Formelsammlung Tensoralgebra

${\displaystyle {\sqrt[{n}]{x}}}$

Dieser Artikel ist eine Formelsammlung zum Thema Tensoralgebra. Es werden mathematische Symbole verwendet, die im Artikel Liste mathematischer Symbole erläutert werden.

Diese Formelsammlung fasst Formeln und Definitionen der Tensoralgebra für Tensoren zweiter Stufe in der Kontinuumsmechanik zusammen. Es wird der dreidimensionale Raum zugrunde gelegt.

Allgemeines[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Notation[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

• Operatoren wie ${\displaystyle \mathrm {I} _{1}}$ werden nicht kursiv geschrieben.
• Buchstaben die als Indizes benutzt werden:
  • ${\displaystyle i,j,k,l,m,n\in \{1,2,3\}}$.
    Ausnahme:
    Die imaginäre Einheit ${\displaystyle \mathrm {i} ^{2}=-1}$ und die #Vektorinvariante ${\displaystyle {\vec {\mathrm {i} }}}$ werden in Abgrenzung zu den Indizes nicht kursiv geschrieben.
  • ${\displaystyle p,q,r,s\in \{1,2,\ldots ,9\}}$
  • ${\displaystyle u,v\in \{1,2,\ldots ,6\}}$
• Alle anderen Buchstaben stehen für reelle Zahlen oder komplexe Zahlen.
• Vektoren:
  • Alle hier verwendeten Vektoren sind geometrische Vektoren im dreidimensionalen euklidischen Vektorraum ${\displaystyle \mathbb {V} }$.
  • Vektoren werden mit Kleinbuchstaben bezeichnet.
    Ausnahme #Dualer axialer Vektor ${\displaystyle {\stackrel {A}{\overrightarrow {\mathbf {A} }}}}$
  • Einheitsvektoren mit Länge eins werden wie in ê mit einem Hut versehen. Die Standardbasis von ${\displaystyle \mathbb {V} }$ ist ê_1,2,3.
  • Vektoren mit unbestimmter Länge werden wie in ${\displaystyle {\vec {a}}}$ mit einem Pfeil versehen.
  • Dreiergruppen von Vektoren wie in ${\displaystyle {\vec {h}}_{1},{\vec {h}}_{2},{\vec {h}}_{3}}$ oder ${\displaystyle {\vec {g}}^{1},{\vec {g}}^{2},{\vec {g}}^{3}}$ bezeichnen eine rechtshändige Basis von ${\displaystyle \mathbb {V} }$.
  • Gleichnamige Basisvektoren mit unterem und oberem Index sind dual zueinander, z. B. ${\displaystyle {\vec {g}}_{1},{\vec {g}}_{2},{\vec {g}}_{3}}$ ist dual zu ${\displaystyle {\vec {g}}^{1},{\vec {g}}^{2},{\vec {g}}^{3}}$.
• Tensoren zweiter Stufe werden wie in A mit fetten Großbuchstaben notiert. Die Menge aller Tensoren wird mit ${\displaystyle {\mathcal {L}}:=\mathrm {Lin} (\mathbb {V} ,\mathbb {V} )}$ bezeichnet. Tensoren höherer Stufe werden mit einer hochgestellten Zahl wie in ${\displaystyle {\stackrel {4}{\mathbf {C} }}}$ geschrieben. Tensoren vierter Stufe sind Elemente der Menge ${\displaystyle {\stackrel {4}{\mathcal {L}}}:=\mathrm {Lin} ({\mathcal {L}},{\mathcal {L}})}$.
• Es gilt die Einstein'sche Summenkonvention ohne Beachtung der Indexstellung.
  • Kommt in einer Formel in einem Produkt ein Index doppelt vor wie in ${\displaystyle c=a_{i}b^{i}}$ wird über diesen Index summiert:
    ${\displaystyle c=a_{i}b^{i}=\sum _{i=1}^{3}a_{i}b^{i}}$.
  • Kommen mehrere Indizes doppelt vor wie in ${\displaystyle c=A_{pq}B_{q}^{p}}$ wird über diese summiert:
    ${\displaystyle c=A_{pq}B_{q}^{p}=\sum _{p=1}^{9}\sum _{q=1}^{9}A_{pq}B_{q}^{p}}$.
  • Ein Index, der nur einfach vorkommt wie ${\displaystyle u}$ in ${\displaystyle a_{u}=A_{uv}b_{v}}$, ist ein freier Index. Die Formel gilt dann für alle Werte der freien Indizes:
    ${\displaystyle a_{u}=A_{uv}b_{v}\quad \leftrightarrow \quad a_{u}=\sum _{v=1}^{6}A_{uv}b_{v}\quad \forall \;u\in \{1,\ldots ,6\}}$.

Glossar[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Reservierte und besondere Symbole[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Formelzeichen	Abschnitt in der Formelsammlung	Wikipedia-Artikel
${\displaystyle \mathbf {I,1} }$	#Einheitstensor	Einheitstensor
${\displaystyle \mathbf {Q,R} }$	#Orthogonale Tensoren	Orthogonaler Tensor
${\displaystyle \lambda }$	#Eigenwerte	Eigenwertproblem
${\displaystyle \delta _{ij}}$	#Kronecker-Delta	Kronecker-Delta
${\displaystyle \epsilon _{ijk}}$	#Permutationssymbol	Permutationssymbol
${\displaystyle {\stackrel {3}{\mathbf {E} }}}$	#Fundamentaltensor 3. Stufe	Epsilon-Tensor
${\displaystyle [{\vec {a}}]_{\times }}$	#Axialer Tensor oder Kreuzproduktmatrix	Kreuzprodukt
${\displaystyle {\stackrel {A}{\overrightarrow {\mathbf {A} }}},\mathbf {A} _{\times }}$	#Dualer axialer Vektor	Kreuzprodukt
${\displaystyle {\vec {\mathrm {i} }}}$	#Vektorinvariante	Vektorinvariante
${\displaystyle \mathrm {i} }$		Imaginäre Einheit

Zeichen für Operatoren[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Formelzeichen	Abschnitt in der Formelsammlung	Wikipedia-Artikel
${\displaystyle (\cdot )\cdot (\cdot )}$	Skalarprodukt von Vektoren, #Vektortransformation, #Tensorprodukt	Skalarprodukt
${\displaystyle (\cdot )\times (\cdot )}$	#Kreuzprodukt eines Vektors mit einem Tensor, #Kreuzprodukt von Tensoren	Kreuzprodukt
${\displaystyle (\cdot ):(\cdot )}$	#Skalarprodukt von Tensoren	Frobenius-Skalarprodukt
${\displaystyle (\cdot )\otimes (\cdot )}$	#Dyadisches Produkt	Dyadisches Produkt
${\displaystyle (\cdot )\cdot \!\!\times (\cdot )}$	#Skalarkreuzprodukt von Tensoren
${\displaystyle (\cdot )\times \!\!\times (\cdot )}$	#Doppeltes Kreuzprodukt von Tensoren
${\displaystyle (\cdot )\#(\cdot )}$	#Äußeres Tensorprodukt	Äußeres Tensorprodukt
${\displaystyle \parallel (\cdot )\parallel }$	#Betrag	Frobeniusnorm
${\displaystyle |x|,|{\vec {v}}|,|\mathbf {A} |}$	Betrag der Zahl x oder des Vektors ${\displaystyle {\vec {v}}}$, #Determinante des Tensors A	Determinante

Tensorfunktionen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Formelzeichen	Abschnitt in der Formelsammlung	Wikipedia-Artikel
${\displaystyle \mathrm {Sp,tr,I} _{1}}$	#Spur	Spur (Mathematik), Hauptinvariante
${\displaystyle \mathrm {I} _{2}}$	#Zweite Hauptinvariante	Hauptinvariante
${\displaystyle \mathrm {det,I} _{3},|\mathbf {A} |}$	#Determinante	Determinante, Hauptinvariante
sym	#Symmetrischer Anteil	Symmetrische Matrix
skw, skew	#Schiefsymmetrischer Anteil	Schiefsymmetrische Matrix
adj	#Adjunkte	Adjunkte
cof	#Kofaktor	Minor (Mathematik)#Kofaktormatrix
dev	#Deviator	Deviator, Spannungsdeviator
sph	#Kugelanteil	Kugeltensor

Indizes[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Formelzeichen	Abschnitt in der Formelsammlung	Wikipedia-Artikel
${\displaystyle (\cdot )_{ij},(\cdot )^{ij},(\cdot )_{j}^{i}}$	#Tensorkomponenten
${\displaystyle (\cdot )^{\top }}$	#Transposition	Transponierte Matrix
${\displaystyle (\cdot )^{\stackrel {mn}{\top }}}$	Transpositionen von Tensoren vierter Stufe
${\displaystyle (\cdot )^{-1}}$	#Inverse	Inverse Matrix
${\displaystyle (\cdot )^{-\top },(\cdot )^{\top -1}}$	#Transposition der #Inverse
${\displaystyle (\cdot )^{\mathrm {S} }}$	#Symmetrischer Anteil	Symmetrische Matrix
${\displaystyle (\cdot )^{\mathrm {A} }}$	#Schiefsymmetrischer Anteil	Schiefsymmetrische Matrix
${\displaystyle (\cdot )^{\mathrm {D} }}$	#Deviator	Deviator, Spannungsdeviator
${\displaystyle (\cdot )^{\mathrm {K} }}$	#Kugelanteil	Kugeltensor
${\displaystyle {\stackrel {n}{(\cdot )}}}$	Tensor n-ter Stufe
${\displaystyle {\stackrel {A}{\overrightarrow {\mathbf {A} }}},\mathbf {A} _{\times }}$	#Dualer axialer Vektor	Kreuzprodukt

Mengen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Formelzeichen	Elemente
${\displaystyle \mathbb {R} }$	Reelle Zahlen
${\displaystyle \mathbb {C} }$	Komplexe Zahlen
${\displaystyle \mathbb {V} }$	Vektoren
${\displaystyle {\mathcal {L}}=\mathrm {Lin} (\mathbb {V,V} )}$	Tensoren zweiter Stufe
${\displaystyle {\stackrel {4}{\mathcal {L}}}=\mathrm {Lin} ({\mathcal {L,L}})}$	#Tensoren vierter Stufe

Kronecker-Delta[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

${\displaystyle \delta _{ij}=\delta ^{ij}=\delta _{i}^{j}=\delta _{j}^{i}={\begin{cases}1&\mathrm {falls} \quad i=j\\0&\mathrm {sonst} \end{cases}}}$

Für Summen gilt dann z. B.

${\displaystyle v_{i}\delta _{ij}=v_{j}}$

${\displaystyle A_{ij}\delta _{ij}=A_{ii}}$

Dies gilt für die anderen Indexgruppen entsprechend.

Permutationssymbol[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

${\displaystyle \epsilon _{ijk}={\hat {e}}_{i}\cdot ({\hat {e}}_{j}\times {\hat {e}}_{k})={\begin{cases}1&{\text{falls}}\;(i,j,k)\in \{(1,2,3),(2,3,1),(3,1,2)\}\\-1&{\text{falls}}\;(i,j,k)\in \{(1,3,2),(2,1,3),(3,2,1)\}\\0&{\text{sonst, d.h. bei doppeltem Index}}\end{cases}}}$

${\displaystyle \epsilon _{ijk}\epsilon _{lmn}={\begin{vmatrix}\delta _{il}&\delta _{jl}&\delta _{kl}\\\delta _{im}&\delta _{jm}&\delta _{km}\\\delta _{in}&\delta _{jn}&\delta _{kn}\end{vmatrix}}}$

${\displaystyle \epsilon _{ijk}\epsilon _{klm}=\delta _{il}\delta _{jm}-\delta _{im}\delta _{jl}}$

${\displaystyle \epsilon _{ijk}\epsilon _{jkl}=2\delta _{il}}$

${\displaystyle \epsilon _{ijk}\epsilon _{ijk}=6}$

Kreuzprodukt:

${\displaystyle a_{i}{\hat {e}}_{i}\times b_{j}{\hat {e}}_{j}=\epsilon _{ijk}a_{i}b_{j}{\hat {e}}_{k}=\epsilon _{ijk}a_{j}b_{k}{\hat {e}}_{i}=\epsilon _{ijk}a_{k}b_{i}{\hat {e}}_{j}}$

${\displaystyle \epsilon _{ijk}{\hat {e}}_{k}={\hat {e}}_{i}\times {\hat {e}}_{j}}$

Spaltenvektoren und Matrizen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Die hier verwendeten Vektoren sind Spaltenvektoren

${\displaystyle {\vec {a}}=a_{i}{\hat {e}}_{i}={\begin{pmatrix}a_{1}\\a_{2}\\a_{3}\end{pmatrix}}}$

Drei Vektoren ${\displaystyle {\vec {a}},{\vec {b}},{\vec {c}}}$ können spaltenweise in einer 3×3-Matrix ${\displaystyle M}$ arrangiert werden:

${\displaystyle M={\begin{pmatrix}{\vec {a}}&{\vec {b}}&{\vec {c}}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}a_{1}&b_{1}&c_{1}\\a_{2}&b_{2}&c_{2}\\a_{3}&b_{3}&c_{3}\end{pmatrix}}}$

Die Determinante der Matrix

${\displaystyle |M|={\begin{vmatrix}{\vec {a}}&{\vec {b}}&{\vec {c}}\end{vmatrix}}}$

ist

• ungleich null, wenn die Spaltenvektoren linear unabhängig sind und
• größer null, wenn die Spaltenvektoren zusätzlich ein Rechtssystem bilden.

Also gewährleistet ${\displaystyle {\begin{vmatrix}{\vec {a}}&{\vec {b}}&{\vec {c}}\end{vmatrix}}>0}$, dass die Vektoren ${\displaystyle {\vec {a}},{\vec {b}},{\vec {c}}}$ eine rechtshändige Basis bilden.

Die Spaltenvektoren bilden eine Orthonormalbasis, wenn

${\displaystyle M^{\top }M={\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{pmatrix}}}$

worin ${\displaystyle M^{\top }}$ die transponierte Matrix ist. Bei der hier vorausgesetzten Rechtshändigkeit gilt dann zusätzlich ${\displaystyle |M|=+1}$.

Vektoralgebra[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Basis und Duale Basis[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Basisvektoren ${\displaystyle {\vec {g}}_{1},{\vec {g}}_{2},{\vec {g}}_{3}}$

Duale Basisvektoren ${\displaystyle {\vec {g}}^{1},{\vec {g}}^{2},{\vec {g}}^{3}}$

Beziehungen zwischen den Basisvektoren

${\displaystyle {\vec {g}}_{i}\cdot {\vec {g}}^{j}=\delta _{i}^{j}}$

${\displaystyle {\vec {g}}^{1}={\frac {{\vec {g}}_{2}\times {\vec {g}}_{3}}{({\vec {g}}_{1},{\vec {g}}_{2},{\vec {g}}_{3})}},\quad g^{2}={\frac {{\vec {g}}_{3}\times {\vec {g}}_{1}}{({\vec {g}}_{1},{\vec {g}}_{2},{\vec {g}}_{3})}},\quad g^{3}={\frac {{\vec {g}}_{1}\times {\vec {g}}_{2}}{({\vec {g}}_{1},{\vec {g}}_{2},{\vec {g}}_{3})}}}$

${\displaystyle {\vec {g}}_{1}={\frac {{\vec {g}}^{2}\times {\vec {g}}^{3}}{({\vec {g}}^{1},{\vec {g}}^{2},{\vec {g}}^{3})}},\quad g_{2}={\frac {{\vec {g}}^{3}\times {\vec {g}}^{1}}{({\vec {g}}^{1},{\vec {g}}^{2},{\vec {g}}^{3})}},\quad g_{3}={\frac {{\vec {g}}^{1}\times {\vec {g}}^{2}}{({\vec {g}}^{1},{\vec {g}}^{2},{\vec {g}}^{3})}}}$

mit dem Spatprodukt

${\displaystyle ({\vec {a}},{\vec {b}},{\vec {c}}):={\vec {a}}\cdot ({\vec {b}}\times {\vec {c}})={\vec {c}}\cdot ({\vec {a}}\times {\vec {b}})={\vec {b}}\cdot ({\vec {c}}\times {\vec {a}})={\begin{vmatrix}{\vec {a}}&{\vec {b}}&{\vec {c}}\end{vmatrix}}}$

Trägt man die Basisvektoren spaltenweise in eine Matrix ein, dann finden sich die dualen Basisvektoren in den Zeilen der Inversen oder den Spalten der #transponiert #Inversen ${\displaystyle ()^{\top -1}}$:

${\displaystyle {\begin{pmatrix}{\vec {g}}^{1}&{\vec {g}}^{2}&{\vec {g}}^{3}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}{\vec {g}}_{1}&{\vec {g}}_{2}&{\vec {g}}_{3}\end{pmatrix}}^{\top -1}}$

In der Standardbasis wie in jeder Orthonormalbasis sind die Basisvektoren ${\displaystyle {\hat {e}}_{1},{\hat {e}}_{2},{\hat {e}}_{3}}$ zu sich selbst dual:

${\displaystyle {\hat {e}}_{i}={\hat {e}}^{i}}$

Berechnung von Vektorkomponenten[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

${\displaystyle {\vec {v}}=v_{i}{\hat {e}}_{i}\quad \rightarrow \;v_{i}={\vec {v}}\cdot {\hat {e}}_{i}}$

${\displaystyle {\vec {v}}=v^{i}{\vec {g}}_{i}\quad \rightarrow \;v^{i}={\vec {v}}\cdot {\vec {g}}^{i}}$

${\displaystyle {\vec {v}}=v_{i}{\vec {g}}^{i}\quad \rightarrow \;v_{i}={\vec {v}}\cdot {\vec {g}}_{i}}$

Beziehung zwischen den Skalarprodukten der Basisvektoren[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

${\displaystyle ({\vec {g}}_{i}\cdot {\vec {g}}_{k})({\vec {g}}^{k}\cdot {\vec {g}}^{j})={\vec {g}}_{i}\cdot ({\vec {g}}^{j}\cdot {\vec {g}}^{k}){\vec {g}}_{k}={\vec {g}}_{i}\cdot {\vec {g}}^{j}=\delta _{i}^{j}}$

Wechsel der Basis bei Vektoren[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Wechsel von

Basis ${\displaystyle {\vec {g}}^{1},{\vec {g}}^{2},{\vec {g}}^{3}}$ mit dualer Basis ${\displaystyle {\vec {g}}_{1},{\vec {g}}_{2},{\vec {g}}_{3}}$

nach

Basis ${\displaystyle {\vec {h}}^{1},{\vec {h}}^{2},{\vec {h}}^{3}}$ mit dualer Basis ${\displaystyle {\vec {h}}_{1},{\vec {h}}_{2},{\vec {h}}_{3}}$:

${\displaystyle {\vec {v}}=v_{i}\,{\vec {g}}^{i}=v_{i}^{\ast }\,{\vec {h}}^{i}\quad \rightarrow \;v_{i}^{\ast }=({\vec {h}}_{i}\cdot {\vec {g}}^{j})v_{j}}$

Matrizengleichung:

${\displaystyle {\begin{aligned}{\begin{pmatrix}v_{1}^{\ast }\\v_{2}^{\ast }\\v_{3}^{\ast }\end{pmatrix}}=&{\begin{pmatrix}{\vec {h}}_{1}\cdot {\vec {g}}^{1}&{\vec {h}}_{1}\cdot {\vec {g}}^{2}&{\vec {h}}_{1}\cdot {\vec {g}}^{3}\\{\vec {h}}_{2}\cdot {\vec {g}}^{1}&{\vec {h}}_{2}\cdot {\vec {g}}^{2}&{\vec {h}}_{2}\cdot {\vec {g}}^{3}\\{\vec {h}}_{3}\cdot {\vec {g}}^{1}&{\vec {h}}_{3}\cdot {\vec {g}}^{2}&{\vec {h}}_{3}\cdot {\vec {g}}^{3}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}v_{1}\\v_{2}\\v_{3}\end{pmatrix}}\\=&{\begin{pmatrix}{\vec {h}}_{1}&{\vec {h}}_{2}&{\vec {h}}_{3}\end{pmatrix}}^{\top }{\begin{pmatrix}{\vec {g}}^{1}&{\vec {g}}^{2}&{\vec {g}}^{3}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}v_{1}\\v_{2}\\v_{3}\end{pmatrix}}\end{aligned}}}$

Dyadisches Produkt[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Die grundlegenden Eigenschaften des dyadischen Produkts „⊗“ sind:

Abbildung ${\displaystyle \mathbb {V} \times \mathbb {V} \to {\mathcal {L}}}$

${\displaystyle {\vec {a}}\otimes {\vec {g}}=\mathbf {T} \in {\mathcal {L}}}$

Multiplikation mit einem Skalar:

${\displaystyle x({\vec {a}}\otimes {\vec {g}})=(x{\vec {a}})\otimes {\vec {g}}={\vec {a}}\otimes (x{\vec {g}})=x{\vec {a}}\otimes {\vec {g}}}$

Distributivität:

${\displaystyle (x+y){\vec {a}}\otimes {\vec {g}}=x{\vec {a}}\otimes {\vec {g}}+y{\vec {a}}\otimes {\vec {g}}}$

${\displaystyle ({\vec {a}}+{\vec {b}})\otimes {\vec {g}}={\vec {a}}\otimes {\vec {g}}+{\vec {b}}\otimes {\vec {g}}}$

${\displaystyle {\vec {a}}\otimes ({\vec {g}}+{\vec {h}})={\vec {a}}\otimes {\vec {g}}+{\vec {a}}\otimes {\vec {h}}}$

Skalarprodukt:

${\displaystyle ({\vec {a}}\otimes {\vec {g}}):({\vec {b}}\otimes {\vec {h}})=({\vec {a}}\cdot {\vec {b}})({\vec {g}}\cdot {\vec {h}})}$

Weitere Eigenschaften von Dyaden siehe #Dyade und den folgenden Abschnitt.

Tensoren als Elemente eines Vektorraumes[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Durch die Eigenschaften des dyadischen Produktes wird ${\displaystyle {\mathcal {L}}}$ zu einem euklidischen Vektorraum und entsprechend kann jeder Tensor komponentenweise bezüglich einer Basis von ${\displaystyle {\mathcal {L}}}$ dargestellt werden:

${\displaystyle \mathbf {A} \in {\mathcal {L}}\rightarrow \mathbf {A} =A_{ij}{\hat {e}}_{i}\otimes {\hat {e}}_{j}=A^{ij}{\vec {a}}_{i}\otimes {\vec {g}}_{j}}$ mit Komponenten ${\displaystyle A_{ij},A^{ij}\in \mathbb {R} }$.

Die Dyaden ${\displaystyle \{{\hat {e}}_{i}\otimes {\hat {e}}_{j}|i,j=1,2,3\}}$ und ${\displaystyle \{{\vec {a}}_{i}\otimes {\vec {g}}_{j}|i,j=1,2,3\}}$ bilden Basissysteme von ${\displaystyle {\mathcal {L}}}$.

Operatoren[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Transposition[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Abbildung ${\displaystyle {\mathcal {L}}\to {\mathcal {L}}}$

${\displaystyle ({\vec {a}}\otimes {\vec {g}})^{\top }:={\vec {g}}\otimes {\vec {a}}}$

${\displaystyle (A_{ij}{\hat {e}}_{i}\otimes {\hat {e}}_{j})^{\top }=A_{ij}({\hat {e}}_{j}\otimes {\hat {e}}_{i})=A_{ji}({\hat {e}}_{i}\otimes {\hat {e}}_{j})}$

${\displaystyle (A^{ij}{\vec {a}}_{i}\otimes {\vec {g}}_{j})^{\top }=A^{ij}({\vec {g}}_{j}\otimes {\vec {a}}_{i})=A^{ji}({\vec {g}}_{i}\otimes {\vec {a}}_{j})}$

${\displaystyle \left(\mathbf {A} ^{\top }\right)^{\top }=\mathbf {A} }$

${\displaystyle (\mathbf {A+B} )^{\top }=\mathbf {A} ^{\top }+\mathbf {B} ^{\top }}$

${\displaystyle (\mathbf {A\cdot B} )^{\top }=\mathbf {B} ^{\top }\cdot \mathbf {A} ^{\top }}$

Vektortransformation[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Abbildung ${\displaystyle {\mathcal {L}}\times \mathbb {V} \to \mathbb {V} }$ oder ${\displaystyle \mathbb {V} \times {\mathcal {L}}\to \mathbb {V} }$

Dyaden:

${\displaystyle ({\vec {a}}\otimes {\vec {g}})\cdot {\vec {h}}:=({\vec {g}}\cdot {\vec {h}}){\vec {a}}}$

${\displaystyle {\vec {b}}\cdot ({\vec {a}}\otimes {\vec {g}}):=({\vec {a}}\cdot {\vec {b}}){\vec {g}}}$

${\displaystyle ({\vec {a}}\otimes {\vec {g}})\cdot {\vec {h}}={\vec {h}}\cdot ({\vec {a}}\otimes {\vec {g}})^{\top }}$

${\displaystyle {\vec {b}}\cdot ({\vec {a}}\otimes {\vec {g}})=({\vec {a}}\otimes {\vec {g}})^{\top }\cdot {\vec {b}}}$

Allgemeine Tensoren:

${\displaystyle A_{ij}({\hat {e}}_{i}\otimes {\hat {e}}_{j})\cdot {\vec {v}}=A_{ij}({\vec {v}}\cdot {\hat {e}}_{j}){\hat {e}}_{i}}$

${\displaystyle A^{ij}({\vec {a}}_{i}\otimes {\vec {g}}_{j})\cdot {\vec {v}}=A^{ij}({\vec {v}}\cdot {\vec {g}}_{j}){\vec {a}}_{i}}$

${\displaystyle {\vec {v}}\cdot A_{ij}({\hat {e}}_{i}\otimes {\hat {e}}_{j})=A_{ij}({\vec {v}}\cdot {\hat {e}}_{i}){\hat {e}}_{j}}$

${\displaystyle {\vec {v}}\cdot A^{ij}({\vec {a}}_{i}\otimes {\vec {g}}_{j})=A^{ij}({\vec {v}}\cdot {\hat {a}}_{i}){\vec {g}}_{j}}$

Symbolisch:

${\displaystyle \mathbf {A} \cdot {\vec {v}}={\vec {v}}\cdot \mathbf {A} ^{\top }}$

${\displaystyle {\vec {v}}\cdot \mathbf {A} =\mathbf {A} ^{\top }\cdot {\vec {v}}}$

Tensorprodukt[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Abbildung ${\displaystyle {\mathcal {L}}\times {\mathcal {L}}\to {\mathcal {L}}}$

${\displaystyle ({\vec {a}}\otimes {\vec {g}})\cdot ({\vec {h}}\otimes {\vec {u}}):=({\vec {g}}\cdot {\vec {h}}){\vec {a}}\otimes {\vec {u}}}$

${\displaystyle ({\vec {a}}\otimes {\vec {g}})\cdot \mathbf {A} ={\vec {a}}\otimes ({\vec {g}}\cdot \mathbf {A} )={\vec {a}}\otimes {\vec {g}}\cdot \mathbf {A} ={\vec {a}}\otimes (\mathbf {A} ^{\top }\cdot {\vec {g}})}$

${\displaystyle \mathbf {A} \cdot ({\vec {a}}\otimes {\vec {g}})=(\mathbf {A} \cdot {\vec {a}})\otimes {\vec {g}}=\mathbf {A} \cdot {\vec {a}}\otimes {\vec {g}}}$

${\displaystyle (A_{ik}{\hat {e}}_{i}\otimes {\hat {e}}_{k})\cdot (B_{lj}{\hat {e}}_{l}\otimes {\hat {e}}_{j})=A_{ik}B_{kj}{\hat {e}}_{i}\otimes {\hat {e}}_{j}}$

${\displaystyle \left(A^{ij}{\vec {a}}_{i}\otimes {\vec {g}}_{j}\right)\cdot \left(B^{kl}{\vec {h}}_{k}\otimes {\vec {u}}_{l}\right)=A^{ij}({\vec {g}}_{j}\cdot {\vec {h}}_{k})B^{kl}{\vec {a}}_{i}\otimes {\vec {u}}_{l}}$

Skalarprodukt von Tensoren[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Abbildung ${\displaystyle {\mathcal {L}}\times {\mathcal {L}}\to \mathbb {R} }$

Definition über die #Spur:

${\displaystyle ({\vec {a}}\otimes {\vec {g}}):({\vec {b}}\otimes {\vec {h}}):=\mathrm {Sp} (({\vec {a}}\otimes {\vec {g}})^{\top }\cdot ({\vec {b}}\otimes {\vec {h}}))=({\vec {a}}\cdot {\vec {b}})({\vec {g}}\cdot {\vec {h}})}$

${\displaystyle \mathbf {A} :\mathbf {B} :=\mathrm {Sp} (\mathbf {A} ^{\top }\cdot \mathbf {B} )}$

Eigenschaften:

${\displaystyle \mathbf {A} :\mathbf {B} =\mathbf {B} :\mathbf {A} =\mathbf {A} ^{\top }:\mathbf {B} ^{\top }=\mathbf {B} ^{\top }:\mathbf {A} ^{\top }}$

${\displaystyle \mathbf {A} ^{\top }:\mathbf {B} =\mathbf {A} :\mathbf {B} ^{\top }}$

${\displaystyle \mathbf {A} :(\mathbf {B\cdot C} )=(\mathbf {B} ^{\top }\cdot \mathbf {A} ):\mathbf {C} =(\mathbf {A\cdot C} ^{\top }):\mathbf {B} }$

${\displaystyle (\mathbf {A\cdot B} ):\mathbf {C} =\mathbf {B} :(\mathbf {A} ^{\top }\cdot \mathbf {C} )=\mathbf {A} :(\mathbf {C\cdot B} ^{\top })}$

${\displaystyle ({\vec {u}}\otimes {\vec {v}}):\mathbf {A} ={\vec {u}}\cdot \mathbf {A} \cdot {\vec {v}}}$

Kreuzprodukt eines Vektors mit einem Tensor[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Abbildung ${\displaystyle \mathbb {V} \times {\mathcal {L}}\to {\mathcal {L}}}$ oder ${\displaystyle {\mathcal {L}}\times \mathbb {V} \to {\mathcal {L}}}$

Dyaden:

${\displaystyle {\vec {a}}\times ({\vec {b}}\otimes {\vec {g}})=({\vec {a}}\times {\vec {b}})\otimes {\vec {g}}={\vec {a}}\times {\vec {b}}\otimes {\vec {g}}}$

${\displaystyle ({\vec {a}}\otimes {\vec {g}})\times {\vec {h}}={\vec {a}}\otimes ({\vec {g}}\times {\vec {h}})={\vec {a}}\otimes {\vec {g}}\times {\vec {h}}}$

${\displaystyle {\vec {a}}\times {\vec {b}}\otimes {\vec {g}}=-[({\vec {b}}\otimes {\vec {g}})^{\top }\times {\vec {a}}]^{\top }}$

${\displaystyle {\vec {a}}\otimes {\vec {g}}\times {\vec {h}}=-[{\vec {h}}\times ({\vec {a}}\otimes {\vec {g}})^{\top }]^{\top }}$

${\displaystyle a_{j}{\hat {e}}_{j}\times (A_{kl}{\hat {e}}_{k}\otimes {\hat {e}}_{l})=a_{j}A_{kl}({\hat {e}}_{j}\times {\hat {e}}_{k})\otimes {\hat {e}}_{l}=\epsilon _{ijk}a_{j}A_{kl}{\hat {e}}_{i}\otimes {\hat {e}}_{l}}$

${\displaystyle (A_{ij}{\hat {e}}_{i}\otimes {\hat {e}}_{j})\times a_{k}{\hat {e}}_{k}=A_{ij}a_{k}{\hat {e}}_{i}\otimes ({\hat {e}}_{j}\times {\hat {e}}_{k})=\epsilon _{jkl}A_{ij}a_{k}{\hat {e}}_{i}\otimes {\hat {e}}_{l}}$

Allgemeine Tensoren:

${\displaystyle ({\vec {a}}\times \mathbf {A} )\cdot {\vec {g}}:={\vec {a}}\times (\mathbf {A} \cdot {\vec {g}})={\vec {a}}\times ({\vec {g}}\cdot \mathbf {A} ^{\top })}$

${\displaystyle {\vec {b}}\cdot ({\vec {a}}\times \mathbf {A} ):=({\vec {b}}\times {\vec {a}})\cdot \mathbf {A} }$

${\displaystyle {\vec {g}}\cdot (\mathbf {A} \times {\vec {a}}):=({\vec {g}}\cdot \mathbf {A} )\times {\vec {a}}=(\mathbf {A} ^{\top }\cdot {\vec {g}})\times {\vec {a}}}$

${\displaystyle (\mathbf {A} \times {\vec {a}})\cdot {\vec {b}}=\mathbf {A} \cdot ({\vec {a}}\times {\vec {b}})}$

${\displaystyle {\vec {a}}\times \mathbf {A} =-\left(\mathbf {A} ^{\top }\times {\vec {a}}\right)^{\top }}$

${\displaystyle \mathbf {A} \times {\vec {a}}=-\left({\vec {a}}\times \mathbf {A} ^{\top }\right)^{\top }}$

Symmetrische Tensoren: ${\displaystyle {\vec {a}}\times \mathbf {A} ^{\mathrm {S} }=-\left(\mathbf {A} ^{\mathrm {S} }\times {\vec {a}}\right)^{\top }}$

Insbesondere Kugeltensoren: ${\displaystyle {\vec {a}}\times \mathbf {A} ^{\mathrm {K} }=\mathbf {A} ^{\mathrm {K} }\times {\vec {a}}=-({\vec {a}}\times \mathbf {A} ^{\mathrm {K} })^{\top }}$

Schiefsymmetrische Tensoren: ${\displaystyle {\vec {a}}\times \mathbf {A} ^{\mathrm {A} }=\left(\mathbf {A} ^{\mathrm {A} }\times {\vec {a}}\right)^{\top }}$

#Axialer Tensor oder Kreuzproduktmatrix mit dem #Einheitstensor:

${\displaystyle ({\vec {a}}\times \mathbf {1} )\cdot {\vec {g}}={\vec {a}}\cdot ({\vec {g}}\times \mathbf {1} )={\vec {a}}\cdot (\mathbf {1} \times {\vec {g}})={\vec {a}}\times {\vec {g}}}$

Mehrfach:

${\displaystyle ({\vec {a}}\times ({\vec {b}}\times \mathbf {A} ))\cdot {\vec {g}}={\vec {a}}\times ({\vec {b}}\times (\mathbf {A} \cdot {\vec {g}}))=({\vec {a}}\cdot \mathbf {A} \cdot {\vec {g}}){\vec {b}}-({\vec {a}}\cdot {\vec {b}})\mathbf {A} \cdot {\vec {g}}}$

${\displaystyle {\vec {a}}\times ({\vec {b}}\times \mathbf {A} )={\vec {b}}\otimes {\vec {a}}\cdot \mathbf {A} -({\vec {a}}\cdot {\vec {b}})\mathbf {A} }$

Meistens ist aber:

${\displaystyle (\mathbf {A} \cdot {\vec {a}})\times {\vec {g}}\neq \mathbf {A} \cdot ({\vec {a}}\times {\vec {g}})=(\mathbf {A} \times {\vec {a}})\cdot {\vec {g}}}$

${\displaystyle {\vec {a}}\times ({\vec {g}}\cdot \mathbf {A} )\neq ({\vec {a}}\times {\vec {g}})\cdot \mathbf {A} ={\vec {a}}\cdot ({\vec {g}}\times \mathbf {A} )}$

Kreuzprodukt von Tensoren[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Abbildung ${\displaystyle {\mathcal {L}}\times {\mathcal {L}}\to \mathbb {V} }$

${\displaystyle \mathbf {A\times B} ={\stackrel {3}{\mathbf {E} }}:(\mathbf {A\cdot B} ^{\top })=-{\stackrel {3}{\mathbf {E} }}:(\mathbf {B\cdot A} ^{\top })=-\mathbf {B\times A} \in \mathbb {V} }$

mit #Fundamentaltensor 3. Stufe ${\displaystyle {\stackrel {3}{\mathbf {E} }}}$.

${\displaystyle ({\vec {a}}\otimes {\vec {g}})\times ({\vec {b}}\otimes {\vec {h}})=({\vec {g}}\cdot {\vec {h}}){\vec {a}}\times {\vec {b}}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}&A_{ik}({\hat {e}}_{i}\otimes {\hat {e}}_{k})\times [B_{jl}({\hat {e}}_{j}\otimes {\hat {e}}_{l})]=A_{ik}B_{jk}({\hat {e}}_{i}\times {\hat {e}}_{j})=\ldots \\&\ldots ={\begin{pmatrix}A_{21}B_{31}-A_{31}B_{21}+A_{22}B_{32}-A_{32}B_{22}+A_{23}B_{33}-A_{33}B_{23}\\A_{31}B_{11}-A_{11}B_{31}+A_{32}B_{12}-A_{12}B_{32}+A_{33}B_{13}-A_{13}B_{33}\\A_{11}B_{21}-A_{21}B_{11}+A_{12}B_{22}-A_{22}B_{12}+A_{13}B_{23}-A_{23}B_{13}\end{pmatrix}}\end{aligned}}}$

Zusammenhang mit #Dualer axialer Vektor und #Vektorinvariante:

${\displaystyle \mathbf {A\times B} =-2{\stackrel {A}{\overrightarrow {\mathbf {A\cdot B} ^{\top }}}}={\vec {\mathrm {i} }}(\mathbf {A\cdot B} ^{\top })}$

Mit #Einheitstensor:

${\displaystyle \mathbf {1\times A} =2{\stackrel {A}{\overrightarrow {\mathbf {A} }}}=-{\vec {\mathrm {i} }}(\mathbf {A} )}$

Mehrfachprodukte:

${\displaystyle (\mathbf {A\cdot B} )\times \mathbf {C} =\mathbf {A} \times (\mathbf {C\cdot B} ^{\top })}$

${\displaystyle \mathbf {A} \times (\mathbf {B\cdot C} )=(\mathbf {A\cdot C} ^{\top })\times \mathbf {B} }$

Zusammenhang mit dem #Skalarkreuzprodukt von Tensoren:

${\displaystyle \mathbf {A\times B} =\mathbf {A} \cdot \!\!\times (\mathbf {B} ^{\top })}$

Skalarkreuzprodukt von Tensoren[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Abbildung ${\displaystyle {\mathcal {L}}\times {\mathcal {L}}\to \mathbb {V} }$

${\displaystyle ({\vec {a}}\otimes {\vec {g}})\cdot \!\!\times ({\vec {h}}\otimes {\vec {u}})=-({\vec {u}}\otimes {\vec {h}})\cdot \!\!\times ({\vec {g}}\otimes {\vec {a}}):=({\vec {g}}\cdot {\vec {h}}){\vec {a}}\times {\vec {u}}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}&A_{ik}({\hat {e}}_{i}\otimes {\hat {e}}_{k})\cdot \!\!\times [B_{lj}({\hat {e}}_{l}\otimes {\hat {e}}_{j})]=A_{ik}B_{kj}({\hat {e}}_{i}\times {\hat {e}}_{j})=\ldots \\&\ldots ={\begin{pmatrix}A_{21}B_{13}-A_{31}B_{12}+A_{22}B_{23}-A_{32}B_{22}+A_{23}B_{33}-A_{33}B_{32}\\A_{31}B_{11}-A_{11}B_{13}+A_{32}B_{21}-A_{12}B_{23}+A_{33}B_{31}-A_{13}B_{33}\\A_{11}B_{12}-A_{21}B_{11}+A_{12}B_{22}-A_{22}B_{21}+A_{13}B_{32}-A_{23}B_{31}\end{pmatrix}}\end{aligned}}}$

Das Skalarkreuzprodukt mit dem #Einheitstensor vertauscht das dyadische Produkt durch das Kreuzprodukt:

${\displaystyle \mathbf {1} \cdot \!\!\times ({\vec {a}}\otimes {\vec {b}})={\vec {a}}\times {\vec {b}}}$

Allgemein:

${\displaystyle \mathbf {A} \cdot \!\!\times \mathbf {B} =-(\mathbf {B} ^{\top })\cdot \!\!\times (\mathbf {A} ^{\top })}$

${\displaystyle \mathbf {A} \cdot \!\!\times (\mathbf {B\cdot C} )=(\mathbf {A\cdot B} )\cdot \!\!\times \mathbf {C} }$

${\displaystyle (\mathbf {A\cdot B} )\cdot \!\!\times \mathbf {C} =\mathbf {A} \cdot \!\!\times (\mathbf {B\cdot C} )}$

Zusammenhang mit dem #Kreuzprodukt von Tensoren:

${\displaystyle \mathbf {S} \cdot \!\!\times \mathbf {T} =\mathbf {S\times (T^{\top })} }$

Zusammenhang mit #Vektorinvariante und #Dualer axialer Vektor:

${\displaystyle \mathbf {A} \cdot \!\!\times \mathbf {B} ={\vec {\mathrm {i} }}(\mathbf {A} \cdot \mathbf {B} )=-2{\stackrel {A}{\overrightarrow {\mathbf {A} \cdot \mathbf {B} }}}}$

Doppeltes Kreuzprodukt von Tensoren[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Siehe auch #Äußeres Tensorprodukt #

Abbildung ${\displaystyle {\mathcal {L}}\times {\mathcal {L}}\to {\mathcal {L}}}$

${\displaystyle ({\vec {a}}\otimes {\vec {g}})\times \!\!\times ({\vec {h}}\otimes {\vec {b}}):=({\vec {g}}\times {\vec {h}})\otimes ({\vec {a}}\times {\vec {b}})=({\vec {g}}\otimes {\vec {a}})\#({\vec {h}}\otimes {\vec {b}})}$

${\displaystyle A_{ij}({\hat {e}}_{i}\otimes {\hat {e}}_{j})\times \!\!\times [B_{kl}({\hat {e}}_{k}\otimes {\hat {e}}_{l})]:=A_{ij}B_{kl}({\hat {e}}_{j}\times {\hat {e}}_{k})\otimes ({\hat {e}}_{i}\times {\hat {e}}_{l})}$

${\displaystyle \mathbf {A} \times \!\!\times \mathbf {B} =\mathbf {A} ^{\top }\#\mathbf {B} }$

Äußeres Tensorprodukt[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Abbildung ${\displaystyle {\mathcal {L}}\times {\mathcal {L}}\to {\mathcal {L}}}$

${\displaystyle ({\vec {a}}\otimes {\vec {g}})\#({\vec {b}}\otimes {\vec {h}}):=({\vec {a}}\times {\vec {b}})\otimes ({\vec {g}}\times {\vec {h}})=({\vec {g}}\otimes {\vec {a}})\times \!\!\times ({\vec {b}}\otimes {\vec {h}})}$

${\displaystyle {\begin{aligned}&(A_{ij}{\hat {e}}_{i}\otimes {\hat {e}}_{j})\#(B_{kl}{\hat {e}}_{k}\otimes {\hat {e}}_{l})=A_{ij}B_{kl}({\hat {e}}_{i}\times {\hat {e}}_{k})\otimes ({\hat {e}}_{j}\times {\hat {e}}_{l})\\&\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \quad \;\;\;=\epsilon _{ikm}\epsilon _{jln}A_{ij}B_{kl}{\hat {e}}_{m}\otimes {\hat {e}}_{n}\end{aligned}}}$

Mit der Formel für das Produkt zweier #Permutationssymbole:

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {A} \#\mathbf {B} =&[\mathrm {Sp} (\mathbf {A} )\mathrm {Sp} (\mathbf {B} )-\mathrm {Sp} (\mathbf {A\cdot B} )]\mathbf {1} \\&+[\mathbf {A\cdot B} +\mathbf {B\cdot A} -\mathrm {Sp} (\mathbf {A} )\mathbf {B} -\mathrm {Sp} (\mathbf {B} )\mathbf {A} ]^{\top }\end{aligned}}}$

Grundlegende Eigenschaften:

${\displaystyle \mathbf {A} \#\mathbf {B} =\mathbf {B} \#\mathbf {A} =(\mathbf {A} ^{\top }\#\mathbf {B} ^{\top })^{\top }}$

${\displaystyle (\mathbf {A+B} )\#\mathbf {C} =\mathbf {A} \#\mathbf {C} +\mathbf {B} \#\mathbf {C} }$

${\displaystyle \mathbf {A} \#(\mathbf {B+C} )=\mathbf {A} \#\mathbf {B} +\mathbf {A} \#\mathbf {C} }$

Kreuzprodukt und #Kofaktor:

${\displaystyle (\mathbf{A}\mathrm{\#<!--\; \#\; -->}\mathbf{B})\cdot <!--\; \cdot \; -->(\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{u}\times <!--\; \times \; -->\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{v})=(\mathbf{A}\cdot <!--\; \cdot \; -->\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{u})\times <!--\; \times \; -->(\mathbf{B}\cdot <!--\; \cdot \; -->\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{v}}$