In der Zahlentheorie ist eine Pillaische Primzahl eine Primzahl
, für welche eine positive ganze Zahl
existiert, sodass die Fakultät von
, also
, um Eins kleiner ist als ein Vielfaches der Primzahl
. Die Primzahl selbst darf aber nicht um Eins größer sein als ein Vielfaches von
. Mit anderen Worten:
- Es existiert ein
mit
und es muss
sein für alle
.
Mit Kongruenzen geschrieben bedeutet das:
- Es muss
und
gelten.
Die dazugehörigen Zahlen
nennt man EHS-Zahlen.[1]
Die Pillai-Primzahlen wurden nach dem Mathematiker Subbayya Sivasankaranarayana Pillai benannt, der sich als erstes mit diesen Zahlen beschäftigte, indem er sich fragte, ob es wahr ist, dass jeder Primteiler
von
von der Form
ist.[1]
- Die Zahl
ist eine Pillai-Pimzahl, weil gilt:
- Mit
und
gilt:
und es ist auch tatsächlich
für alle
.
- Die ersten Pillai-Primzahlen sind die folgenden:
- 23, 29, 59, 61, 67, 71, 79, 83, 109, 137, 139, 149, 193, 227, 233, 239, 251, 257, 269, 271, 277, 293, 307, 311, 317, 359, 379, 383, 389, 397, 401, 419, 431, 449, 461, 463, 467, 479, 499, 503, 521, 557, 563, 569, 571, 577, 593, 599, 601, 607, 613, 619, 631, 641, 647, 661, 673, … (Folge A063980 in OEIS)
- Die ersten EHS-Zahlen sind die folgenden:
- 8, 9, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 22, …
- Die kleinsten zu obiger Liste dazugehörenden
(es gibt mehrere) sind die folgenden: - 61, 71, 83, 23, 59, 61, 661, 23, 71, 521, …
- Beispiel: Den beiden obigen Listen kann man jeweils an der 7. Stelle die EHS-Zahl
und die Primzahl
entnehmen. Und tatsächlich ist
und es ist auch tatsächlich
für alle
.
- Es gibt unendlich viele Pillai-Primzahlen.[1]
- Es gibt unendlich viele EHS-Zahlen.[1]
Die folgenden ungelösten Probleme werden in [1] aufgeworfen:
- Sei
die Anzahl der Primzahlen kleiner oder gleich
und
die Anzahl der Pillai-Primzahlen kleiner oder gleich
.
- Ist
?
- Sei
die Anzahl der EHS-Zahlen kleiner oder gleich
.
- Existiert
? - Wenn ja, gegen welche Wert geht dieser Limes?
- Es ist
und
und
und
und
. - Es könnte sein, dass der Limes
beträgt, falls er existiert.
- ↑ a b c d e G. E. Hardy, M. V. Subbarao: A Modified Problem of Pillai and Some Related Questions. The American Mathematical Monthly 109 (6), 2002, S. 554–559, abgerufen am 13. Juni 2018.
- G. E. Hardy, M. V. Subbarao: A Modified Problem of Pillai and Some Related Questions. In: The American Mathematical Monthly. Band 109, Nr. 6, 2002, S. 554–559.
- R. K. Guy: Unsolved Problems in Number Theory. 3. Auflage. Springer-Verlag, New York 2004, ISBN 0-387-20860-7.
formelbasiert | Carol ((2n − 1)2 − 2) | Doppelte Mersenne (22p − 1 − 1) | Fakultät (n! ± 1) | Fermat (22n + 1) | Kubisch (x3 − y3)/(x − y) | Kynea ((2n + 1)2 − 2) | Leyland (xy + yx) | Mersenne (2p − 1) | Mills (A3n) | Pierpont (2u⋅3v + 1) | Primorial (pn# ± 1) | Proth (k⋅2n + 1) | Pythagoreisch (4n + 1) | Quartisch (x4 + y4) | Thabit (3⋅2n − 1) | Wagstaff ((2p + 1)/3) | Williams ((b-1)⋅bn − 1) | Woodall (n⋅2n − 1) |
Primzahlfolgen | Bell | Fibonacci | Lucas | Motzkin | Pell | Perrin |
eigenschaftsbasiert | Elitär | Fortunate | Gut | Glücklich | Higgs | Hochkototient | Isoliert | Pillai | Ramanujan | Regulär | Stark | Stern | Wall–Sun–Sun | Wieferich | Wilson |
basisabhängig | Belphegor | Champernowne | Dihedral | Einzigartig | Fröhlich | Keith | Lange | Minimal | Mirp | Permutierbar | Primeval | Palindrom | Repunit-Primzahl ((10n − 1)/9) | Schwach | Smarandache–Wellin | Strobogrammatisch | Tetradisch | Trunkierbar | Zirkular |
basierend auf Tupel | Ausbalanciert (p − n, p, p + n) | Chen | Cousin (p, p + 4) | Cunningham (p, 2p ± 1, …) | Drilling (p, p + 2 oder p + 4, p + 6) | Konstellation | Sexy (p, p + 6) | Sichere (p, (p − 1)/2) | Sophie Germain (p, 2p + 1) | Vierling (p, p + 2, p + 6, p + 8) | Zwilling (p, p + 2) | Zwillings-Bi-Kette (n ± 1, 2n ± 1, …) |
nach Größe | Titanisch (1.000+ Stellen) | Gigantisch (10.000+ Stellen) | Mega (1.000.000+ Stellen) | Beva (1.000.000.000+ Stellen) |