En álgebra abstracta un conjunto { A i , δ i } {\displaystyle \{A_{i},\,\delta _{i}\}} consistente en estructuras algebraicas A i {\displaystyle A_{i}} (ya sea grupos abelianos o anillos o módulos o espacios vectoriales ) y δ i {\displaystyle \delta _{i}} morfismos (según sea la categoría ), se llama complejo de cadenas si la construcción
… → A n + 1 δ n + 1 → A n δ n → A n − 1 → … {\displaystyle \ldots \to A_{n+1}{\begin{matrix}\delta _{n+1}\\\to \\\,\end{matrix}}A_{n}{\begin{matrix}\delta _{n}\\\to \\\,\end{matrix}}A_{n-1}\to \ldots } satisface δ n ∘ δ n + 1 = 0 {\displaystyle \delta _{n}\circ \delta _{n+1}=0\,} . Esta última condición implica im δ n + 1 ⊆ ker δ n {\displaystyle \operatorname {im} \delta _{n+1}\subseteq \ker \delta _{n}\,} para toda n {\displaystyle n} . Este concepto es clave para entender lo que es la homología .
El símbolo A ∙ {\displaystyle A_{\bullet }} se utiliza para designar al par { A i , δ i } {\displaystyle \{A_{i},\,\delta _{i}\}} .
La homología [ editar ] A las estructuras cociente
H n ( A ∙ ) = ker δ n i m δ n + 1 {\displaystyle H_{n}(A_{\bullet })={\frac {\ker \delta _{n}}{{\rm {im\,}}\delta _{n+1}}}\,} se les llama grupos de homología del complejo de cadenas A ∙ {\displaystyle A_{\bullet }}
Esta última construcción es muy importante en la topología algebraica , pues conforma una de sus principales herramientas.
Morfismo entre cadenas [ editar ] cadeno-morfismo f ∙ = { f i } {\displaystyle f_{\bullet }=\{f_{i}\}} . Un morfismo (de grado cero) entre dos complejos A ∙ = { A q , δ q } {\displaystyle A_{\bullet }=\{A_{q},\,\delta _{q}\}} y B ∙ = { B q , γ q } {\displaystyle B_{\bullet }=\{B_{q},\,\gamma _{q}\}} es un conjunto f ∙ = { f q } {\displaystyle f_{\bullet }=\{f_{q}\}} de morfismos entre las estructuras algebraicas A q → f q B q {\displaystyle A_{q}{\stackrel {f_{q}}{\to }}B_{q}} tales que f q ∘ δ q + 1 = γ q + 1 ∘ f q + 1 {\displaystyle f_{q}\circ \delta _{q+1}=\gamma _{q+1}\circ f_{q+1}} . Simbólicamente f ∙ : A ∙ → B ∙ {\displaystyle f_{\bullet }\colon A_{\bullet }\to B_{\bullet }} indica lo mismo.
Un morfismo de grado d corresponde a una familia de morfismos A q → g q B q − d {\displaystyle A_{q}{\stackrel {g_{q}}{\to }}B_{q-d}} con la misma propiedad g q ∘ δ q + 1 = γ q + 1 ∘ g q + 1 {\displaystyle g_{q}\circ \delta _{q+1}=\gamma _{q+1}\circ g_{q+1}}
Como categoría [ editar ] Desde el punto de vista de teoría de categorías tenemos la categoría de complejos de cadenas y los cadeno-morfismos. Una utilización de ésta consideración es que las principales teorías de la topología algebraica tales como la homología , cohomología y la homotopía son verdaderos functores que asignan -por ejemplo la homología- a un par topológico ( X , A ) {\displaystyle (X,A)} una familia de grupos abelianos { H n ( X , A ) } {\displaystyle \{H_{n}(X,A)\}} que formarán una complejo de cadenas ⋯ → H i ( A ) → H i ( X ) → H i ( X , A ) → H i − 1 ( A ) → ⋯ {\displaystyle \cdots \to H_{i}(A)\to H_{i}(X)\to H_{i}(X,A)\to H_{i-1}(A)\to \cdots } y donde un mapeo continuo f : ( X , B ) → ( Y , B ) {\displaystyle f\colon (X,B)\to (Y,B)} entre pares topológicos induce un conjunto de morfismos f # : H i ( A ) → H i ( B ) {\displaystyle f_{\#}\colon H_{i}(A)\to H_{i}(B)} , f # : H i ( X ) → H i ( Y ) {\displaystyle f_{\#}\colon H_{i}(X)\to H_{i}(Y)} y f # : H i ( X , A ) → H i ( Y , B ) {\displaystyle f_{\#}\colon H_{i}(X,A)\to H_{i}(Y,B)} con las propiedades suficientes para así considerarle como un cadeno-morfismo.
Referencias [ editar ]
Bibliografía [ editar ] Véase también [ editar ]