Vícerozměrný integrál je a určitý integrál reálné funkce více proměnných na dané množině . Zapisuje se ∫ ⋯ ∫ M f ( x 1 , x 2 , … , x n ) d x 1 ⋯ d x n {\displaystyle \int \cdots \int _{\mathbf {M} }\,f(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})\,dx_{1}\!\cdots dx_{n}} , kde funkce f ( x 1 , x 2 , … , x n ) : R n → R {\displaystyle f(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n}):\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} } se nazývá integrand [1] a M ⊂ R {\displaystyle \mathbf {M} \subset \mathbb {R} } je daná vhodná množina. Tento zápis se často zkracuje na ∫ M f ( x ) d n x . {\displaystyle \int _{\mathbf {M} }\!f(\mathbf {x} )\,d^{n}\mathbf {x} .}
Vícerozměrný integrál je různý pojem od vícenásobný integrál , tedy od postupné integrace po složkách, neboť vícenásobné integrály mohou existovat i pro neintegrovatelné funkce.[pozn. 1]
Vícerozměrný integrál se často vyčísluje pomocí Fubiniovy věty a substituce souřadnic .
Dvojný integrál jako objem pod plochou. Často je nutno udělat součet hodnot nějaké funkce na vícerozměrné množině. Například objem nějakého tělesa, hmotnost tělesa s nekonstantní hustotou, energii nějakého pole. Takovým součtem je právě vícerozměrný integrál.
Pro n > 1 {\displaystyle n>1} mějme funkci f : I = ⟨ a 1 , b 1 ⟩ × ⟨ a 2 , b 2 ⟩ × ⋯ × ⟨ a n , b n ⟩ ⊆ R n → R + {\displaystyle f:\mathbf {I} =\left\langle a_{1},b_{1}\right\rangle \times \left\langle a_{2},b_{2}\right\rangle \times \cdots \times \left\langle a_{n},b_{n}\right\rangle \subseteq \mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{+}} .
Rozdělíme-li každý z intervalů ⟨ a i , b i ⟩ {\displaystyle \left\langle a_{i},b_{i}\right\rangle } na konečnou množinu disjunktních podintervalů ⟨ a i , j , b i , j ⟩ {\displaystyle \left\langle a_{i,j},b_{i,j}\right\rangle } , získáme dělení n-rozměrného intervalu na systém intervalů I j = ⟨ a 1 , j , b 1 , j ⟩ × ⟨ a 2 , j , b 2 , j ⟩ × ⋯ × ⟨ a n , j , b n , j ⟩ {\displaystyle \mathbf {I} _{j}=\left\langle a_{1,j},b_{1,j}\right\rangle \times \left\langle a_{2,j},b_{2,j}\right\rangle \times \cdots \times \left\langle a_{n,j},b_{n,j}\right\rangle } , pro které platí I = I 1 ∪ I 2 ∪ ⋯ ∪ I m {\displaystyle I=I_{1}\cup I_{2}\cup \cdots \cup I_{m}} .
(n+1)-rozměrný objem pod n-rozměrnou plochou (grafem funkce f {\displaystyle f} ) na intervalu I ⊆ R n {\displaystyle I\subseteq \mathbb {R} ^{n}} můžeme aproximovat Riemannovým součtem :
∑ k = 1 m f ( X k ) σ ( I k ) {\displaystyle \sum _{k=1}^{m}f(X_{k})\,\operatorname {\sigma } (I_{k})} , kdeXk jje prvek intervalu Ik and σ(I k ) je míra intervalu Ik (tedy součin délek jednotlivých jednorozměrných intervalů ⟨ a i , b i ⟩ {\displaystyle \left\langle a_{i},b_{i}\right\rangle } ) .
Řekneme, že funkce f je Riemannovsky integrovatelná , jestliže existuje konečná limita přes všechna dělení intervalu I na podintervaly míry maximálně δ :
S = lim δ → 0 ∑ k = 1 m f ( X k ) σ ( C k ) {\displaystyle S=\lim _{\delta \to 0}\sum _{k=1}^{m}f(X_{k})\,\operatorname {\sigma } (C_{k})} .[3]
Jestliže je f is Riemannovsky integrovatelná, tak S se nazývá (vícerozměrný ) Riemannův integral funkce f na intervalu I a píše se
∫ ⋯ ∫ I f ( x 1 , x 2 , … , x n ) d x 1 ⋯ d x n {\displaystyle \int \cdots \int _{I}\,f(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})\,dx_{1}\!\cdots dx_{n}} . Buď funkce f {\displaystyle f} omezená na neprázdné měřitelné množině M ⊆ R 2 {\displaystyle \mathbf {M} \subseteq \mathbb {R} ^{2}} . Řekneme, že funkce f {\displaystyle f} je na množině M {\displaystyle \mathbf {M} } (Riemannovsky ) integrovatelná, je-li funkce M ⋅ χ M {\displaystyle \mathbf {M} \cdot \chi _{\mathbf {M} }} definovaná předpisem ( M ⋅ χ M ) ( x 1 , x 2 , … , x n ) = { f ( x 1 , x 2 , … , x n ) , pro x ∈ M 0 , pro x ∈ R ∖ M {\displaystyle \left(\mathbf {M} \cdot \chi _{\mathbf {M} }\right)\left(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n}\right)={\begin{cases}f\left(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n}\right),&{\mbox{pro }}x\in \mathbf {M} \\0,&{\mbox{pro }}x\in \mathbb {R} \smallsetminus \mathbf {M} \end{cases}}} [pozn. 2]
integrovatelná na nějakém uzavřeném vícerozměrném intervalu J ⊆ R n {\displaystyle \mathbf {J} \subseteq \mathbb {R} ^{n}} takovém, že M ⊆ J {\displaystyle \mathbf {M} \subseteq \mathbf {J} } .
Vícenásobným (Riemannovým) integrálem funkce f {\displaystyle f} na množině M {\displaystyle \mathbf {M} } pak rozumíme číslo ∫ ⋯ ∫ M f ( x 1 , x 2 , … , x n ) d x 1 ⋯ d x n = ∫ ⋯ ∫ J ( M ⋅ χ M ) f ( x 1 , x 2 , … , x n ) d x 1 ⋯ d x n {\displaystyle \int \cdots \int _{\mathbf {M} }\,f\left(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n}\right)\,dx_{1}\!\cdots dx_{n}=\int \cdots \int _{\mathbf {J} }\,\left(\mathbf {M} \cdot \chi _{\mathbf {M} }\right)f\left(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n}\right)\,dx_{1}\!\cdots dx_{n}} .[4] [pozn. 3]
Pro prázdnou množinu definujeme ∫ ⋯ ∫ ∅ f ( x 1 , x 2 , … , x n ) d x 1 ⋯ d x n = 0 {\displaystyle \int \cdots \int _{\emptyset }\,f\left(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n}\right)\,dx_{1}\!\cdots dx_{n}=0} pro každou funkci f : R n → R {\displaystyle f:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} } .[4]
V případě, že M ⊆ R 2 {\displaystyle M\subseteq \mathbb {R} ^{2}} , tak ∬ M f ( x , y ) d x d y {\displaystyle \iint _{M}f(x,y)\,dx\,dy} se nazývá dvojný integrál funkce f na M , dále pro M ⊆ R 3 {\displaystyle M\subseteq \mathbb {R} ^{3}} je ∭ M f ( x , y , z ) d x d y d z {\displaystyle \iiint _{M}f(x,y,z)\,dx\,dy\,dz} trojný integrál funkce f na M .
Většinu vlastností má vícerozměrný integrál stejné jako jednorozměrný určitý integrál . Mezi nimi linearitu , komutativitu .
Důležitou vlastností je, že hodnota vícenásobného integrálu nezávisí na pořadí integrace. Toto je známo jako Fubiniova věta .
Je-li funkce f : R n → R {\displaystyle f:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} } spojitá v uzavřeném intervalu J ⊆ R n {\displaystyle \mathbf {J} \subseteq \mathbb {R} ^{n}} , pak existuje ∬ M f ( x , y ) d x d y {\displaystyle \iint _{M}f(x,y)\,dx\,dy} .[5]
Mezi aplikace vícerozměrného integrálu patří výpočet objemu, hmotnosti a umístění těžiště . Dále například výpočet energie fyzikálního pole .
↑ Příkladem budiž funkce f ( x , y ) = x 2 − y 2 ( x 2 + y 2 ) 2 {\displaystyle f(x,y)={\frac {x^{2}-y^{2}}{(x^{2}+y^{2})^{2}}}} . Její dvojnásobné integrály ∫ x = 0 1 ( ∫ y = 0 1 f ( x , y ) d y ) d x = π 4 \int _{x=0}^{1}\left(\int _{y=0}^{1}f(x,y)\,{\text{d}}y\right)\,{\text{d}}x={\frac {\pi }{4}} a ∫ y = 0 1 ( ∫ x = 0 1 f ( x , y ) d x ) d y = − π 4 \int _{y=0}^{1}\left(\int _{x=0}^{1}f(x,y)\,{\text{d}}x\right)\,{\text{d}}y=-{\frac {\pi }{4}} jsou různé. A tedy tato funkce není integrovatelná.[2] ↑ M ⋅ χ M {\displaystyle \mathbf {M} \cdot \chi _{\mathbf {M} }} je definována v celém R n {\displaystyle \mathbb {R} ^{n}} .[4] ↑ Tato definice nezávisí na volbě intervalu J {\displaystyle \mathbf {J} } takového, že M ⊆ J n {\displaystyle \mathbf {M} \subseteq \mathbf {J} ^{n}} .[4] V tomto článku byl použit překlad textu z článku Multiple integral na anglické Wikipedii.
↑ MATEMATICKÁ ANALÝZA pro FIT [online]. Brno: VUT [cit. 2022-10-11]. S. 145. Dostupné online . ↑ Jan Čepička, Petr Girg, Petr Nečesal, Josef Polák. Herbář funkcí [online]. Ostrava: VŠB TUO, 2011 [cit. 2022-10-11]. Dostupné online . ↑ RUDIN, Walter . Principles of Mathematical Analysis . 3rd. vyd. [s.l.]: McGraw–Hill (Walter Rudin Student Series in Advanced Mathematics). Dostupné online . ISBN 978-0-07-054235-8 . Je zde použita šablona {{Cite book }}
označená jako k „pouze dočasnému použití“. ↑ a b c d VODSTRČIL, Petr; BOUCHALA, JIří. INTEGRÁLNÍ POČET FUNKCÍ VÍCE PROMĚNNÝCH [online]. Vysoká škola báňská – Technická univerzita Ostrava a Západočeská univerzita v Plzni, 13. června 2012 [cit. 2022-11-11]. Kapitola 1.4 Dvojný integrál na měřitelné množině, s. 11. Dostupné online . ↑ VODSTRČIL, Petr; BOUCHALA, JIří. INTEGRÁLNÍ POČET FUNKCÍ VÍCE PROMĚNNÝCH [online]. [cit. 2022-11-11]. Kapitola 1.2 Dvojný integrál na intervalu, s. 5.