')\end{cases}}}$

y como sabemos que ${\displaystyle {\overline {\omega }}(v)\neq {\overline {\omega }}(v')}$ es cierto, deducimos que ${\displaystyle (\phi (v))({\overline {\omega }})\neq (\phi (v'))({\overline {\omega }})}$por lo que hemos demostrado que ${\displaystyle \phi }$ es inyectiva.

Por último veamos que si ${\displaystyle V}$ es finito-generado entonces ${\displaystyle \phi }$ es un isomorfismo.

Como ${\displaystyle V}$ es finito-generado, ${\displaystyle \dim _{F}V=n,\;\;n\in \mathbb {Z} ^{+}}$. También sabemos que ${\displaystyle \dim _{F}V=\;\dim _{F}V^{*}=\;\dim _{F}V^{**}}$luego ${\displaystyle V^{**}}$ también es finito-generado y su dimensión es la misma que la de ${\displaystyle V}$. Como ${\displaystyle \phi }$ es lineal e inyectiva podemos deducir lo siguiente:

${\displaystyle \dim _{F}V=\;\dim _{F}\ker(\phi )+\dim _{F}Im(\phi )}$, por ser ${\displaystyle \phi }$ una aplicación lineal.

${\displaystyle \ker(\phi )=\;0\longrightarrow \dim _{F}\ker(\phi )=\;0}$, por ser ${\displaystyle \phi }$ inyectiva.

De las igualdades anteriores deducimos que ${\displaystyle \dim _{F}V=\;\dim _{F}V^{**}=\;\dim _{F}\operatorname {im} (\phi )}$ y como ${\displaystyle \operatorname {im} (\phi )\subseteq V^{**}}$finalmente deducimos que ${\displaystyle \operatorname {im} (\phi )=\;V^{**}}$, por lo que ${\displaystyle \phi }$ es epiyectiva.

Tenemos que ${\displaystyle \phi }$ es lineal, inyectiva y epiyectiva luego es un isomorfismo, que es lo que queríamos demostrar.