In der Mathematik ist ein hermitescher symmetrischer Raum eine hermitesche Mannigfaltigkeit, die gleichzeitig ein symmetrischer Raum ist. Beispiele sind die riemannsche Zahlenkugel, die hyperbolische Ebene oder der siegelsche Halbraum. Hermitesche symmetrische Räume werden in der algebraischen Geometrie als Parameterräume für die Variation von Hodge-Strukturen verwendet.
Für einen Hermiteschen symmetrischen Raum
bezeichne
die Gruppe der biholomorphen Abbildungen,
die Gruppe der riemannschen Isometrien und
die Gruppe der holomorphen Isometrien.
Wenn
von nichtkompaktem Typ ist, dann geben die Inklusionen
![{\displaystyle Hol(M)\supset Is(M)\subset Isom(M)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c2531dcd0380e3d796de6586f8b4efc5d985e4fa)
Gleichheiten der Zusammenhangskomponenten der Eins
.
Dann wirkt
transitiv auf
mit Stabilisator
eines Punktes
, und man hat
.
Sei
die Lie-Algebra von
, dann gibt es eine eindeutige zusammenhängende algebraische Gruppe
mit
![{\displaystyle G(\mathbb {R} )^{+}=G(\mathbb {R} )\cap Hol(M)=Hol(M)^{+}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8be17acef3fde87d32f985d294aa7fa7ff8f6aab)
Die algebraische Gruppe
ist halbeinfach und
ist nichtkompakt.
Kompakte hermitesche symmetrische Räume sind Produkte von irreduziblen kompakten Hermiteschen symmetrischen Räumen.
Die irreduziblen kompakten hermiteschen symmetrischen Räume
lassen sich wie folgt klassifizieren.
| | | komplexe Dimension | Rang | geometrische Interpretation |
| | | | | Grassmann-Mannigfaltigkeit der komplex -dimensionalen Unterräume des |
| | | | | Raum der orthogonalen komplexen Strukturen auf dem |
| | | | | Raum der mit dem Skalarprodukt kompatiblen komplexen Strukturen auf dem |
| | | | 2 | Grassmann-Mannigfaltigkeit der orientierten, reell -dimensionalen Unterräume des |
| | | 16 | 2 | Komplexifizierung der Cayley-projektiven Ebene |
| | | 27 | 3 | Raum derjenigen symmetrischen Unterräume der Rosenfeld-projektiven Ebene , die isomorph zu sind |