Векторното произведение на два вектора a {\displaystyle \mathbf {a} } и b {\displaystyle \mathbf {b} } е вектор , перпендикулярен на равнината, определена от векторите a {\displaystyle \mathbf {a} } и b {\displaystyle \mathbf {b} } , образува дясна тройка с тях и има дължина, равна на произведението от големините на двата вектора и синуса на ъгъла между тях.
Ъгълът между два вектора приема стойности от 0 ∘ {\displaystyle 0^{\circ }} до 180 ∘ {\displaystyle 180^{\circ }} , следователно синусът му, а оттам – и дължината на векторното произведение са неотрицателни (т.е. дължината е коректно дефинирана):
‖ a × b ‖ = ‖ a ‖ ‖ b ‖ sin ∢ ( a ; b ) {\displaystyle \Vert \mathbf {a} \times \mathbf {b} \Vert =\Vert \mathbf {a} \Vert \Vert \mathbf {b} \Vert \sin \sphericalangle (\mathbf {a} ;\ \mathbf {b} )}
Самото векторно произведение на два вектора се дефинира така:
a × b = ‖ a ‖ ‖ b ‖ sin ∢ ( a ; b ) n ^ {\displaystyle \mathbf {a} \times \mathbf {b} =\Vert \mathbf {a} \Vert \Vert \mathbf {b} \Vert \sin \sphericalangle (\mathbf {a} ;\ \mathbf {b} )\ \mathbf {\hat {n}} }
като тук n ^ = a × b ‖ a × b ‖ {\displaystyle \mathbf {\hat {n}} ={\frac {\mathbf {a} \times \mathbf {b} }{\Vert \mathbf {a} \times \mathbf {b} \Vert }}} .
Векторното произведение на a {\displaystyle \mathbf {a} } и b {\displaystyle \mathbf {b} } Ако са нанесени векторите a {\displaystyle \mathbf {a} } и b {\displaystyle \mathbf {b} } с общо начало, то директрисата на вектора ( a × b ) {\displaystyle (\mathbf {a} \times \mathbf {b} )} минава през това начало и е перпендикулярна на равнината, образувана от a {\displaystyle \mathbf {a} } и b {\displaystyle \mathbf {b} } . Посоката на вектора се определя с правилото ( a , b , a × b ) {\displaystyle (\mathbf {a} ,\mathbf {b} ,\mathbf {a} \times \mathbf {b} )} да образуват дясно ориентирана тройка вектори.
Ако векторите a {\displaystyle \mathbf {a} } и b {\displaystyle \mathbf {b} } са зададени с координатите си a = ( a 1 , a 2 , a 3 ) {\displaystyle \mathbf {a} =(a_{1},a_{2},a_{3})} и b = ( b 1 , b 2 , b 3 ) {\displaystyle \mathbf {b} =(b_{1},b_{2},b_{3})} в тримерното пространство и i , j , k {\displaystyle \mathbf {i} ,\mathbf {j} ,\mathbf {k} } са единичните вектори на дясно ориентирана ортонормирана координатна система, то:
a × b = d e t ( i j k a 1 a 2 a 3 b 1 b 2 b 3 ) {\displaystyle \mathbf {a} \times \mathbf {b} =\mathrm {det} \left({\begin{matrix}\mathbf {i} &\mathbf {j} &\mathbf {k} \\a_{1}&a_{2}&a_{3}\\b_{1}&b_{2}&b_{3}\end{matrix}}\right)} .
По-подробно горната формула изглежда така: a × b = i d e t ( a 2 a 3 b 2 b 3 ) − j d e t ( a 1 a 3 b 1 b 3 ) + k d e t ( a 1 a 2 b 1 b 2 ) = i ( a 2 b 3 − a 3 b 2 ) − j ( a 1 b 3 − a 3 b 1 ) + k ( a 1 b 2 − a 2 b 1 ) {\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {a} \times \mathbf {b} &=\mathbf {i} \ \mathrm {det} \left({\begin{matrix}a_{2}&a_{3}\\b_{2}&b_{3}\end{matrix}}\right)-\mathbf {j} \ \mathrm {det} \left({\begin{matrix}a_{1}&a_{3}\\b_{1}&b_{3}\end{matrix}}\right)+\mathbf {k} \ \mathrm {det} \left({\begin{matrix}a_{1}&a_{2}\\b_{1}&b_{2}\end{matrix}}\right)\\&=\mathbf {i} (a_{2}b_{3}-a_{3}b_{2})-\mathbf {j} (a_{1}b_{3}-a_{3}b_{1})+\mathbf {k} (a_{1}b_{2}-a_{2}b_{1})\end{aligned}}}
Антикомутативност: a × b = − b × a {\displaystyle \mathbf {a} \times \mathbf {b} =-\mathbf {b} \times \mathbf {a} } Доказателство:
a × b = d e t ( i j k a 1 a 2 a 3 b 1 b 2 b 3 ) = − d e t ( i j k b 1 b 2 b 3 a 1 a 2 a 3 ) = − b × a {\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {a} \times \mathbf {b} &=\mathrm {det} \left({\begin{matrix}\mathbf {i} &\mathbf {j} &\mathbf {k} \\a_{1}&a_{2}&a_{3}\\b_{1}&b_{2}&b_{3}\end{matrix}}\right)\\&=-\mathrm {det} \left({\begin{matrix}\mathbf {i} &\mathbf {j} &\mathbf {k} \\b_{1}&b_{2}&b_{3}\\a_{1}&a_{2}&a_{3}\end{matrix}}\right)\\&=-\mathbf {b} \times \mathbf {a} \end{aligned}}}
Дистрибутивност: ( a + b ) × c = a × c + b × c {\displaystyle (\mathbf {a} +\mathbf {b} )\times \mathbf {c} =\mathbf {a} \times \mathbf {c} +\mathbf {b} \times \mathbf {c} } Доказателство:
Тъй като a + b = ( a 1 + b 1 , a 2 + b 2 , a 3 + b 3 ) {\displaystyle \mathbf {a} +\mathbf {b} =(a_{1}+b_{1},\ a_{2}+b_{2},\ a_{3}+b_{3})} , то:
( a + b ) × c = d e t ( i j k a 1 + b 1 a 2 + b 2 a 3 + b 3 c 1 c 2 c 3 ) = d e t ( i j k a 1 a 2 a 3 c 1 c 2 c 3 ) + d e t ( i j k b 1 b 2 b 3 c 1 c 2 c 3 ) = a × c + b × c {\displaystyle {\begin{aligned}(\mathbf {a} +\mathbf {b} )\times \mathbf {c} &=\mathrm {det} \left({\begin{matrix}\mathbf {i} &\mathbf {j} &\mathbf {k} \\{a_{1}+b_{1}}&{a_{2}+b_{2}}&{a_{3}+b_{3}}\\c_{1}&c_{2}&c_{3}\end{matrix}}\right)\\&=\mathrm {det} \left({\begin{matrix}\mathbf {i} &\mathbf {j} &\mathbf {k} \\a_{1}&a_{2}&a_{3}\\c_{1}&c_{2}&c_{3}\end{matrix}}\right)+\mathrm {det} \left({\begin{matrix}\mathbf {i} &\mathbf {j} &\mathbf {k} \\b_{1}&b_{2}&b_{3}\\c_{1}&c_{2}&c_{3}\end{matrix}}\right)\\&=\mathbf {a} \times \mathbf {c} +\mathbf {b} \times \mathbf {c} \end{aligned}}}
Линейност: ( λ a ) × ( μ b ) = λ μ ( a × b ) {\displaystyle (\lambda \mathbf {a} )\times (\mu \mathbf {b} )=\lambda \mu (\mathbf {a} \times \mathbf {b} )} за произволни реални числа λ {\displaystyle \lambda } и μ {\displaystyle \mu } . Доказателство:
Понеже λ a = ( λ a 1 , λ a 2 , λ a 3 ) {\displaystyle \lambda \mathbf {a} =(\lambda a_{1},\ \lambda a_{2},\ \lambda a_{3})} и μ b = ( μ b 1 , μ b 2 , μ b 3 ) {\displaystyle \mu \mathbf {b} =(\mu b_{1},\ \mu b_{2},\ \mu b_{3})} , то:
( λ a ) × ( μ b ) = d e t ( i j k λ a 1 λ a 2 λ a 3 μ b 1 μ b 2 μ b 3 ) = λ μ d e t ( i j k a 1 a 2 a 3 b 1 b 2 b 3 ) = λ μ ( a × b ) {\displaystyle {\begin{aligned}(\lambda \mathbf {a} )\times (\mu \mathbf {b} )&=\mathrm {det} \left({\begin{matrix}\mathbf {i} &\mathbf {j} &\mathbf {k} \\\lambda a_{1}&\lambda a_{2}&\lambda a_{3}\\\mu b_{1}&\mu b_{2}&\mu b_{3}\end{matrix}}\right)\\&=\lambda \mu \ \mathrm {det} \left({\begin{matrix}\mathbf {i} &\mathbf {j} &\mathbf {k} \\a_{1}&a_{2}&a_{3}\\b_{1}&b_{2}&b_{3}\end{matrix}}\right)\\&=\lambda \mu (\mathbf {a} \times \mathbf {b} )\end{aligned}}}
Ако a ∥ b {\displaystyle \mathbf {a} \parallel \mathbf {b} } , то a × b = 0 {\displaystyle \mathbf {a} \times \mathbf {b} =\mathbf {0} } Доказателство:
Щом a ∥ b {\displaystyle \mathbf {a} \parallel \mathbf {b} } , то ∢ ( a , b ) = 0 ∘ {\displaystyle \sphericalangle (\mathbf {a} ,\ \mathbf {b} )=0^{\circ }} , откъдето следва, че
a × b = ‖ a ‖ ‖ b ‖ sin 0 ∘ n ^ = 0 {\displaystyle \mathbf {a} \times \mathbf {b} =\Vert \mathbf {a} \Vert \Vert \mathbf {b} \Vert \sin 0^{\circ }\ \mathbf {\hat {n}} =\mathbf {0} }
Нека i , j , k {\displaystyle \mathbf {i} ,\mathbf {j} ,\mathbf {k} } са единичните вектори на дясно ориентирана ортонормирана координатна система. Тогава са в сила равенствата:
i × j = k j × k = i k × i = j {\displaystyle {\begin{aligned}{\boldsymbol {\mathrm {i} }}\times {\boldsymbol {\mathrm {j} }}={\boldsymbol {\mathrm {k} }}\\{\boldsymbol {\mathrm {j} }}\times {\boldsymbol {\mathrm {k} }}={\boldsymbol {\mathrm {i} }}\\{\boldsymbol {\mathrm {k} }}\times {\boldsymbol {\mathrm {i} }}={\boldsymbol {\mathrm {j} }}\end{aligned}}} .
Понеже векторното произведение е антикомутативно, то:
j × i = − k k × j = − i i × k = − j {\displaystyle {\begin{aligned}{\boldsymbol {\mathrm {j} }}\times {\boldsymbol {\mathrm {i} }}=-{\boldsymbol {\mathrm {k} }}\\{\boldsymbol {\mathrm {k} }}\times {\boldsymbol {\mathrm {j} }}=-{\boldsymbol {\mathrm {i} }}\\{\boldsymbol {\mathrm {i} }}\times {\boldsymbol {\mathrm {k} }}=-{\boldsymbol {\mathrm {j} }}\end{aligned}}} .
Освен това лесно може да се покаже, че i × i = j × j = k × k = 0 {\displaystyle \mathbf {i} \times \mathbf {i} =\mathbf {j} \times \mathbf {j} =\mathbf {k} \times \mathbf {k} =\mathbf {0} } (равенствата следват от антикомутативността на векторното произведение).
С помощта на тези равенства можем да изразим векторното произведение на векторите a {\displaystyle \mathbf {a} } и b {\displaystyle \mathbf {b} } .
Понеже
a = a 1 i + a 2 j + a 3 k b = b 1 i + b 2 j + b 3 k {\displaystyle {\begin{alignedat}{3}\mathbf {a} &=a_{1}\mathbf {i} &&+a_{2}\mathbf {j} &&+a_{3}\mathbf {k} \\\mathbf {b} &=b_{1}\mathbf {i} &&+b_{2}\mathbf {j} &&+b_{3}\mathbf {k} \end{alignedat}}} то векторното произведение a × b {\displaystyle \mathbf {a} \times \mathbf {b} } ще бъде равно на:
a × b = ( a 1 i + a 2 j + a 3 k ) × ( b 1 i + b 2 j + b 3 k ) = a 1 b 1 ( i × i ) + a 1 b 2 ( i × j ) + a 1 b 3 ( i × k ) + a 2 b 1 ( j × i ) + a 2 b 2 ( j × j ) + a 2 b 3 ( j × k ) + a 3 b 1 ( k × i ) + a 3 b 2 ( k × j ) + a 3 b 3 ( k × k ) = a 1 b 1 0 + a 1 b 2 k − a 1 b 3 j − a 2 b 1 k + a 2 b 2 0 + a 2 b 3 i + a 3 b 1 j − a 3 b 2 i + a 3 b 3 0 = ( a 2 b 3 − a 3 b 2 ) i + ( a 3 b 1 − a 1 b 3 ) j + ( a 1 b 2 − a 2 b 1 ) k {\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {a} \times \mathbf {b} ={}&(a_{1}\mathbf {i} +a_{2}\mathbf {j} +a_{3}\mathbf {k} )\times (b_{1}\mathbf {i} +b_{2}\mathbf {j} +b_{3}\mathbf {k} )\\={}&a_{1}b_{1}(\mathbf {i} \times \mathbf {i} )+a_{1}b_{2}(\mathbf {i} \times \mathbf {j} )+a_{1}b_{3}(\mathbf {i} \times \mathbf {k} )+{}\\&a_{2}b_{1}(\mathbf {j} \times \mathbf {i} )+a_{2}b_{2}(\mathbf {j} \times \mathbf {j} )+a_{2}b_{3}(\mathbf {j} \times \mathbf {k} )+{}\\&a_{3}b_{1}(\mathbf {k} \times \mathbf {i} )+a_{3}b_{2}(\mathbf {k} \times \mathbf {j} )+a_{3}b_{3}(\mathbf {k} \times \mathbf {k} )\\={}&\ a_{1}b_{1}\mathbf {0} +a_{1}b_{2}\mathbf {k} -a_{1}b_{3}\mathbf {j} \ -\\&a_{2}b_{1}\mathbf {k} +a_{2}b_{2}\mathbf {0} +a_{2}b_{3}\mathbf {i} \ +\\&a_{3}b_{1}\mathbf {j} \ -a_{3}b_{2}\mathbf {i} \ +a_{3}b_{3}\mathbf {0} \\={}&(a_{2}b_{3}-a_{3}b_{2})\mathbf {i} +(a_{3}b_{1}-a_{1}b_{3})\mathbf {j} +(a_{1}b_{2}-a_{2}b_{1})\mathbf {k} \\\end{aligned}}} Нека с S {\displaystyle S} бележим лицето на успоредника и нека θ {\displaystyle \theta } е ъгълът, заключен между a {\displaystyle \mathbf {a} } и b {\displaystyle \mathbf {b} } . Тогава:
S = ‖ a ‖ ‖ b ‖ sin θ = ‖ a × b ‖ {\displaystyle S=\Vert \mathbf {a} \Vert \Vert \mathbf {b} \Vert \sin \theta =\Vert \mathbf {a} \times \mathbf {b} \Vert }