Dirac-Verteilung

Die Dirac-Verteilung oder Einpunktverteilung^[1][2][3], manchmal auch Punktverteilung^[4], ausgeartete Verteilung^[1], entartete Verteilung^[1], uneigentliche Verteilung^[1], deterministische Verteilung, Einheitsmasse^[5] oder degenerierte Verteilung genannt, ist eine spezielle Wahrscheinlichkeitsverteilung in der Stochastik. Sie zählt zu den diskreten Wahrscheinlichkeitsverteilungen. Der Name Dirac-Verteilung folgt daher, dass sie aus dem Diracmaß abgeleitet wird. Sie ist meist nur von theoretischer Bedeutung und spielt eine wichtige Rolle in der Klassifikation der unendlich teilbaren Verteilungen.

Definition[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Eine reelle Zufallsvariable ${\displaystyle X}$ heißt Dirac-verteilt zum Punkt ${\displaystyle b}$, in Symbolen ${\displaystyle X\sim \delta _{b}}$, wenn sie die Verteilungsfunktion

${\displaystyle F_{X}(t)={\begin{cases}0&{\text{ falls }}t<b\\1&{\text{ falls }}b\leq t\end{cases}}}$

besitzt. Die Verteilung von ${\displaystyle X}$ ist also genau das Diracmaß im Punkt ${\displaystyle b}$, das heißt für alle messbaren Mengen ${\displaystyle A\subset \mathbb {R} }$ gilt

${\displaystyle P(X\in A)={\begin{cases}1&{\text{ falls }}b\in A,\\0&{\text{ sonst.}}\end{cases}}}$

Die Zufallsvariable ${\displaystyle X}$ nimmt insbesondere fast sicher den Wert ${\displaystyle b}$ an, es gilt also ${\displaystyle P(X=b)=1}$, worauf der Name deterministische Verteilung zurückzuführen ist.

Eigenschaften[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Lagemaße[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Erwartungswert, Modus und Median fallen alle zusammen und sind gleich dem Punkt ${\displaystyle b}$

Streumaße[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Varianz, Standardabweichung und Variationskoeffizient fallen zusammen und sind alle gleich ${\displaystyle 0}$

Symmetrie[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Die Dirac-Verteilung ist symmetrisch um ${\displaystyle b}$.

Höhere Momente[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Die Momente sind gegeben durch

${\displaystyle m_{k}=b^{k}}$

Entropie[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Die Entropie der Dirac-Verteilung ist 0.

Kumulanten[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Die kumulantenerzeugende Funktion ist

${\displaystyle g_{X}(t)=bt}$.

Damit ist ${\displaystyle \kappa _{1}=b}$ und alle weiteren Kumulanten sind gleich 0.

Charakteristische Funktion[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Die charakteristische Funktion ist

${\displaystyle \varphi _{X}(t)=e^{ibt}\,}$

Momenterzeugende Funktion[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Die momenterzeugende Funktion ist

${\displaystyle M_{X}(t)=e^{bt}\,}$

Reproduktivität, α-Stabilität und unendliche Teilbarkeit[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Die Klasse der Dirac-Verteilungen ist reproduktiv, da die Summe Dirac-verteilter Zufallsvariablen wieder Dirac-verteilt ist, da für die Faltung

${\displaystyle \delta _{x}*\delta _{y}=\delta _{x+y}}$

gilt. Des Weiteren sind Dirac-Verteilungen α-stabile Verteilungen mit ${\displaystyle \alpha =1}$. Teilweise werden aber Dirac-Verteilungen explizit von der Definition der α-Stabilität ausgeschlossen. Außerdem sind Dirac-Verteilungen unendlich teilbar, da ${\displaystyle \delta _{b/n}^{*n}=\delta _{b}}$ gilt.

Beziehung zu anderen Verteilungen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Die Dirac-Verteilung tritt meist als degenerierter Fall bei schlechter Parameterwahl von anderen Verteilungen auf. Beispielsweise sind die Bernoulli-Verteilung, die Zweipunktverteilung und die Binomialverteilung alles Dirac-Verteilungen, wenn man ${\displaystyle p=0}$ wählt. Des Weiteren ist auch die diskrete Gleichverteilung auf einem Punkt eine Dirac-Verteilung.

Beziehung zur Delta-Distribution[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Insbesondere in der Physik und Technik werden verallgemeinerte Funktionen im Sinn von Distributionen verwendet, die als mathematische Objekte weder Funktionen noch Wahrscheinlichkeitsverteilungen sind. Die Delta-Distribution (oder Dirac-Funktion) auf den reellen Zahlen ist das Objekt ${\displaystyle \delta }$ mit der Eigenschaft

${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }f(x)\delta (x-b)\mathrm {d} x=f(b)}$

für eine große Klasse von Funktionen ${\displaystyle f}$. Für eine Zufallsvariable ${\displaystyle X}$ mit einer Dirac-Verteilung an der Stelle ${\displaystyle b\in \mathbb {R} }$ können die Wahrscheinlichkeiten für ein Ereignis ${\displaystyle A}$ mit Hilfe der Delta-Distribution formal als

${\displaystyle P(X\in A)=\mathbf {1} _{A}(b)={\begin{cases}1&{\text{für }}b\in A\\0&{\text{sonst}}\end{cases}}=\int _{-\infty }^{\infty }\mathbf {1} _{A}(x)\delta (x-b)\mathrm {d} x}$

geschrieben werden. Damit verhält sich ${\displaystyle \delta (x-b)}$ formal wie eine Dichtefunktion, obwohl die Dirac-Verteilung keine Dichtefunktion bezüglich des Lebesgue-Maßes besitzt.

Literatur[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

• Achim Klenke: Wahrscheinlichkeitstheorie. 3. Auflage. Springer-Verlag, Berlin Heidelberg 2013, ISBN 978-3-642-36017-6, doi:10.1007/978-3-642-36018-3. 
• Hans-Otto Georgii: Stochastik. Einführung in die Wahrscheinlichkeitstheorie und Statistik. 4. Auflage. Walter de Gruyter, Berlin 2009, ISBN 978-3-11-021526-7, doi:10.1515/9783110215274. 

Einzelnachweise[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

1. ↑ ^{a b c d} P. H. Müller (Hrsg.): Lexikon der Stochastik – Wahrscheinlichkeitsrechnung und mathematische Statistik. 5. Auflage. Akademie-Verlag, Berlin 1991, ISBN 978-3-05-500608-1, Einpunktverteilung, S. 81. 
2. ↑ Horst Rinne: Taschenbuch der Statistik. 4. Auflage. Harri Deutsch, Frankfurt am Main 2008, ISBN 978-3-8171-1827-4, 3.12.1 Einpunkt-Verteilung, S. 369. 
3. ↑ Hermann Witting, Ulrich Müller-Funk: Mathematische Statistik II. Asymptotische Statistik: Parametrische Modelle und nichtparametrische Funktionale. Teubner, Stuttgart 1995, ISBN 978-3-322-90153-8, S. 46. 
4. ↑ Achim Klenke: Wahrscheinlichkeitstheorie. 4., überarbeitete und ergänzte Auflage. Springer, Berlin 2020, ISBN 978-3-662-62088-5, S. 369, doi:10.1007/978-3-662-62089-2. 
5. ↑ Georgii: Stochastik. 2009, S. 14.