Graph des Integralcosinus (grün, untere Kurve) und des Integralsinus (blau, obere Kurve) für Argumente 0 ≤ x ≤ 8π Der Integralkosinus ist eine Funktion , in deren Funktionsvorschrift ein Integral und die Kosinusfunktion auftreten. Diese Integralfunktion kann mit elementaren Methoden nicht ohne Integral dargestellt werden.
Der Integralkosinus ist definiert als:
C i ( x ) := γ + ln x + ∫ 0 x cos t − 1 t d t = − ∫ x ∞ cos t t d t {\displaystyle {\rm {Ci}}(x):=\gamma +\ln x+\int _{0}^{x}{\frac {\cos t-1}{t}}\,dt\quad =-\int _{x}^{\infty }{\frac {\cos t}{t}}\,dt} Dabei ist γ = 0,577 215... {\displaystyle \gamma =0{,}577215...} die Euler-Mascheroni-Konstante .
Das in der Definition auftretende Integral wird auch mit Cin {\displaystyle \operatorname {Cin} } bezeichnet: Cin ( x ) := ∫ 0 x 1 − cos t t d t {\displaystyle \operatorname {Cin} (x):=\int _{0}^{x}{\frac {1-\cos t}{t}}\,dt} mit der Beziehung: Cin ( x ) = γ + ln x − Ci ( x ) {\displaystyle \operatorname {Cin} (x)=\gamma +\ln x-\operatorname {Ci} (x)\,} Si ′ ( x ) = sin x x {\displaystyle \operatorname {Si} '(x)={\frac {\sin x}{x}}} gilt: Ci ′ ( x ) = cos ( x ) x {\displaystyle \operatorname {Ci} '(x)={\frac {\cos(x)}{x}}} Analog der komplexen Eulerformel -Definition des Cosinus cos x = 1 2 ( e i x + e − i x ) {\displaystyle \cos x={\frac {1}{2}}\left(\mathrm {e} ^{\mathrm {i} x}+\mathrm {e} ^{-\mathrm {i} x}\right)} gilt mit der Integralexponentialfunktion Ei {\displaystyle \operatorname {Ei} } Ci ( x ) = 1 2 ( Ei ( i x ) + Ei ( − i x ) ) {\displaystyle \operatorname {Ci} (x)={\frac {1}{2}}\left(\operatorname {Ei} (\mathrm {i} \ x)+\operatorname {Ei} (-\mathrm {i} \ x)\right)} Es lässt sich eine überall konvergente Reihe angeben: Ci ( x ) = γ + ln x − x 2 2 ! ⋅ 2 + x 4 4 ! ⋅ 4 − ⋯ = γ + ln x + ∑ k = 1 ∞ ( − 1 ) k x 2 k ( 2 k ) ! ⋅ 2 k {\displaystyle \operatorname {Ci} \left(x\right)=\gamma +\ln x-{\frac {x^{2}}{2!\cdot 2}}+{\frac {x^{4}}{4!\cdot 4}}-\cdots \quad =\gamma +\ln x+\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{k}x^{2k}}{(2k)!\cdot 2k}}} Folgende unendliche Summe mit Integralkosinuswerten als Summanden ergibt diesen Wert: ∑ n = 1 ∞ Ci ( 2 π n ) = 1 4 − 1 2 γ {\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }\operatorname {Ci} (2\pi n)={\frac {1}{4}}-{\frac {1}{2}}\gamma } Denn es gelten folgende Integrale: ∫ 0 ∞ x exp ( − w x ) x 2 + 1 d x = 1 2 π sin ( w ) − Si ( w ) sin ( w ) − Ci ( w ) cos ( w ) {\displaystyle \int _{0}^{\infty }{\frac {x\exp(-wx)}{x^{2}+1}}dx={\frac {1}{2}}\pi \sin(w)-\operatorname {Si} (w)\sin(w)-\operatorname {Ci} (w)\cos(w)} ∫ 0 ∞ x ( x 2 + 1 ) [ exp ( 2 π x ) − 1 ] d x = 1 2 γ − 1 4 {\displaystyle \int _{0}^{\infty }{\frac {x}{(x^{2}+1)[\exp(2\pi x)-1]}}dx={\frac {1}{2}}\gamma -{\frac {1}{4}}} Anmerkung: In verschiedenen Formelsammlungen wird der Integralkosinus mit umgekehrten Vorzeichen definiert.
Eng verwandt ist der Integralsinus Si ( x ) {\displaystyle \operatorname {Si} (x)} , der zusammen mit dem Integralcosinus Ci ( x ) {\displaystyle \operatorname {Ci} (x)} in parametrischer Darstellung eine Klothoide bildet.