Средногеометрична стойност

Средногеометрична стойност или средногеометрично (CG) в математиката и статистиката е вид средна стойност на множество от ${\displaystyle n}$ числа, която се получава чрез умножаването им и намиране на ${\displaystyle n}$-ти корен от произведението им. Тя е частен случай на средностепенната стойност ${\displaystyle C_{s}(x_{1},...,x_{n})}$ при степенен показател ${\displaystyle s=0}$ и частен случай на средното квази-аритметично (средно на Колмогоров) при при ${\displaystyle \phi (x)=\ln x}$.

Средногеометричното на две числа се нарича още среднопропорционално,^[1] тъй като средната геометрична стойност ${\displaystyle CG}$ на две числа ${\displaystyle x_{1}}$ и ${\displaystyle x_{2}}$ има следното свойство: ${\displaystyle {\frac {x_{1}}{CG}}={\frac {CG}{x_{2}}}}$, т.е. средногеометричното е спрямо първото число същото, което е второто число спрямо средногеометричното.

Формули[редактиране | редактиране на кода]

Съгласно определението средногеометричното на множеството числа ${\displaystyle x_{1},x_{2},...,x_{n}}$ се дава с формулата

${\displaystyle CG=C_{0}(x_{1},\ldots ,x_{n})=\lim _{s\to 0}C_{s}(x_{1},\dots ,x_{n})={\sqrt[{n}]{x_{1}x_{2}\cdots x_{n}}}={\bigg (}\prod _{i=1}^{n}x_{i}{\bigg )}^{1/n}}$

или еквивалентно като средно аритметично в логаритмичен мащаб:

${\displaystyle CG=C_{0}(x_{1},\ldots ,x_{n})=\exp {\left({{\frac {1}{n}}\sum \limits _{i=1}^{n}\ln x_{i}}\right)}.}$

Най-често числата са ограничени до неотрицателни, за да се избегнат усложнения, свързани с това, че отрицателните числа нямат реални корени, и често те са ограничени до положителни, за да се даде възможност за използване на логаритми.

Така например, ако са дадени числата 4 и 9, първо се намира тяхното произведение и след това се взима квадратен корен от него: ${\displaystyle CG(4,9)={\sqrt {4\cdot 9}}={\sqrt {36}}=6}$.
Като друг пример, средното геометрично на трите числа 1, 4 и 1/32 е кубичният корен от тяхното произведение (1/8), който е 1/2, тоест ${\displaystyle CG(1,4,1/32)={\sqrt[{3}]{1\cdot 4\cdot 1/32}}={\sqrt[{3}]{1/8}}=1/2}$.

Доказателство[редактиране | редактиране на кода]

Може да се пренапише дефиницията за средностепенно ${\displaystyle C_{s}}$, използвайки експоненциалната функция

${\displaystyle C_{s}(x_{1},\dots ,x_{n})=\exp {\left(\ln {\left[\left(\sum _{i=1}^{n}w_{i}x_{i}^{s}\right)^{1/s}\right]}\right)}=\exp {\left({\frac {\ln {\left(\sum _{i=1}^{n}w_{i}x_{i}^{s}\right)}}{s}}\right)}}$,

където се приема, че ${\textstyle w_{i}\in [0,1]}$ и сумата от ${\textstyle \sum _{i=1}^{n}w_{i}=1}$ без загуба на обобщеност.

В граничния преход s → 0 можем да се приложи правилото на Лопитал към аргумента на експоненциалната функция. Приема се, че s ∈ R и s ≠ 0.^[4] Разграничавайки числителя и знаменателя по отношение на s, имаме

${\displaystyle \lim _{s\to 0}{\frac {\ln {\left(\sum _{i=1}^{n}w_{i}x_{i}^{s}\right)}}{s}}=\lim _{s\to 0}{\frac {\frac {\sum _{i=1}^{n}w_{i}x_{i}^{s}\ln {x_{i}}}{\sum _{j=1}^{n}w_{j}x_{j}^{s}}}{1}}=\lim _{s\to 0}{\frac {\sum _{i=1}^{n}w_{i}x_{i}^{s}\ln {x_{i}}}{\sum _{j=1}^{n}w_{j}x_{j}^{s}}}=}$

${\displaystyle ={\frac {\sum _{i=1}^{n}w_{i}\ln {x_{i}}}{\sum _{j=1}^{n}w_{j}}}=\sum _{i=1}^{n}w_{i}\ln {x_{i}}=\ln {\left(\prod _{i=1}^{n}x_{i}^{w_{i}}\right)}.}$

Поради непрекъснатостта на експоненциалната функция можем да се замести обратно в горната връзка и се получава^[5]

${\displaystyle \lim _{s\to 0}C_{s}(x_{1},\dots ,x_{n})=\exp {\left(\ln {\left(\prod _{i=1}^{n}x_{i}^{w_{i}}\right)}\right)}=\prod _{i=1}^{n}x_{i}^{w_{i}}=C_{0}(x_{1},\dots ,x_{n})}$,

което е желаният резултат.

Свойства[редактиране | редактиране на кода]

• Като всяка друга средна стойност, средната геометрична стойност се намира между минимума и максимума на всички числа:

${\displaystyle \operatorname {min} (x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})\leqslant CG(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})\leqslant \operatorname {max} (x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n}).}$

• Средната геометрична стойност се намира между среднохармоничната и средноаритметичната стойности:

${\displaystyle CH(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})\leqslant CG(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})\leqslant CA(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n}),}$ или

${\displaystyle {\frac {n}{{\frac {1}{x_{1}}}+{\frac {1}{x_{2}}}+\ldots +{\frac {1}{x_{n}}}}}\leqslant {\sqrt[{n}]{x_{1}\cdot x_{2}\cdot \ldots \cdot x_{n}}}\leqslant {\frac {x_{1}+x_{2}+\ldots +x_{n}}{n}}}$.

Това са трите класически средни на Питагор. За всички положителни набори от данни, съдържащи поне една двойка неравни стойности, средната хармонична винаги е най-малката от трите средни, средната аритметична винаги е най-голямата, а средната геометрична винаги е между тях. Това свойство се използва при дефиниране на междинни средни стойности, които са модификации на основните.

• Средногеометричното на две числа ${\displaystyle a=CA_{0},b=CG_{0}}$ е средното аритметично-хармонично на тези числа, тоест то е равно на границата на две последователности:

${\displaystyle CA_{i}={\frac {CA_{i-1}+CG_{i-1}}{2}},\quad CG_{i}={\sqrt {CA_{i-1}CG_{i-1}}}.}$

• Средногеометричното на две числа е равно на средногеометричното на техните средноаритметично и средно хармонично:^[6]

${\displaystyle CG(x_{1},x_{2})=CG(CA,CH)={\sqrt {{\frac {x_{1}+x_{2}}{2}}\cdot {\frac {2}{{\frac {1}{x_{1}}}+{\frac {1}{x_{2}}}}}}}}$

Модификации[редактиране | редактиране на кода]

Междинни средни стойности[редактиране | редактиране на кода]

Средната геометрична стойност на набор от числа е по-малка от средната аритметична стойност на набора от числа, освен ако всички членове на набора от числа не са равни, в който случай средните геометрични и аритметични са равни. Това позволява дефинирането на средното аритметично-геометрично, пресечна точка на двете, която винаги е между тях.

Средното геометрично е също така средното аритметично-хармонично в смисъл, че ако за две последователности (${\textstyle a_{n}}$) и (${\textstyle h_{n}}$) са дефинирани средната аритметична ${\textstyle a_{n+1}}$ и средната хармонична стойност ${\textstyle h_{n+1}}$ на предишните стойности на двете последователности

${\displaystyle a_{n+1}={\frac {a_{n}+h_{n}}{2}},\quad a_{0}=x}$

и

${\displaystyle h_{n+1}={\frac {2}{{\frac {1}{a_{n}}}+{\frac {1}{h_{n}}}}},\quad h_{0}=y}$,

тогава ${\textstyle a_{n}}$ и ${\textstyle h_{n}}$ ще се сближат до средното геометрично на ${\textstyle x}$ и ${\textstyle y}$. Последователностите се събират до обща граница и средното геометрично се запазва:

${\displaystyle {\sqrt {a_{i}h_{i}}}={\sqrt {\frac {a_{i}+h_{i}}{\frac {a_{i}+h_{i}}{h_{i}a_{i}}}}}={\sqrt {\frac {a_{i}+h_{i}}{{\frac {1}{a_{i}}}+{\frac {1}{h_{i}}}}}}={\sqrt {a_{i+1}h_{i+1}}}}$.

Замяната на средната аритметична и хармонична с чифт средностепенни на противоположни, крайни показатели дава същия резултат.

Средногеометрично претеглено[редактиране | редактиране на кода]

 Основна статия: Средногеометрично претеглено

Среднопретеглената геометрична стойност на набор от реални числа ${\displaystyle x_{1},\ldots ,x_{n}}$ с реални тегла ${\displaystyle w_{1},\ldots ,w_{n}}$ се определя като

${\displaystyle CGW={\bar {x}}=\left(\prod _{i=1}^{n}x_{i}^{w_{i}}\right)^{1/\sum _{i=1}^{n}w_{i}}=\quad \exp \left({\frac {1}{\sum _{i=1}^{n}w_{i}}}\;\sum _{i=1}^{n}w_{i}\ln x_{i}\right).}$

В случай, че всички тегла са равни, средното геометрично претеглено е равно на средното геометрично.

Приложение[редактиране | редактиране на кода]

Средната геометрична стойност често се използва за набор от числа, чиито стойности са предназначени да бъдат умножени заедно или са експоненциални по природа, като например набор от числа за растеж: стойности на човешкото население или лихвени проценти на финансова инвестиция във времето. Прилага се и за тест за производителност в сравнителния анализ (например при компютърни архитектури), където е особено полезна като изчислително средство за коефициенти на ускоряване: тъй като средната стойност от 0,5x (наполовина по-бързо) и 2x (два пъти по-бързо) ще бъде 1 (т.е. без цялостно ускоряване).

Пропорционално нарастване[редактиране | редактиране на кода]

Средногеометричното е по-уместно за прилагане от средноаритметичното за описване на пропорционално нарастване. В бизнеса CG на степента на нарастване е известно като „съставна годишна мярка за растеж“ (compound annual growth rate, CAGR). Средногеометричното значение на нарастването за определени периоди дава еквивалентна константа на нарастване, която дава същата крайна сума.

Пример: Ако едно ябълково дърво дава 100 ябълки първата година и по 180, 210 и 300 през следващите години, нарастванията за всяка година са съответно 80 %, 16,6666% и 42,8571%. Използвайки средноаритметичното значение на нарастванията, се получава стойност на средно нарастване 46,5079 % (80 % + 16,6666 % + 42,8571 % разделено на 3). Обаче, ако се започва със 100 ябълки и се приложи нарастване от 46,5079 % за всяка година, в резултат ще се получи 314 ябълки, а не 300.

За изчисляване на средногеометричното значение се представят процентните нараствания като числа: нарастването от 80 % като коефициент е 1,8 пъти, 16,6666 % е 1,166666, а 42,8571 % е 1,428571 пъти. Така средногеометричното на 1,8, 1,166666 и 1,428571 е ${\displaystyle {\sqrt[{3}]{1,8\times 1,166666\times 1,428571}}=1,442249}$, което е равно на 44,2249 % годишен растеж. Ако се започне със 100 ябълки и се приложи средно нарастване от 44,2249 % всяка година, ще се получи верният резултат от 300 ябълки.

За да се определи средният темп на растеж, не е необходимо да се взема произведението на измерените темпове на растеж на всяка стъпка. Нека количеството е дадено като последователност ${\displaystyle a_{0},a_{1},...,a_{n}}$, където ${\displaystyle n}$ е броят на стъпките от началното до крайното състояние. Скоростта на растеж между последователните измервания ${\displaystyle a_{k}}$ и ${\displaystyle a_{k+1}}$ е ${\displaystyle a_{k+1}/a_{k}}$. Средната геометрична стойност на тези темпове на растеж тогава е просто:

${\displaystyle \left({\frac {a_{1}}{a_{0}}}{\frac {a_{2}}{a_{1}}}\cdots {\frac {a_{n}}{a_{n-1}}}\right)^{\frac {1}{n}}=\left({\frac {a_{n}}{a_{0}}}\right)^{\frac {1}{n}}.}$

Геометрия[редактиране | редактиране на кода]

Средната геометрична стойност може да бъде разбрана от гледна точка на геометрията. Средногеометричното на две числа ${\displaystyle a}$ и ${\displaystyle b}$ е дължината ${\displaystyle d}$ на едната страна на квадрат, чиято площ ${\displaystyle S}$ е равна на площта на правоъгълник със страни с дължини ${\displaystyle a}$ и ${\displaystyle b}$: ${\displaystyle S=ab=d^{2}}$ и ${\displaystyle d={\sqrt {ab}}}$. По същия начин, средногеометричното на три числа ${\displaystyle a}$, ${\displaystyle b}$ и ${\displaystyle c}$ е дължината ${\displaystyle g}$ на един ръб на куб, чийто обем е същият като този на паралелепипед със страни, чиито дължини са равни на трите дадени числа: ${\displaystyle V=abc=d^{3}}$ и ${\displaystyle d={\sqrt[{3}]{abc}}}$.

Теорема за средната геометрична стойност: Височината на правоъгълен триъгълник, спусната към хипотенузата, е средната пропорционална стойност между проекциите на катетите върху хипотенузата, а всеки катет е средната пропорционална стойност между хипотенузата и неговата проекция върху хипотенузата.

Това дава геометричен начин за конструиране на средното геометрично на два сегмента (отсечки): трябва да се построи окръжност върху сумата от тези две отсечки като диаметър, а след това височината, издигната от точката на тяхната връзка до пресичането с окръжността ще даде желаната стойност.

В една елипса малката полуос е средната геометрична стойност на максималното и минималното разстояние на елипсата от фокуса; това е и средното геометрично на голямата полуос и фокалната полу-хорда. Голямата полуос на елипса е средното геометрично на разстоянието от центъра до всеки фокус и разстоянието от центъра до която и да е директриса.

Ако в две диаметрално противоположни точки на кръг с радиус r r се приложи натиск, той се деформира в елипса с голяма полуос a и малка полуос b.

Тъй като площта на кръга и елипсата остава същата, имаме:

${\displaystyle {\begin{aligned}\pi r^{2}&=\pi ab\\r^{2}&=ab\\r&={\sqrt {ab}}\end{aligned}}}$

Радиусът на окръжността е средното геометрично на голямата и малката полуоси на елипсата, образувана от деформирането на окръжността.

Разстоянието до хоризонта на сферата (допирателна) е средното геометрично между разстоянието до най-близката точка на сферата и разстоянието до най-отдалечената точка на сферата.

Средната геометрична стойност се използва както при приближението на квадратура на кръга от С. А. Paмaнюян,^[7] така и при конструирането на седемнадесетоъгълника със „средни пропорционални“.^[8]

Вижте също[редактиране | редактиране на кода]

• Средностепенно
• Средно аритметичо
• Средноквадратично
• Средно хармонично
• Геометрична прогресия

Външни препратки[редактиране | редактиране на кода]

• Средно геометрично в mathworld

Източници[редактиране | редактиране на кода]

Портал „Статистика“