Stern (Geometrie)

In der Geometrie versteht man unter einem regelmäßigen Stern ein normalerweise nichtkonvexes regelmäßiges Polygon, dessen Kanten alle gleich lang sind.

Regelmäßige Sterne sind spiegelsymmetrisch und rotationssymmetrisch. Symmetriezentrum ist der Mittelpunkt von Umkreis und Inkreis. Die Winkel, Längen und Flächeninhalte, die die gleiche Lage zum Symmetriezentrum haben, sind daher gleich. Unter anderem sind alle Seitenlängen und alle Innenwinkel gleich.

Die Bezeichnung Stern für ein solches ebenes Polygon wird in der kombinatorischen Geometrie weiter eingeschränkt durch die Bedingung, dass die Geraden, auf denen die Kanten des Sterns liegen, stets durch zwei konvexe äußere Ecken des Sterns verlaufen und wird dann als Sternpolygon bezeichnet. Alternativ wird daher in der kombinatorischen Geometrie das Sternpolygon definiert als ein regelmäßiges (gleichseitiges und gleichwinkliges), überschlagenes nicht-konvexes, ebenes Polygon. Überschlagen bedeutet dabei, dass sich die Seiten innerhalb des Polygons schneiden dürfen. Die Bezeichnung Sternpolygon ist erst im 20. Jahrhundert aufgekommen, als Geometer anfingen Pflasterungen kombinatorisch zu studieren.^[1] Die Konstruktion dieser sternförmigen Polygone ist viel älter, zum Beispiel das Pentagramm und das Hexagramm, das auch als Davidstern bekannt ist.

Hiervon zu unterscheiden sind die in der Topologie und Analysis betrachteten Sterngebiete, zu denen auch die konvexen Mengen gehören und die nicht polygonal zu sein brauchen.

Konstruktion[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Ein regelmäßiger Stern entsteht, indem man in einem ebenen regelmäßigen ${\displaystyle p}$-Eck jeden Eckpunkt mit einem nicht benachbarten Eckpunkt durch eine gerade Strecke verbindet und dieses Verfahren fortsetzt, bis der ursprüngliche Eckpunkt wieder erreicht wird. Werden die Ecken mit Indizes durchnummeriert und nur die mit einer geraden Strecke verbunden, deren – fortlaufende – Indizes die Differenz ${\displaystyle q}$ haben. Dabei wird der Umkreis äquidistant in ${\displaystyle p}$ Kreisbögen unterteilt.

Aus einem regelmäßigen ${\displaystyle p}$-Eck lassen sich regelmäßige Sterne konstruieren. Diese werden als ${\displaystyle \{p/q\}}$-Sterne bezeichnet, wobei ${\displaystyle \{p/q\}}$ das Schläfli-Symbol mit ${\displaystyle 2\leq q\leq \left\lfloor {\tfrac {p-1}{2}}\right\rfloor }$ ist. Sind ${\displaystyle p}$ und ${\displaystyle q}$ teilerfremd, ist der Stern zusammenhängend und lässt sich in einem Zug zeichnen, so wird er auch Sternpolygon genannt. Ansonsten zerfällt er in so viele regelmäßige Polygone, wie der größte gemeinsame Teiler ${\displaystyle \operatorname {ggT} (p,q)}$ angibt. Die Anzahl der Ecken dieser Polygone ist also gleich ${\displaystyle {\tfrac {p}{\operatorname {ggT} (p,q)}}}$. Wenn ${\displaystyle p}$ eine Primzahl ist, sind alle ${\displaystyle \{p/q\}}$-Sterne zusammenhängend. Betrachtet man jeweils die Anzahl der zusammenhängenden Sternpolygone für eine gegebene Anzahl ${\displaystyle p}$ der Ecken, dann erhält man die Folge A055684 in OEIS. Diese Anzahl ist gleich ${\displaystyle {\tfrac {\varphi (p)}{2}}-1}$. Dabei bezeichnet ${\displaystyle \varphi (\ldots )}$ die Eulersche Phi-Funktion.

Kenngrößen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Winkel[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Die Ecken eines regelmäßigen Sterns liegen und konzyklisch auf einem gemeinsamen Kreis. Ein regelmäßiger Stern besitzt so einen Umkreis mit Umkreisradius ${\displaystyle r_{u}}$. Zudem liegen die Ecken äquidistant auf dem Kreis, das heißt, nebeneinander liegende Ecken erscheinen unter dem gleichen Mittelpunktswinkel

${\displaystyle \mu ={\frac {1}{p}}\cdot 360^{\circ }={\frac {2\pi }{p}}}$

Daher hat ein solcher Stern auch einen Inkreis mit Inkreisradius ${\displaystyle r_{i}}$. Der Inkreis berührt die Seiten in den Seitenmittelpunkten. Der Inkreismittelpunkt stimmt mit dem Umkreismittelpunkt überein.

Verbindet man die benachbarten Ecken des regelmäßigen Sterns, dann erhält man ein regelmäßiges ${\displaystyle p}$-Eck. Die Diagonalen, die von einer Ecke dieses Polygons ausgehen, bilden gleiche Winkel, die halb so groß sind wie die Mittelpunktswinkel und jeweils ${\displaystyle {\frac {\pi }{p}}}$ betragen.

Das kann man einsehen, indem man die gleichschenkligen Dreiecke betrachtet, die aus einer der Diagonalen und zwei Umkreisradien gebildet werden. Eine andere Möglichkeit ist es, die Diagonalen um den Winkel ${\displaystyle {\frac {2\pi }{p}}}$ mit dem Mittelpunkt als Drehzentrum zu drehen oder den Kreiswinkelsatz für den Umkreis anzuwenden.

Zwischen zwei benachbarten Seiten des Sterns verlaufen Diagonalen, die den Innenwinkel in ${\displaystyle p-2q}$ gleiche Winkel der Größe ${\displaystyle {\frac {\pi }{p}}}$ teilen. Daraus folgt, dass die Innenwinkel des regelmäßigen ${\displaystyle \{p/q\}}$-Sterns alle gleich

${\displaystyle \alpha =(p-2q)\cdot {\frac {\pi }{p}}=\pi -{\frac {2q\pi }{p}}}$

sind.

Die Seiten des Sterns bilden Schnittpunkte. Jede Seite des Sterns wird von ${\displaystyle 2q-2}$ anderen Seiten geschnitten, denn ${\displaystyle q-1}$ Ecken liegen auf dem kürzeren Kreisbogen über der Seite und in jeder der ${\displaystyle q-1}$ Ecken treffen 2 andere Seite zusammen, die diese Ecke jeweils mit einer Ecke auf dem längeren Kreisbogen über der betrachteten Seite verbinden. Jede Seite bildet mit den anderen Seiten die Schnittwinkel ${\displaystyle {\frac {2m\pi }{p}}}$ und ${\displaystyle \pi -{\frac {2m\pi }{p}}}$, wobei ${\displaystyle 0<m<q}$ ist. Jeder Schnittpunkt gehört zu 2 Seiten, also ergeben sich insgesamt ${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}\cdot p(2q-2)=p(q-1)}$ Schnittpunkte. Jeder dieser Schnittwinkel kommt ${\displaystyle 2p}$-mal vor, weil jeder Schnittwinkel für jede Seite aus 2 Gegenwinkeln besteht.

Für die Winkel in regelmäßigen Sternen ergeben sich beispielsweise folgende Werte:

Stern	Mittelpunktswinkel ${\displaystyle \mu }$		Innenwinkel ${\displaystyle \alpha }$		Schnittwinkel
	Gradmaß	Bogenmaß	Gradmaß	Bogenmaß	Gradmaß
{p/q}-Stern	${\displaystyle {\frac {1}{p}}\cdot 360^{\circ }}$	${\displaystyle {\frac {2\pi }{p}}}$	${\displaystyle {\frac {p-2q}{p}}\cdot 180^{\circ }}$	${\displaystyle \pi -{\frac {2q\pi }{p}}}$	${\displaystyle {\frac {2m}{p}}\cdot 180^{\circ },{\frac {p-2m}{p}}\cdot 180^{\circ }}$
{5/2}-Stern	${\displaystyle 72^{\circ }}$	${\displaystyle {\tfrac {2}{5}}\pi }$	${\displaystyle 36^{\circ }}$	${\displaystyle {\tfrac {1}{5}}\pi }$	${\displaystyle 72^{\circ },144^{\circ }}$
{6/2}-Stern	${\displaystyle 60^{\circ }}$	${\displaystyle {\tfrac {1}{3}}\pi }$	${\displaystyle 60^{\circ }}$	${\displaystyle {\tfrac {1}{3}}\pi }$	${\displaystyle 60^{\circ },120^{\circ }}$
{8/2}-Stern	${\displaystyle 45^{\circ }}$	${\displaystyle {\tfrac {1}{4}}\pi }$	${\displaystyle 90^{\circ }}$	${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}\pi }$	${\displaystyle 45^{\circ },135^{\circ }}$
{8/3}-Stern	${\displaystyle 45^{\circ }}$	${\displaystyle {\tfrac {1}{4}}\pi }$	${\displaystyle 45^{\circ }}$	${\displaystyle {\tfrac {1}{4}}\pi }$	${\displaystyle 90^{\circ },45^{\circ },135^{\circ },90^{\circ }}$
{10/2}-Stern	${\displaystyle 36^{\circ }}$	${\displaystyle {\tfrac {1}{5}}\pi }$	${\displaystyle 108^{\circ }}$	${\displaystyle {\tfrac {3}{5}}\pi }$	${\displaystyle 36^{\circ },144^{\circ }}$
{10/3}-Stern	${\displaystyle 36^{\circ }}$	${\displaystyle {\tfrac {1}{5}}\pi }$	${\displaystyle 72^{\circ }}$	${\displaystyle {\tfrac {2}{5}}\pi }$	${\displaystyle 72^{\circ },36^{\circ },144^{\circ },108^{\circ }}$
{10/4}-Stern	${\displaystyle 36^{\circ }}$	${\displaystyle {\tfrac {1}{5}}\pi }$	${\displaystyle 36^{\circ }}$	${\displaystyle {\tfrac {1}{5}}\pi }$	${\displaystyle 108^{\circ },72^{\circ },36^{\circ },144^{\circ },108^{\circ },72^{\circ }}$
{12/2}-Stern	${\displaystyle 30^{\circ }}$	${\displaystyle {\tfrac {1}{6}}\pi }$	${\displaystyle 120^{\circ }}$	${\displaystyle {\tfrac {2}{3}}\pi }$	${\displaystyle 30^{\circ },150^{\circ }}$
{12/3}-Stern	${\displaystyle 30^{\circ }}$	${\displaystyle {\tfrac {1}{6}}\pi }$	${\displaystyle 90^{\circ }}$	${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}\pi }$	${\displaystyle 60^{\circ },30^{\circ },150^{\circ },120^{\circ }}$
{12/4}-Stern	${\displaystyle 30^{\circ }}$	${\displaystyle {\tfrac {1}{6}}\pi }$	${\displaystyle 60^{\circ }}$	${\displaystyle {\tfrac {1}{3}}\pi }$	${\displaystyle 90^{\circ },60^{\circ },30^{\circ },150^{\circ },120^{\circ },90^{\circ }}$
{12/5}-Stern	${\displaystyle 30^{\circ }}$	${\displaystyle {\tfrac {1}{6}}\pi }$	${\displaystyle 30^{\circ }}$	${\displaystyle {\tfrac {1}{6}}\pi }$	${\displaystyle 120^{\circ },90^{\circ },60^{\circ },30^{\circ },150^{\circ },120^{\circ },90^{\circ },60^{\circ }}$

Längen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Die wichtigsten Kenngrößen regelmäßiger Sterne können mit Hilfe des Bestimmungsdreiecks, das von dem Mittelpunkt und zwei benachbarten Ecken des Polygons gebildet wird, ermittelt werden. Das Bestimmungsdreieck ist gleichschenklig mit dem Spitzenwinkel ${\displaystyle q\mu }$, den Basiswinkeln ${\displaystyle {\tfrac {\alpha }{2}}}$, den Schenkeln ${\displaystyle r_{u}}$, der Basis ${\displaystyle a}$ und der Höhe ${\displaystyle r_{i}}$. Wird das Bestimmungsdreieck entlang der Höhe (dem Apothema) in zwei rechtwinklige Dreiecke unterteilt, ergeben sich mit dem oben angegebenen Mittelpunktswinkel und den trigonometrischen Funktionen (Sinus und Kosinus, Tangens und Kotangens sowie Sekans und Kosekans) die folgenden Beziehungen zwischen der Seitenlänge ${\displaystyle a}$, dem

Umkreisradius ${\displaystyle r_{u}}$ und dem Inkreisradius ${\displaystyle r_{i}}$:

${\displaystyle a=2\,r_{u}\cdot \sin \left({\frac {q\pi }{p}}\right)=2\,r_{i}\cdot \tan \left({\frac {q\pi }{p}}\right)}$

${\displaystyle r_{u}={\frac {a}{2}}\cdot \csc \left({\frac {q\pi }{p}}\right)=r_{i}\cdot \sec \left({\frac {q\pi }{p}}\right)}$

${\displaystyle r_{i}={\frac {a}{2}}\cdot \cot \left({\frac {q\pi }{p}}\right)=r_{u}\cdot \cos \left({\frac {q\pi }{p}}\right)}$

Haben ${\displaystyle p}$ und ${\displaystyle q}$ einen gemeinsamen Teiler ${\displaystyle m}$, dann ergeben sich für einen regelmäßigen ${\displaystyle \{p/q\}}$-Stern dieselben Längenverhältnisse zwischen ${\displaystyle a}$, ${\displaystyle r_{u}}$ und ${\displaystyle r_{i}}$ wie für einen regelmäßigen ${\displaystyle \{{\tfrac {p}{m}}/{\tfrac {q}{m}}\}}$-Stern.

Für manche Werte von ${\displaystyle p}$ lassen sich explizite Formeln für die Funktionswerte der trigonometrischen Funktionen (siehe Formelsammlung Trigonometrie) und damit für die Längen in den regelmäßigen Sternen angeben, zum Beispiel:

Stern	Seitenlänge ${\displaystyle a}$ gegeben		Umkreisradius ${\displaystyle r_{u}}$ gegeben		Inkreisradius ${\displaystyle r_{i}}$ gegeben
	Umkreisradius	Inkreisradius	Seitenlänge	Inkreisradius	Seitenlänge	Umkreisradius
{p/q}-Stern	${\displaystyle {\frac {a}{2}}\cdot \csc \left({\frac {q\pi }{p}}\right)}$	${\displaystyle {\frac {a}{2}}\cdot \cot \left({\frac {q\pi }{p}}\right)}$	${\displaystyle 2\,r_{u}\cdot \sin \left({\frac {q\pi }{p}}\right)}$	${\displaystyle r_{u}\cdot \cos \left({\frac {q\pi }{p}}\right)}$	${\displaystyle 2\,r_{i}\cdot \tan \left({\frac {q\pi }{p}}\right)}$	${\displaystyle r_{i}\cdot \sec \left({\frac {q\pi }{p}}\right)}$
{5/2}-Stern	${\displaystyle a\cdot {\sqrt {{\tfrac {1}{10}}\left(5-{\sqrt {5}}\right)}}}$	${\displaystyle a\cdot {\tfrac {1}{2}}{\sqrt {{\tfrac {1}{5}}\left(5-2{\sqrt {5}}\right)}}}$	${\displaystyle r_{u}\cdot {\sqrt {{\tfrac {1}{2}}\left(5+{\sqrt {5}}\right)}}}$	${\displaystyle r_{u}\cdot {\tfrac {1}{4}}\left({\sqrt {5}}-1\right)}$	${\displaystyle r_{i}\cdot 2{\sqrt {5+2{\sqrt {5}}}}}$	${\displaystyle r_{i}\cdot \left(1+{\sqrt {5}}\right)}$
{6/2}-Stern	${\displaystyle a\cdot {\tfrac {1}{3}}{\sqrt {3}}}$	${\displaystyle a\cdot {\tfrac {1}{6}}{\sqrt {3}}}$	${\displaystyle r_{u}\cdot {\sqrt {3}}}$	${\displaystyle r_{u}\cdot {\tfrac {1}{2}}}$	${\displaystyle r_{i}\cdot 2{\sqrt {3}}}$	${\displaystyle r_{i}\cdot 2}$
{8/2}-Stern	${\displaystyle a\cdot {\tfrac {1}{2}}{\sqrt {2}}}$	${\displaystyle a\cdot {\tfrac {1}{2}}}$	${\displaystyle r_{u}\cdot {\sqrt {2}}}$	${\displaystyle r_{u}\cdot {\tfrac {1}{2}}{\sqrt {2}}}$	${\displaystyle r_{i}\cdot 2}$	${\displaystyle r_{i}\cdot {\sqrt {2}}}$
{8/3}-Stern	${\displaystyle a\cdot {\sqrt {{\tfrac {1}{2}}\left(2-{\sqrt {2}}\right)}}}$	${\displaystyle a\cdot {\tfrac {1}{2}}\left({\sqrt {2}}-1\right)}$	${\displaystyle r_{u}\cdot {\sqrt {2+{\sqrt {2}}}}}$	${\displaystyle r_{u}\cdot {\tfrac {1}{2}}{\sqrt {2-{\sqrt {2}}}}}$	${\displaystyle r_{i}\cdot \left(2+2{\sqrt {2}}\right)}$	${\displaystyle r_{i}\cdot {\sqrt {4+2{\sqrt {2}}}}}$
{10/2}-Stern	${\displaystyle a\cdot {\sqrt {{\tfrac {1}{10}}\left(5+{\sqrt {5}}\right)}}}$	${\displaystyle a\cdot {\tfrac {1}{2}}{\sqrt {{\tfrac {1}{5}}\left(5+2{\sqrt {5}}\right)}}}$	${\displaystyle r_{u}\cdot {\sqrt {{\tfrac {1}{2}}\left(5-{\sqrt {5}}\right)}}}$	${\displaystyle r_{u}\cdot {\tfrac {1}{4}}\left(1+{\sqrt {5}}\right)}$	${\displaystyle r_{i}\cdot 2{\sqrt {5-2{\sqrt {5}}}}}$	${\displaystyle r_{i}\cdot \left({\sqrt {5}}-1\right)}$
{10/3}-Stern	${\displaystyle a\cdot {\tfrac {1}{2}}\left({\sqrt {5}}-1\right)}$	${\displaystyle a\cdot {\tfrac {1}{2}}{\sqrt {5-2{\sqrt {5}}}}}$	${\displaystyle r_{u}\cdot {\tfrac {1}{2}}\left(1+{\sqrt {5}}\right)}$	${\displaystyle r_{u}\cdot {\tfrac {1}{2}}{\sqrt {{\tfrac {1}{2}}\left(5-{\sqrt {5}}\right)}}}$	${\displaystyle r_{i}\cdot 2{\sqrt {{\tfrac {1}{5}}\left(5+2{\sqrt {5}}\right)}}}$	${\displaystyle r_{i}\cdot 2{\sqrt {{\tfrac {1}{10}}\left(5+{\sqrt {5}}\right)}}}$
{10/4}-Stern	${\displaystyle a\cdot {\sqrt {{\tfrac {1}{10}}\left(5-{\sqrt {5}}\right)}}}$	${\displaystyle a\cdot {\tfrac {1}{2}}{\sqrt {{\tfrac {1}{5}}\left(5-2{\sqrt {5}}\right)}}}$	${\displaystyle r_{u}\cdot {\sqrt {{\tfrac {1}{2}}\left(5+{\sqrt {5}}\right)}}}$	${\displaystyle r_{u}\cdot {\tfrac {1}{4}}\left({\sqrt {5}}-1\right)}$	${\displaystyle r_{i}\cdot 2{\sqrt {5+2{\sqrt {5}}}}}$	${\displaystyle r_{i}\cdot \left(1+{\sqrt {5}}\right)}$
{12/2}-Stern	${\displaystyle a\cdot 1}$	${\displaystyle a\cdot {\tfrac {1}{2}}{\sqrt {3}}}$	${\displaystyle r_{u}\cdot 1}$	${\displaystyle r_{u}\cdot {\tfrac {1}{2}}{\sqrt {3}}}$	${\displaystyle r_{i}\cdot {\tfrac {2}{3}}{\sqrt {3}}}$	${\displaystyle r_{i}\cdot {\tfrac {2}{3}}{\sqrt {3}}}$
{12/3}-Stern	${\displaystyle a\cdot {\tfrac {1}{2}}{\sqrt {2}}}$	${\displaystyle a\cdot {\tfrac {1}{2}}}$	${\displaystyle r_{u}\cdot {\sqrt {2}}}$	${\displaystyle r_{u}\cdot {\tfrac {1}{2}}{\sqrt {2}}}$	${\displaystyle r_{i}\cdot 2}$	${\displaystyle r_{i}\cdot {\sqrt {2}}}$
{12/4}-Stern	${\displaystyle a\cdot {\tfrac {1}{3}}{\sqrt {3}}}$	${\displaystyle a\cdot {\tfrac {1}{6}}{\sqrt {3}}}$	${\displaystyle r_{u}\cdot {\sqrt {3}}}$	${\displaystyle r_{u}\cdot {\tfrac {1}{2}}}$	${\displaystyle r_{i}\cdot 2{\sqrt {3}}}$	${\displaystyle r_{i}\cdot 2}$
{12/5}-Stern	${\displaystyle a\cdot {\tfrac {1}{2}}\left({\sqrt {6}}-{\sqrt {2}}\right)}$	${\displaystyle a\cdot {\tfrac {1}{2}}\left(2-{\sqrt {3}}\right)}$	${\displaystyle r_{u}\cdot {\tfrac {1}{2}}\left({\sqrt {6}}+{\sqrt {2}}\right)}$	${\displaystyle r_{u}\cdot {\tfrac {1}{4}}\left({\sqrt {6}}-{\sqrt {2}}\right)}$	${\displaystyle r_{i}\cdot \left(4+2{\sqrt {3}}\right)}$	${\displaystyle r_{i}\cdot \left({\sqrt {6}}+{\sqrt {2}}\right)}$

Seitenabschnitte[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Jede der ${\displaystyle p}$ Seiten wird von ${\displaystyle 2q-2}$ anderen Seiten geschnitten und in ${\displaystyle 2q-1}$ Abschnitte geteilt. Die Länge dieser Abschnitte kann wie folgt bestimmt werden:

Die Strecke vom Mittelpunkt einer Seite bis zu einem Schnittpunkt oder dem Endpunkt der Seite bildet zusammen mit einem Inkreisradius und der Verbindungsstrecke von Inkreismittelpunkt und dem Schnittpunkt oder dem Endpunkt jeweils ein rechtwinkliges Dreieck. Diese Punkte seien ausgehend vom Mittelpunkt mit ${\displaystyle S_{1},S_{2},S_{3},\ldots ,S_{q}}$ bezeichnet. Die Strecke vom Mittelpunkt einer Seite bis zu einem Schnittpunkt oder Endpunkt ${\displaystyle S_{m}}$ liegt im rechtwinkligen Dreieck dem Winkel ${\displaystyle {\frac {m\pi }{p}}}$ gegenüber, wobei ${\displaystyle 0<m\leq q}$ ist. Das folgt aus der Betrachtung der halbierten Mittelpunktswinkel. Daraus ergibt sich für die Länge ${\displaystyle a_{m}}$ dieser Strecke:

${\displaystyle a_{m}=r_{i}\cdot \tan \left({\frac {m\pi }{p}}\right)=r_{u}\cdot \cos \left({\frac {q\pi }{p}}\right)\cdot \tan \left({\frac {m\pi }{p}}\right)}$

Die Länge ${\displaystyle s_{m}}$ des Abschnitts zwischen den Punkten ${\displaystyle S_{m-1}}$ und ${\displaystyle S_{m}}$ ist dann gleich

${\displaystyle s_{m}=a_{m}-a_{m-1}=r_{u}\cdot \cos \left({\frac {q\pi }{p}}\right)\cdot \tan \left({\frac {m\pi }{p}}\right)-r_{u}\cdot \cos \left({\frac {q\pi }{p}}\right)\cdot \tan \left({\frac {(m-1)\pi }{p}}\right)=r_{u}\cdot \cos \left({\frac {q\pi }{p}}\right)\cdot \left(\tan \left({\frac {m\pi }{p}}\right)-\tan \left({\frac {(m-1)\pi }{p}}\right)\right)}$

Nach dem Satz des Pythagoras ist der Abstand zwischen dem Punkt ${\displaystyle S_{m}}$ und dem Mittelpunkt des Sterns gleich

${\displaystyle r_{m}={\sqrt {r_{i}^{2}+a_{m}^{2}}}={\sqrt {r_{i}^{2}+\left(r_{i}\cdot \tan \left({\frac {m\pi }{p}}\right)\right)^{2}}}=r_{i}\cdot {\sqrt {1+\tan ^{2}\left({\frac {m\pi }{p}}\right)}}={\frac {r_{i}}{\cos \left({\frac {m\pi }{p}}\right)}}=r_{i}\cdot \sec \left({\frac {m\pi }{p}}\right)=r_{u}\cdot \cos \left({\frac {q\pi }{p}}\right)\cdot \sec \left({\frac {m\pi }{p}}\right)}$

Dabei wurde die Beziehung zwischen Tangens und Sekans verwendet (siehe Trigonometrische Funktion - Beziehungen zwischen den Funktionen). Weil der regelmäßige Stern spiegelsymmetrisch und rotationssymmetrisch ist, ist dieser Abstand für alle Seiten jeweils gleich. Daher liegen die Punkte ${\displaystyle S_{m}}$ für gegebenes ${\displaystyle m}$ mit ${\displaystyle 0<m\leq q}$ auf einem Kreis mit dem Radius ${\displaystyle r_{m}}$.

Bei gegebenem Umkreisradius ${\displaystyle r_{u}=1}$ ergeben sich folgende Werte für die Längen ${\displaystyle a_{m}}$ der Strecken, die Längen ${\displaystyle s_{m}}$ der Abschnitte und die Radien ${\displaystyle r_{m}}$:

Stern	Längen ${\displaystyle a_{m}}$ der Strecken			Längen ${\displaystyle s_{m}}$ der Abschnitte			Radien ${\displaystyle r_{m}}$
{p/q}-Stern	${\displaystyle r_{u}\cdot \cos \left({\frac {q\pi }{p}}\right)\cdot \tan \left({\frac {m\pi }{p}}\right)}$			${\displaystyle r_{u}\cdot \cos \left({\frac {q\pi }{p}}\right)\cdot \left(\tan \left({\frac {m\pi }{p}}\right)-\tan \left({\frac {(m-1)\pi }{p}}\right)\right)}$			${\displaystyle r_{u}\cdot \cos \left({\frac {q\pi }{p}}\right)\cdot \sec \left({\frac {m\pi }{p}}\right)}$
	${\displaystyle a_{1}}$	${\displaystyle a_{2}}$	${\displaystyle a_{3}}$	${\displaystyle s_{1}}$	${\displaystyle s_{2}}$	${\displaystyle s_{3}}$	${\displaystyle r_{1}}$	${\displaystyle r_{2}}$	${\displaystyle r_{3}}$
{5/2}-Stern	0,224513988	0,951056516		0,224513988	0,726542528		0,381966011	1,000000000
{6/2}-Stern	0,288675135	0,866025404		0,288675135	0,577350269		0,577350269	1,000000000
{7/2}-Stern	0,300256864	0,781831482		0,300256864	0,481574619		0,692021472	1,000000000
{7/3}-Stern	0,107160434	0,279032425	0,974927912	0,107160434	0,171871992	0,695895487	0,246979604	0,356895868	1,000000000
{8/2}-Stern	0,292893219	0,707106781		0,292893219	0,414213562		0,765366865	1,000000000
{8/3}-Stern	0,158512668	0,382683432	0,923879533	0,158512668	0,224170765	0,541196100	0,414213562	0,541196100	1,000000000

Umfang und Flächeninhalt[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Der Umfang eines regelmäßigen Sterns besteht aus den jeweils zwei äußeren Abschnitte aller Seiten. Das sind die einzigen Abschnitte, die nicht im Innern des Sterns liegen. Es gibt ${\displaystyle 2p}$ solche Abschnitte mit der Länge ${\displaystyle s_{q}}$. Daraus ergibt sich der Umfang:

${\displaystyle U=2\,p\,s_{q}=2\,p\,r_{u}\cdot \cos \left({\frac {q\pi }{p}}\right)\cdot \left(\tan \left({\frac {q\pi }{p}}\right)-\tan \left({\frac {(q-1)\pi }{p}}\right)\right)}$

Der Flächeninhalt, den der regelmäßige Stern überdeckt, ergibt sich aus der Differenz des Flächeninhalts des regelmäßigen Polygons, das durch Verbinden der benachbarten Ecken entsteht, und dem Flächeninhalt der ${\displaystyle p}$ gleichschenkligen Dreiecke, die jeweils aus einer Seite des äußeren regelmäßigen ${\displaystyle p}$-Ecks und zwei äußeren Abschnitten der Seiten des Sterns gebildet werden. Das äußere regelmäßige ${\displaystyle p}$-Eck hat die Seitenlänge ${\displaystyle 2\,r_{u}\cdot \sin \left({\frac {\pi }{p}}\right)}$ und den Flächeninhalt ${\displaystyle {\frac {p\,r_{u}^{2}}{2}}\cdot \sin \left({\frac {2\pi }{p}}\right)=p\,r_{u}^{2}\cdot \sin \left({\frac {\pi }{p}}\right)\cdot \cos \left({\frac {\pi }{p}}\right)}$.

Die gleichschenkligen Dreiecke haben eine Grundseite der Länge ${\displaystyle 2\,r_{u}\cdot \sin \left({\frac {\pi }{p}}\right)}$, die Basiswinkel ${\displaystyle {\frac {(q-1)\pi }{p}}}$, die Höhe ${\displaystyle r_{u}\cdot \sin \left({\frac {\pi }{p}}\right)\cdot \tan \left({\frac {(q-1)\pi }{p}}\right)}$ und den Flächeninhalt ${\displaystyle r_{u}^{2}\cdot \sin ^{2}\left({\frac {\pi }{p}}\right)\cdot \tan \left({\frac {(q-1)\pi }{p}}\right)}$. Daraus ergibt sich der Flächeninhalt des regelmäßige Sterns:

${\displaystyle A=p\,r_{u}^{2}\cdot \sin \left({\frac {\pi }{p}}\right)\cdot \cos \left({\frac {\pi }{p}}\right)-p\,r_{u}^{2}\cdot \sin ^{2}\left({\frac {\pi }{p}}\right)\cdot \tan \left({\frac {(q-1)\pi }{p}}\right)=p\,r_{u}^{2}\cdot \sin \left({\frac {\pi }{p}}\right)\cdot \left(\cos \left({\frac {\pi }{p}}\right)-\sin \left({\frac {\pi }{p}}\right)\cdot \tan \left({\frac {(q-1)\pi }{p}}\right)\right)}$

Die inneren Abschnitte aller Seiten des Sterns bilden zusammen den Rand eines regelmäßigen Polygons, das sich im Innern des Sterns befindet. Das innere regelmäßige ${\displaystyle p}$-Eck hat die Seitenlänge ${\displaystyle a_{1}=2\,r_{u}\cdot \cos \left({\frac {q\pi }{p}}\right)\cdot \tan \left({\frac {\pi }{p}}\right)}$ und den Flächeninhalt ${\displaystyle {\frac {p\,a_{1}^{2}}{4}}\cdot \cot \left({\frac {\pi }{p}}\right)={\frac {p}{4}}\cdot \left(4\,r_{u}\cdot \cos \left({\frac {q\pi }{p}}\right)\cdot \tan \left({\frac {\pi }{p}}\right)\right)^{2}\cdot \cot \left({\frac {\pi }{p}}\right)=p\,r_{u}^{2}\cdot \cos ^{2}\left({\frac {q\pi }{p}}\right)\cdot \tan \left({\frac {\pi }{p}}\right)}$.

Bei gegebenem Umkreisradius ${\displaystyle r_{u}=1}$ ergeben sich folgende Werte für den Umfang und die Flächeninhalte:

Stern	Umfang	Flächeninhalt	Flächeninhalt des äußeren regelmäßigen ${\displaystyle p}$-Ecks	Flächeninhalt des inneren regelmäßigen ${\displaystyle p}$-Ecks
{p/q}-Stern	${\displaystyle 2\,p\,r_{u}\cdot \cos \left({\frac {q\pi }{p}}\right)\cdot \left(\tan \left({\frac {q\pi }{p}}\right)-\tan \left({\frac {(q-1)\pi }{p}}\right)\right)}$	${\displaystyle p\,r_{u}^{2}\cdot \sin \left({\frac {\pi }{p}}\right)\cdot \left(\cos \left({\frac {\pi }{p}}\right)-\sin \left({\frac {\pi }{p}}\right)\cdot \tan \left({\frac {(q-1)\pi }{p}}\right)\right)}$	${\displaystyle p\,r_{u}^{2}\cdot \sin \left({\frac {\pi }{p}}\right)\cdot \cos \left({\frac {\pi }{p}}\right)}$	${\displaystyle p\,r_{u}^{2}\cdot \cos ^{2}\left({\frac {q\pi }{p}}\right)\cdot \tan \left({\frac {\pi }{p}}\right)}$
{5/2}-Stern	7,265425280	1,122569941	2,377641291	0,346893189
{6/2}-Stern	6,928203230	1,732050808	2,598076211	0,866025404
{7/2}-Stern	6,742044663	2,101798046	2,736410189	1,310449647
{7/3}-Stern	9,742536814	1,083959195	2,736410189	0,166918079
{8/2}-Stern	6,627416998	2,343145751	2,828427125	1,656854249
{8/3}-Stern	8,659137602	1,656854249	2,828427125	0,485281374

Teilflächen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Die Seiten eines regelmäßigen ${\displaystyle \{p/q\}}$-Sterns zerlegen seine Fläche in Teilflächen, nämlich ein inneres regelmäßiges ${\displaystyle p}$-Eck, ${\displaystyle p}$ gleichschenklige Dreiecke und ${\displaystyle p(q-2)}$ Drachenvierecke, also Vierecke mit einer diagonalen Symmetrieachse. Das kann man erkennen, wenn man die Abschnitte aller Seiten des Sterns – ausgehend vom Mittelpunkt der Seiten – Schritt für Schritt hinzufügt. Jeweils zwei innere Abschnitte der Länge ${\displaystyle s_{1}}$ bilden die Seiten des inneren regelmäßigen Polygons. Zusammen mit den nächsten Abschnitten der Länge ${\displaystyle s_{2}}$ bilden sie die Seiten der kongruenten gleichschenkligen Dreiecke. Diese gleichschenkligen Dreiecke haben also die Seitenlängen ${\displaystyle 2s_{1}}$, ${\displaystyle s_{2}}$ und ${\displaystyle s_{2}}$. Jeweils zwei aufeinander folgende Abschnitte der Längen ${\displaystyle s_{m-1}}$ und ${\displaystyle s_{m}}$ bilden die Seiten von ${\displaystyle p}$ kongruenten Drachenvierecken. Diese Drachenvierecke haben also jeweils zwei benachbarte Seiten der Längen ${\displaystyle s_{m-1}}$ und ${\displaystyle s_{m}}$.

Betrachtet man die Seitenabschnitte eines regelmäßigen ${\displaystyle \{p/q\}}$-Sterns, dann erkennt man, dass die inneren ${\displaystyle 2m}$ Abschnitte aller Seiten einen regelmäßigen ${\displaystyle \{p/m\}}$-Stern bilden. Für ${\displaystyle m=1}$ ergibt sich das innere regelmäßige ${\displaystyle p}$-Eck. Dieser regelmäßige ${\displaystyle \{p/m\}}$-Stern hat die Seitenlänge ${\displaystyle 2s_{1}+2s_{2}+2s_{3}+\ldots +2s_{m}=2a_{m}}$ und den Umkreisradius ${\displaystyle r_{m}}$. Daraus ergibt sich wegen ${\displaystyle r_{m}=r_{u}\cdot \cos \left({\frac {q\pi }{p}}\right)\cdot \sec \left({\frac {m\pi }{p}}\right)}$ (siehe Seitenabschnitte) der Flächeninhalt:

${\displaystyle {\begin{aligned}&\,p\,r_{m}^{2}\cdot \sin \left({\frac {\pi }{p}}\right)\cdot \left(\cos \left({\frac {\pi }{p}}\right)-\sin \left({\frac {\pi }{p}}\right)\cdot \tan \left({\frac {(m-1)\pi }{p}}\right)\right)\\=&\,p\,\left(r_{u}\cdot \cos \left({\frac {q\pi }{p}}\right)\cdot \sec \left({\frac {m\pi }{p}}\right)\right)^{2}\cdot \sin \left({\frac {\pi }{p}}\right)\cdot \left(\cos \left({\frac {\pi }{p}}\right)-\sin \left({\frac {\pi }{p}}\right)\cdot \tan \left({\frac {(m-1)\pi }{p}}\right)\right)\\=&\,p\,r_{u}^{2}\cdot \cos ^{2}\left({\frac {q\pi }{p}}\right)\cdot \sin \left({\frac {\pi }{p}}\right)\cdot {\frac {1}{\cos ^{2}\left({\frac {m\pi }{p}}\right)}}\cdot \left(\cos \left({\frac {\pi }{p}}\right)-\sin \left({\frac {\pi }{p}}\right)\cdot \tan \left({\frac {(m-1)\pi }{p}}\right)\right)\\=&\,p\,r_{u}^{2}\cdot \cos ^{2}\left({\frac {q\pi }{p}}\right)\cdot \sin \left({\frac {\pi }{p}}\right)\cdot {\frac {\cos \left({\frac {\pi }{p}}\right)-\sin \left({\frac {\pi }{p}}\right)\cdot \tan \left({\frac {(m-1)\pi }{p}}\right)}{\cos \left({\frac {\pi }{p}}+{\frac {(m-1)\pi }{p}}\right)\cdot \cos \left({\frac {m\pi }{p}}\right)}}\\=&\,p\,r_{u}^{2}\cdot \cos ^{2}\left({\frac {q\pi }{p}}\right)\cdot \sin \left({\frac {\pi }{p}}\right)\cdot {\frac {\cos \left({\frac {\pi }{p}}\right)-\sin \left({\frac {\pi }{p}}\right)\cdot \tan \left({\frac {(m-1)\pi }{p}}\right)}{\left(\cos \left({\frac {\pi }{p}}\right)\cdot \cos \left({\frac {(m-1)\pi }{p}}\right)-\sin \left({\frac {\pi }{p}}\right)\cdot \sin \left({\frac {(m-1)\pi }{p}}\right)\right)\cdot \cos \left({\frac {m\pi }{p}}\right)}}\\=&\,p\,r_{u}^{2}\cdot \cos ^{2}\left({\frac {q\pi }{p}}\right)\cdot \sin \left({\frac {\pi }{p}}\right)\cdot {\frac {\cos \left({\frac {\pi }{p}}\right)-\sin \left({\frac {\pi }{p}}\right)\cdot \tan \left({\frac {(m-1)\pi }{p}}\right)}{\left(\cos \left({\frac {\pi }{p}}\right)-\sin \left({\frac {\pi }{p}}\right)\cdot \tan \left({\frac {(m-1)\pi }{p}}\right)\right)\cdot \cos \left({\frac {(m-1)\pi }{p}}\right)\cdot \cos \left({\frac {m\pi }{p}}\right)}}\\=&\,p\,r_{u}^{2}\cdot \cos ^{2}\left({\frac {q\pi }{p}}\right)\cdot \sin \left({\frac {\pi }{p}}\right)\cdot {\frac {1}{\cos \left({\frac {(m-1)\pi }{p}}\right)\cdot \cos \left({\frac {m\pi }{p}}\right)}}\\=&\,p\,r_{u}^{2}\cdot \cos ^{2}\left({\frac {q\pi }{p}}\right)\cdot \sin \left({\frac {\pi }{p}}\right)\cdot \sec \left({\frac {(m-1)\pi }{p}}\right)\cdot \sec \left({\frac {m\pi }{p}}\right)\end{aligned}}}$

Dabei wurde das Additionstheorem für den Kosinus und die Definition für den Sekans verwendet.

Entfernt man die äußeren ${\displaystyle p}$ kongruenten Drachenvierecke mit den Seitenlängen ${\displaystyle s_{m-1}}$ und ${\displaystyle s_{m}}$ von der Fläche des regelmäßigen ${\displaystyle \{p/m\}}$-Sterns, dann bleibt ein regelmäßiger ${\displaystyle \{p/m-1\}}$-Stern übrig. Der gesamte Flächeninhalt dieser Drachenvierecke ist also die Differenz der Flächeninhalte des regelmäßigen ${\displaystyle \{p/m\}}$-Sterns und des regelmäßigen ${\displaystyle \{p/m-1\}}$-Sterns. Der Flächeninhalt eines Drachenvierecks ist ${\displaystyle {\tfrac {1}{p}}}$ dieser Differenz:

${\displaystyle {\begin{aligned}&\,{\frac {1}{p}}\,\left(p\,r_{u}^{2}\cdot \cos ^{2}\left({\frac {q\pi }{p}}\right)\cdot \sin \left({\frac {\pi }{p}}\right)\cdot \sec \left({\frac {(m-1)\pi }{p}}\right)\cdot \sec \left({\frac {m\pi }{p}}\right)-p\,r_{u}^{2}\cdot \cos ^{2}\left({\frac {q\pi }{p}}\right)\cdot \sin \left({\frac {\pi }{p}}\right)\cdot \sec \left({\frac {(m-2)\pi }{p}}\right)\cdot \sec \left({\frac {(m-1)\pi }{p}}\right)\right)\\=&\,r_{u}^{2}\cdot \cos ^{2}\left({\frac {q\pi }{p}}\right)\cdot \sin \left({\frac {\pi }{p}}\right)\cdot \sec \left({\frac {(m-1)\pi }{p}}\right)\cdot \left(\sec \left({\frac {m\pi }{p}}\right)-\sec \left({\frac {(m-2)\pi }{p}}\right)\right)\end{aligned}}}$

Dieser Flächeninhalt kann auch mithilfe der Längen der Diagonalen des Drachenvierecks berechnet werden. Die Länge der Diagonalen, die auf der Symmetrieachse liegt, ist die Differenz der Radien ${\displaystyle r_{m}}$ und ${\displaystyle r_{m-2}}$. Die andere Diagonale verläuft orthogonal und bildet mit zwei Radien ${\displaystyle r_{m-1}}$ ein gleichschenkliges Dreieck. Diese Diagonale liegt im gleichschenkligen Dreieck dem Mittelpunktswinkel ${\displaystyle {\frac {2\pi }{p}}}$ gegenüber, hat also die Länge ${\displaystyle 2\,r_{m-1}\cdot \sin \left({\frac {\pi }{p}}\right)}$. Daraus ergibt sich der Flächeninhalt des Drachenvierecks:

${\displaystyle {\begin{aligned}&\,{\frac {1}{2}}\,\left(2\,r_{m-1}\cdot \sin \left({\frac {\pi }{p}}\right)\right)\cdot \left(r_{m}-r_{m-2}\right)\\=&\,r_{m-1}\cdot \sin \left({\frac {\pi }{p}}\right)\cdot \left(r_{m}-r_{m-2}\right)\\=&\,r_{u}\cdot \cos \left({\frac {q\pi }{p}}\right)\cdot \sec \left({\frac {(m-1)\pi }{p}}\right)\cdot \sin \left({\frac {\pi }{p}}\right)\cdot \left(r_{u}\cdot \cos \left({\frac {q\pi }{p}}\right)\cdot \sec \left({\frac {m\pi }{p}}\right)-r_{u}\cdot \cos \left({\frac {q\pi }{p}}\right)\cdot \sec \left({\frac {(m-2)\pi }{p}}\right)\right)\\=&\,r_{u}\cdot \cos \left({\frac {q\pi }{p}}\right)\cdot \sec \left({\frac {(m-1)\pi }{p}}\right)\cdot \sin \left({\frac {\pi }{p}}\right)\cdot r_{u}\cdot \cos \left({\frac {q\pi }{p}}\right)\cdot \left(\sec \left({\frac {m\pi }{p}}\right)-\sec \left({\frac {(m-2)\pi }{p}}\right)\right)\\=&\,r_{u}^{2}\cdot \cos ^{2}\left({\frac {q\pi }{p}}\right)\cdot \sin \left({\frac {\pi }{p}}\right)\cdot \sec \left({\frac {(m-1)\pi }{p}}\right)\cdot \left(\sec \left({\frac {m\pi }{p}}\right)-\sec \left({\frac {(m-2)\pi }{p}}\right)\right)\end{aligned}}}$

Für den Grenzfall ${\displaystyle m=2}$ ergibt sich der Flächeninhalt der gleichschenkligen Dreiecke, die mit dem inneren regelmäßigen ${\displaystyle p}$-Eck jeweils eine Seite gemeinsam haben. Er beträgt

${\displaystyle r_{u}^{2}\cdot \cos ^{2}\left({\frac {q\pi }{p}}\right)\cdot \sin \left({\frac {\pi }{p}}\right)\cdot \sec \left({\frac {\pi }{p}}\right)\cdot \left(\sec \left({\frac {2\pi }{p}}\right)-1\right)}$

Darstellung mit Koordinaten und Vektoren[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Kartesische Koordinaten[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Die Ecken ${\displaystyle P_{1},P_{2},P_{3},\ldots ,P_{p}}$ eines regelmäßigen ${\displaystyle \{p/q\}}$-Sterns entsprechen den Ecken eines regelmäßigen ${\displaystyle p}$-Ecks. Sie können mit kartesischen Koordinaten dargestellt werden. Dabei kann der Einheitskreis als Umkreis mit dem Radius ${\displaystyle r_{u}=1}$ genommen werden. Dann ist der Mittelpunkt gleich dem Koordinatenursprung und die Ecke ${\displaystyle P_{k}}$ hat die Koordinaten

${\displaystyle P_{k}={\begin{pmatrix}r_{u}\cdot \cos \left({\frac {2k\pi }{p}}\right)\\r_{u}\cdot \sin \left({\frac {2k\pi }{p}}\right)\end{pmatrix}},\quad k=1,2,3,\ldots ,p}$

Die Seiten ${\displaystyle {\overline {P_{k}P_{k+q}}}}$ dieses regelmäßigen ${\displaystyle \{p/q\}}$-Sterns sind dann zweidimensionale Richtungsvektoren: