Ovaj članak ili neki od njegovih odlomaka nije dovoljno potkrijepljen izvorima (literatura, veb-sajtovi ili drugi izvori).
Ako se pravilno ne potkrijepe pouzdanim izvorima, sporne rečenice i navodi mogli bi biti izbrisani. Pomozite Wikipediji tako što ćete navesti validne izvore putem referenci te nakon toga možete ukloniti ovaj šablon.
Sinus ugla je trigonometrijska funkcija oblika
grafik sinusoide y = a sin ( ω x + ϕ ) . {\displaystyle y=a\sin(\omega x+\phi ).\,} .
Grafik ove funkcije zove se sinusoida . Periodična je sa periodom P = 2 π ω ; {\displaystyle P={\frac {2\pi }{\omega }};} , a njen presjek sa х оsom je u tačkama x = k π − ϕ ω ; {\displaystyle x={\frac {k\pi -\phi }{\omega }};} Ekstremne tačke ( ( k + 1 2 ) π − ϕ ω , ( − 1 ) k a ) . {\displaystyle \left({\frac {(k+{\frac {1}{2}})\pi -\phi }{\omega }},(-1)^{k}a\right).}
'Vrijednosti sinusa za neke uglove' ϕ {\displaystyle \phi \,} 0° 30° 45° 60° 90° sin ϕ {\displaystyle \sin \phi \,} 0 1 2 {\displaystyle {\frac {1}{2}}} 2 2 {\displaystyle {\frac {\sqrt {2}}{2}}} 3 2 {\displaystyle {\frac {\sqrt {3}}{2}}} 1
sinus u pravouglom trouglu Sinus je neparna funkcija sin ( − α ) = − s i n α {\displaystyle \sin(-\alpha )=-sin\alpha } Sinus je periodična funkcija sin ( 2 k π ± α ) = s i n α {\displaystyle \sin(2k\pi \pm \alpha )=sin\alpha } Nula funkcije s i n α = 0 => α = k π {\displaystyle sin\alpha =0=>\alpha =k\pi } Maksimum funkcije s i n α = 1 => α = 2 k π + π 2 {\displaystyle sin\alpha =1=>\alpha =2k\pi +{\frac {\pi }{2}}} Minimum funkcije s i n α = − 1 => α = 2 k π − π 2 {\displaystyle sin\alpha =-1=>\alpha =2k\pi -{\frac {\pi }{2}}} s i n ( α + π 2 ) = cos α {\displaystyle sin(\alpha +{\frac {\pi }{2}})=\cos \alpha } s i n ( α + π ) = − sin α {\displaystyle sin(\alpha +\pi )=-\sin \alpha } : s i n ( α + 2 π ) = sin α {\displaystyle :sin(\alpha +2\pi )=\sin \alpha } sin ( α ± β ) = sin α cos β ± cos α sin β {\displaystyle \sin(\alpha \pm \beta )=\sin \alpha \cos \beta \pm \cos \alpha \sin \beta \!} s i n 2 α = 2 sin α cos α = 2 tan α 1 + tan 2 α {\displaystyle sin2\alpha =2\sin \alpha \cos \alpha ={\frac {2\tan \alpha }{1+\tan ^{2}\alpha }}} s i n 3 α = 3 sin α − 4 sin 3 α {\displaystyle sin3\alpha =3\sin \alpha -4\sin ^{3}\alpha } s i n α 2 = ± 1 − cos α 2 {\displaystyle sin{\frac {\alpha }{2}}=\pm \,{\sqrt {\frac {1-\cos \alpha }{2}}}} sin α ± sin β = 2 sin ( α ± β 2 ) cos ( α ∓ β 2 ) {\displaystyle \sin \alpha \pm \sin \beta =2\sin \left({\frac {\alpha \pm \beta }{2}}\right)\cos \left({\frac {\alpha \mp \beta }{2}}\right)}
Ako su w + x + y + z = π = polukrug, {\displaystyle {\text{Ako su }}w+x+y+z=\pi ={\text{polukrug,}}\,} tada vrijedi sin ( w + x ) sin ( x + y ) = sin ( x + y ) sin ( y + z ) = sin ( y + z ) sin ( z + w ) = sin ( z + w ) sin ( w + x ) = sin ( w ) sin ( y ) + sin ( x ) sin ( z ) . {\displaystyle {\begin{aligned}{\text{tada vrijedi }}&\sin(w+x)\sin(x+y)\\&{}=\sin(x+y)\sin(y+z)\\&{}=\sin(y+z)\sin(z+w)\\&{}=\sin(z+w)\sin(w+x)=\sin(w)\sin(y)+\sin(x)\sin(z).\end{aligned}}} sin ( x ) = e i x − e − i x 2 i {\displaystyle \sin(x)={\frac {e^{ix}-e^{-ix}}{2i}}} ( i 2 = − 1 {\displaystyle i^{2}=-1} ) sin x = x ∏ n = 1 ∞ ( 1 − x 2 π 2 n 2 ) {\displaystyle \sin x=x\prod _{n=1}^{\infty }\left(1-{\frac {x^{2}}{\pi ^{2}n^{2}}}\right)} | sin x | = 1 2 ∏ n = 0 ∞ | tan ( 2 n x ) | 2 n + 1 {\displaystyle |\sin x|={\frac {1}{2}}\prod _{n=0}^{\infty }{\sqrt[{2^{n+1}}]{\left|\tan \left(2^{n}x\right)\right|}}} Zlatni rez sin ( π 10 ) = sin 18 ∘ = 5 − 1 4 = φ − 1 2 = 1 2 φ {\displaystyle \sin \left({\frac {\pi }{10}}\right)=\sin 18^{\circ }={{\sqrt {5}}-1 \over 4}={\varphi -1 \over 2}={1 \over 2\varphi }} lim x → 0 sin x x = 1 , {\displaystyle \lim _{x\rightarrow 0}{\frac {\sin x}{x}}=1,} Izvod ( s i n x ) ′ = cos x {\displaystyle (sinx)'=\cos x} Integral
∫ d u a 2 − u 2 = sin − 1 ( u a ) + C {\displaystyle \int {\frac {du}{\sqrt {a^{2}-u^{2}}}}=\sin ^{-1}\left({\frac {u}{a}}\right)+C} arkussinus Inverzna funkcija funkcije sin θ = e i θ − e − i θ 2 i {\displaystyle \sin \theta ={\frac {e^{i\theta }-e^{-i\theta }}{2i}}\,} je
e i θ − e − i θ = ( cos θ + i sin θ ) − ( cos θ − i sin θ ) = 2 i ⋅ sin θ ⇒ sin θ = e i θ − e − i θ 2 i {\displaystyle \mathrm {e} ^{\mathrm {i} \theta }-\mathrm {e} ^{-\mathrm {i} \theta }=(\cos \theta +\mathrm {i} \sin \theta )-(\cos \theta -\mathrm {i} \sin \theta )=2\mathrm {i} \cdot \sin \theta \Rightarrow \sin \theta ={\mathrm {e} ^{\mathrm {i} \theta }-\mathrm {e} ^{-\mathrm {i} \theta } \over 2\mathrm {i} }} arcsin x = − i ln ( i x + 1 − x 2 ) {\displaystyle \arcsin x=-i\ln \left(ix+{\sqrt {1-x^{2}}}\right)\,} arcsin α {\displaystyle \arcsin \alpha } (Arkus sinus) je funkcija inverzna funkciji sin α {\displaystyle \sin \alpha } na njenom intervalu [ − π 2 , π 2 ] {\displaystyle [-{\frac {\pi }{2}},{\frac {\pi }{2}}]} Koristi se za određivanje veličine ugla , kada je poznata vrijednost njegovog sinusa.
arcsin − x = π 2 − arccos x {\displaystyle \arcsin {-x}={\frac {\pi }{2}}-\arccos {x}} (pravilo komplementarnih uglova) arcsin − x = − arcsin x {\displaystyle \arcsin {-x}=-\arcsin {x}} (neparnost funkcije) arcsin 1 x = a r c c o s e c x {\displaystyle \arcsin {\frac {1}{x}}=arccosec{x}} arcsin x = 2 a r c t g x 1 + 1 − x 2 {\displaystyle \arcsin x=2arctg{\frac {x}{1+{\sqrt {1-x^{2}}}}}} ( a r c s i n ) ′ = 1 1 − x 2 ; | x | < 1 {\displaystyle (arcsin)'={\frac {1}{\sqrt {1-x^{2}}}};\qquad |x|<1} arcsin x = ∫ 0 x 1 1 − z 2 d z , | x | ≤ 1 {\displaystyle \arcsin x{}=\int _{0}^{x}{\frac {1}{\sqrt {1-z^{2}}}}\,dz,\qquad |x|\leq 1} arcsin z = z + ( 1 2 ) z 3 3 + ( 1 ⋅ 3 2 ⋅ 4 ) z 5 5 + ( 1 ⋅ 3 ⋅ 5 2 ⋅ 4 ⋅ 6 ) z 7 7 + ⋯ = ∑ n = 0 ∞ ( ( 2 n ) ! 2 2 n ( n ! ) 2 ) z 2 n + 1 ( 2 n + 1 ) ; | z | ≤ 1 {\displaystyle {\begin{aligned}\arcsin z&{}=z+\left({\frac {1}{2}}\right){\frac {z^{3}}{3}}+\left({\frac {1\cdot 3}{2\cdot 4}}\right){\frac {z^{5}}{5}}+\left({\frac {1\cdot 3\cdot 5}{2\cdot 4\cdot 6}}\right){\frac {z^{7}}{7}}+\cdots \\&{}=\sum _{n=0}^{\infty }\left({\frac {(2n)!}{2^{2n}(n!)^{2}}}\right){\frac {z^{2n+1}}{(2n+1)}};\qquad |z|\leq 1\end{aligned}}} Sinus , mathworld.wolfram.com Trigonometrijske funkcije realnog broja Arhivirano 28. 3. 2016. na Wayback Machine