Trigonometrischer Pythagoras

Als „trigonometrischer Pythagoras“ wird die Identität

${\displaystyle \sin ^{2}\alpha +\cos ^{2}\alpha =1}$

bezeichnet.^[1][2] Hierbei steht ${\displaystyle \sin ^{2}\alpha }$ für ${\displaystyle (\sin \alpha )^{2}}$ und ${\displaystyle \cos ^{2}\alpha }$ für ${\displaystyle (\cos \alpha )^{2}}$. Die Gültigkeit dieser Identität kann am Einheitskreis gezeigt werden, mit Hilfe des Satzes von Pythagoras, der auch namensgebend für diesen häufig benutzten Satz der Trigonometrie ist.

Geometrische Herleitung[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Als Grundlage dient der Satz des Pythagoras. Er besagt, dass in einem rechtwinkligen Dreieck mit der Hypotenuse ${\displaystyle c}$ und den Katheten ${\displaystyle a}$ und ${\displaystyle b}$

${\displaystyle a^{2}+b^{2}=c^{2}}$

gilt. Wird der Winkel ${\displaystyle \alpha }$ im besagten rechtwinkligen Dreieck so gewählt, dass ${\displaystyle a}$ seine Gegenkathete und ${\displaystyle b}$ seine Ankathete ist, so gilt allgemein

${\displaystyle a=\sin \alpha \cdot c}$,

${\displaystyle b=\cos \alpha \cdot c}$.

Einsetzen beider Gleichungen in den Satz des Pythagoras ergibt dann

${\displaystyle (\sin ^{2}\alpha +\cos ^{2}\alpha )\cdot c^{2}=c^{2}}$,

${\displaystyle \sin ^{2}\alpha +\cos ^{2}\alpha =1}$.

Geometrische Veranschaulichung[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

In der nebenstehenden Skizze sind der Einheitskreis, das heißt ein Kreis mit Radius 1, und ein rechtwinkliges Dreieck mit Hypotenusenlänge 1 im Einheitskreis dargestellt. Der Satz des Pythagoras gilt hier für einen beliebigen Wert des Winkels ${\displaystyle \alpha }$ im Einheitskreis und zeigt sofort die Gültigkeit des „trigonometrischen Pythagoras“.

Analytische Herleitung[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Für stumpfe und überstumpfe Winkel ${\displaystyle \alpha }$ ist die Beweiskraft der Anschauung problematisch, da für solche (mindestens) eine Winkelfunktion negative Werte hat; was sind "negative Seiten" eines rechtwinkligen Dreiecks? Ein analytischer Beweis zeigt, dass der trigonometrische Pythagoras für beliebige reelle und komplexe Argumente ${\displaystyle \alpha }$ der verwendeten Winkelfunktionen gilt.

Mit der imaginären Einheit und der dritten binomischen Formel lässt sich faktorisieren:

${\displaystyle \cos ^{2}(\alpha )+\sin ^{2}(\alpha )=\cos ^{2}(\alpha )-\mathrm {i} ^{2}\cdot \sin ^{2}(\alpha )=(\cos(\alpha )+\mathrm {i} \cdot \sin(\alpha ))\cdot (\cos(\alpha )-\mathrm {i} \cdot \sin(\alpha ));}$

da der Cosinus eine gerade Funktion und der Sinus eine ungerade Funktion ist, folgt mit der Eulerschen Formel weiter:

${\displaystyle (\cos(\alpha )+\mathrm {i} \cdot \sin(\alpha ))\cdot (\cos(\alpha )-\mathrm {i} \cdot \sin(\alpha ))=(\cos(\alpha )+\mathrm {i} \cdot \sin(\alpha ))\cdot (\cos(-\alpha )+\mathrm {i} \cdot \sin(-\alpha ))=\mathrm {e} ^{\mathrm {i} \alpha }\cdot \mathrm {e} ^{-\mathrm {i} \alpha }=\mathrm {e} ^{0}=1,\quad }$q.e.d.

Einzelnachweise[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

1. ↑ Lothar Papula: Mathematik für Ingenieure und Naturwissenschaftler Band 1. Springer, ISBN 978-3-8348-1749-5, S. 251 (google.com). 
2. ↑ Hans Kreul, Harald Ziebarth: Mathematik leicht gemacht. Harri Deutsch Verlag, 2009, ISBN 978-3-8171-1836-6, S. 94 (google.com).