σ-Endlichkeit

Der Begriff der ${\displaystyle \sigma }$-Endlichkeit (auch ${\displaystyle \sigma }$-Finitheit) wird in der mathematischen Maßtheorie verwendet und liefert eine Abstufung von (messbaren) Mengen von unendlichem Maß in ${\displaystyle \sigma }$-endliche und nicht ${\displaystyle \sigma }$-endliche Mengen. Er wird aus ähnlichen Gründen eingeführt wie der Begriff der Abzählbarkeit bezüglich der Anzahl von Elementen einer Menge. Allgemein ist die ${\displaystyle \sigma }$-Endlichkeit eine Eigenschaft von Mengenfunktionen in Verbindung mit einem Mengensystem. Oftmals wird aber auf die Angabe des Mengensystems verzichtet, wenn klar ist, um welches es sich handelt.

Definition für Maße[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Gegeben sei ein Messraum ${\displaystyle (X,{\mathcal {A}})}$. Dann heißt ein Maß ${\displaystyle \mu }$ ein ${\displaystyle \sigma }$-endliches Maß, wenn es eine der drei folgenden äquivalenten Bedingungen erfüllt:

1. Es existieren abzählbar viele Mengen ${\displaystyle A_{1},A_{2},A_{3},\dots }$ aus ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$, die außerdem ${\displaystyle \mu (A_{n})<\infty }$ für alle ${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$ erfüllen und die ${\displaystyle X}$ überdecken. Es gilt also

   ${\displaystyle \bigcup _{n\in \mathbb {N} }A_{n}=X}$.

2. Es existieren abzählbar viele disjunkte Mengen ${\displaystyle A_{1},A_{2},A_{3},\dots }$ aus ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$, die außerdem ${\displaystyle \mu (A_{n})<\infty }$ für alle ${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$ erfüllen und die ${\displaystyle X}$ überdecken. Es gilt also

   ${\displaystyle \bigcup _{n\in \mathbb {N} }A_{n}=X}$.

3. Es existiert eine strikt positive (d. h. ${\displaystyle f(x)>0}$ für alle ${\displaystyle x\in X}$) messbare Funktion ${\displaystyle f}$, so dass

   ${\displaystyle \int f(x)\mu (\mathrm {d} x)<\infty }$.

Der Maßraum ${\displaystyle (X,{\mathcal {A}},\mu )}$ wird dann auch als ${\displaystyle \sigma }$-endlicher Maßraum bezeichnet. Allgemeiner wird ein signiertes Maß ${\displaystyle \sigma }$-endlich genannt, wenn seine Variation ${\displaystyle \sigma }$-endlich ist.

Beispiele[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Das Lebesgue-Maß ${\displaystyle \lambda }$ auf den reellen Zahlen, versehen mit der Borelschen σ-Algebra, ist nicht endlich, aber ${\displaystyle \sigma }$-endlich. Denn betrachtet man die Mengen

${\displaystyle I_{n}:=(-n,n)\in {\mathcal {B}}(\mathbb {R} )}$,

so ist ${\displaystyle \lambda (I_{n})=2n<\infty }$ und

${\displaystyle \bigcup _{n=1}^{\infty }I_{n}=\mathbb {R} }$.

Somit erfüllt das Lebesgue-Maß das erste Kriterium in der obigen Konstruktion. Eine disjunkte Überdeckung mit Mengen endlichen Maßes wie im zweiten Punkt der Definition liefern beispielsweise die Mengen

${\displaystyle B_{n}=I_{n}\setminus I_{n-1}}$,

wobei ${\displaystyle B_{1}=I_{1}}$ ist. Dann ist ${\displaystyle \lambda (B_{n})=2}$ und es gilt wieder

${\displaystyle \bigcup _{n=1}^{\infty }B_{n}=\mathbb {R} }$.

Eine strikt positive Funktion mit endlichem Integral wie im dritten Punkt der Definition gefordert erhält man beispielsweise durch

${\displaystyle f(x)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\mathbf {1} _{B_{n}}(x)}{2^{n}}}}$.

Hierbei ist ${\displaystyle \mathbf {1} _{A}}$ die Indikatorfunktion auf der Menge ${\displaystyle A}$.

Zu beachten ist, dass ${\displaystyle \sigma }$-Endlichkeit immer eine Eigenschaft eines Maßes in Kombination mit einem Messraum ist. So ist das Zählmaß auf einer Menge ${\displaystyle M}$, versehen mit der Potenzmenge als ${\displaystyle \sigma }$-Algebra endlich, wenn ${\displaystyle M}$ endlich ist und genau dann ${\displaystyle \sigma }$-endlich, wenn ${\displaystyle M}$ höchstens abzählbar ist.

Anwendung[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

• Nicht endliche Maße können pathologische Eigenschaften aufweisen, jedoch sind viele der häufig betrachteten Maße nicht endlich. Die Klasse der ${\displaystyle \sigma }$-endlichen Maße teilt mit den endlichen Maßen einige angenehme Eigenschaften, ${\displaystyle \sigma }$-Endlichkeit kann in dieser Hinsicht mit der Separabilität von topologischen Räumen verglichen werden. Einige Sätze der Analysis, wie der Satz von Radon-Nikodým und der Satz von Fubini, gelten zum Beispiel nicht mehr für nicht ${\displaystyle \sigma }$-endliche Maße (mitunter ist jedoch eine Übertragung auf allgemeinere Fälle möglich, indem man den Satz für alle ${\displaystyle \sigma }$-endlichen Teilräume anwendet).
• Das Birkhoff-Integral für Banachraum-wertige Funktionen wird mit Hilfe von ${\displaystyle \sigma }$-endlichen Maßen definiert.

Äquivalenz zu Wahrscheinlichkeitsmaßen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Zwei Maße ${\displaystyle \mu }$ und ${\displaystyle \nu }$ auf einem gemeinsamen Messraum ${\displaystyle (X,{\mathcal {A}})}$ heißen äquivalent, wenn sie dieselben Nullmengen besitzen. Das heißt, es gilt sowohl ${\displaystyle \mu \ll \nu }$ als auch ${\displaystyle \nu \ll \mu }$, sie sind gegenseitig absolut stetig. Hierdurch ist tatsächlich eine Äquivalenzrelation auf Maßen erklärt. Wir nehmen im Weiteren an, ${\displaystyle \mu \not \equiv 0}$ sei nicht das Nullmaß.

Viele der Anwendungen ${\displaystyle \sigma }$-endlicher Maße ergeben sich nun aus dem folgenden Satz:

Jedes ${\displaystyle \sigma }$-endliche Maß ${\displaystyle \mu }$ ist äquivalent zu einem Wahrscheinlichkeitsmaß ${\displaystyle P}$.

Die Bedeutung des Satzes liegt in der Äquivalenz zu einem endlichen Maß, selbst dann, wenn ${\displaystyle \mu (X)=\infty }$ unendlich ist. Insbesondere gibt es stets eine ${\displaystyle \mu }$-integrierbare Funktion ${\displaystyle w\in L^{1}(\mu )}$, so dass ${\displaystyle 0<w(x)<1}$ für alle ${\displaystyle x\in X}$ gilt.

Definition für Mengenfunktionen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Definition[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Gegeben sei ein Mengensystem ${\displaystyle {\mathcal {M}}}$ auf der Grundmenge ${\displaystyle X}$, also ${\displaystyle {\mathcal {M}}\subset {\mathcal {P}}(X)}$. Sei

${\displaystyle \mu :{\mathcal {M}}\to [0,\infty ]}$

eine positive Mengenfunktion. Dann heißt die Mengenfunktion ${\displaystyle \sigma }$-endlich, wenn es eine abzählbare Folge ${\displaystyle (A_{n})_{n\in \mathbb {N} }}$ von Mengen aus ${\displaystyle {\mathcal {M}}}$ gibt, so dass

${\displaystyle \bigcup _{n=1}^{\infty }A_{n}=X}$

gilt und

${\displaystyle \mu (A_{n})<\infty {\text{ für alle }}n\in \mathbb {N} }$

gilt. Insbesondere muss die Menge ${\displaystyle X}$ aber nicht im Mengensystem ${\displaystyle {\mathcal {M}}}$ enthalten sein.

Bemerkung[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Mit der obigen Definition lässt sich die ${\displaystyle \sigma }$-Endlichkeit auf allgemeinere Mengenfunktionen ausweiten. Eine der wichtigsten Anwendungen dieses Begriffes ist der Maßerweiterungssatz von Carathéodory, nach dem jedes ${\displaystyle \sigma }$-endliche Prämaß auf einem Halbring eindeutig zu einem Maß auf der erzeugten ${\displaystyle \sigma }$-Algebra fortsetzbar ist. Ohne die ${\displaystyle \sigma }$-Endlichkeit folgt hier nicht die Eindeutigkeit.

Verwandte Begriffe[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Ein dem ${\displaystyle \sigma }$-endlichen Maß verwandter Begriff ist der eines moderaten Maßes. Hierbei handelt es sich um ein Borel-Maß, für das eine abzählbare Überdeckung der Grundmenge mit offenen Mengen endlichen Maßes existiert.

Zudem existiert ein Begriff der s-Finitheit. Man nennt ein Maß ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle s}$-finit, falls es die abzählbare Summe von endlichen Maßen ist. Jedes ${\displaystyle \sigma }$-endliche Maß ist immer ${\displaystyle s}$-finit, aber nicht jedes ${\displaystyle s}$-finite Maß ist ${\displaystyle \sigma }$-endlich.

Literatur[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

• Jürgen Elstrodt: Maß- und Integrationstheorie. 6., korrigierte Auflage. Springer-Verlag, Berlin Heidelberg 2009, ISBN 978-3-540-89727-9, doi:10.1007/978-3-540-89728-6. 
• Achim Klenke: Wahrscheinlichkeitstheorie. 3. Auflage. Springer-Verlag, Berlin Heidelberg 2013, ISBN 978-3-642-36017-6, doi:10.1007/978-3-642-36018-3. 
• Walter Rudin: Real and Complex Analysis. 3. Auflage. McGraw-Hill, New York 1987 (englisch).