Atractor de Lorenz

El atractor de Lorenz es un concepto introducido por Edward Lorenz en 1963. Se trata de un sistema dinámico determinista tridimensional no lineal derivado de las ecuaciones simplificadas de rollos de convección que se producen en las ecuaciones dinámicas de la atmósfera terrestre.

Para ciertos valores de los parámetros a, b, c, el sistema exhibe un comportamiento caótico y muestra lo que actualmente se llama un atractor extraño; esto fue probado por Warwick Tucker en 2002.^[1] El atractor extraño en este caso es un fractal de dimensión de Hausdorff entre 2 y 3. Grassberger (1983) ha estimado la dimensión de Hausdorff en 2,06 ± 0,01 y la dimensión de correlación en 2,05 ± 0,01.

El sistema aparece en láseres, en generadores eléctricos y en determinadas ruedas de agua.^[2]

{\frac {dx}{dt}}=a(y-x)

{\frac {dy}{dt}}=x(b-z)-y

{\frac {dz}{dt}}=xy-cz

donde a es llamado el número de Prandtl y b se llama el número de Rayleigh.

$a,b,c>0$ , pero es usualmente $a=10$ , $c=8/3$ y b es variado. El sistema exhibe un comportamiento caótico para $b=28$ pero muestra órbitas periódicas para otros valores de b; por ejemplo, con $b=99,96$ se convierte en un nudo tórico llamado T(3;2).

La forma de mariposa del atractor de Lorenz puede haber inspirado el nombre del efecto mariposa en la teoría del caos.

Análisis[editar]

Simulación en Julia[editar]

using Plots # define the Lorenz attractor @kwdef mutable struct Lorenz     dt::Float64 = 0.02     σ::Float64 = 10     ρ::Float64 = 28     β::Float64 = 8/3     x::Float64 = 2     y::Float64 = 1     z::Float64 = 1 end  function step!(l::Lorenz)     dx = l.σ * (l.y - l.x);         l.x += l.dt * dx     dy = l.x * (l.ρ - l.z) - l.y;   l.y += l.dt * dy     dz = l.x * l.y - l.β * l.z;     l.z += l.dt * dz end  attractor = Lorenz()  # initialize a 3D plot with 1 empty series plt = plot3d(     1,     xlim = (-30, 30),     ylim = (-30, 30),     zlim = (0, 60),     title = "Lorenz Attractor",     marker = 2, )  # build an animated gif by pushing new points to the plot, saving every 10th frame @gif for i=1:1500     step!(attractor)     push!(plt, attractor.x, attractor.y, attractor.z) end every 10

Simulación en MATLAB[editar]

% Resolver para el intervalo de tiempo [0,100] con condiciones iniciales [1,1,1] % ''f'' es un conjunto de ecuaciones diferenciales % ''a'' es un arreglo que contiene variables x, y, z % ''t'' es la variable de tiempo  sigma = 10; beta = 8/3; rho = 28; f = @(t,a) [-sigma*a(1) + sigma*a(2); rho*a(1) - a(2) - a(1)*a(3); -beta*a(3) + a(1)*a(2)]; [t,a] = ode45(f,[0 100],[1 1 1]);     % Solución de EDO de Runge-Kutta de 4.º/5.º orden plot3(a(:,1),a(:,2),a(:,3))

Simulación en Python[editar]

import numpy as np import matplotlib.pyplot as plt from scipy.integrate import odeint from mpl_toolkits.mplot3d import Axes3D  rho = 28.0 sigma = 10.0 beta = 8.0 / 3.0  def f(state, t):     x, y, z = state  # Desempaqueta el vector de estado     return sigma * (y - x), x * (rho - z) - y, x * y - beta * z  # Derivadas  state0 = [1.0, 1.0, 1.0] t = np.arange(0.0, 40.0, 0.01)  states = odeint(f, state0, t)  fig = plt.figure() ax = fig.add_subplot(projection='3d') ax.plot(states[:, 0], states[:, 1], states[:, 2]) plt.show()

Véase también[editar]

Teoría del caos

Referencias[editar]

Bibliografía[editar]

Lorenz, E. N. (1963). «Deterministic nonperiodic flow». J. Atmos. Sci. 20 p. 130-141.
Frøyland, J., Alfsen, K. H. (1984). «Lyapunov-exponent spectra for the Lorenz model». Phys. Rev. A. 29 p. 2928–2931.
Strogatz, Steven H. (1994). Perseus publishing, ed. Nonlinear Systems and Chaos.
Jonas Bergman, Knots in the Lorentz system, Undergraduate thesis, Uppsala University 2004.
P. Grassberger and I. Procaccia (1983). «Measuring the strangeness of strange attractors». Physica D. 9 p. 189-208. 10.1016/0167-2789(83)90298-1.
Tucker, Warwick (2002). «A Rigorous ODE Solver and Smale's 14th Problem». Foundations of Computational Mathematics 2 (1): 53-117. doi:10.1007/s002080010018.