f(x)-in a dan b'yə qədər olan inteqralı, y=f(x) funksiyasının a ilə b arasındakı fiqurun sahәsinә bәrabәrdir. İnteqral – kəsilməz f(x) funksiyasının ibtidai funksiyalarının ümumi şəklinə f(x) funksiyasının inteqralı deyilir.
İnteqral sahəsində ən böyük işləri Qotfrid Leybnits və İsaak Nyuton görmüşlər. "İnteqral" sözünü və işarəsini ilk dəfə elmə alman alimi Qotfrid Leybnits daxil etmişdir. Bu söz latıncadan "Cəm" ("ſumma", "summa") mənasını verir. İnteqral ∫ hərfi ilə işarə edilir:
F ( x ) = ∫ f ( x ) + c , {\displaystyle F(x)=\int f(x)+c,} [a, b] parçasında götürülmüş f(x) funksiyasının müəyyən inteqralın düsturu belədir:
∫ a b f ( x ) d x {\displaystyle \int _{a}^{b}\!f(x)\,dx\,} Qeyri-müəyyən inteqralın isə düsturu belədir:
F = ∫ f ( x ) d x + c {\displaystyle F=\int f(x)\,dx+c} f ( x ) = 5 x 2 + 9 x + 15 {\displaystyle f(x)=5x^{2}+9x+15\,} . f ′ ( x ) = 10 x + 9 + 0 {\displaystyle f'(x)=10x+9+0\,} . ∫ ( 10 x + 9 ) d x = 5 x 2 + 9 x + C {\displaystyle \int (10x+9)\,dx=5x^{2}+9x+C} . ∫ d x = x + C {\displaystyle \int dx=x+C} ∫ d x x = ln | x | + C {\displaystyle \int {dx \over x}=\ln {\left|x\right|}+C} ∫ d x a 2 + x 2 = 1 a arctan x a + C {\displaystyle \int {dx \over {a^{2}+x^{2}}}={1 \over a}\arctan {x \over a}+C} ∫ d x a 2 − x 2 = arcsin x a + C {\displaystyle \int {dx \over {\sqrt {a^{2}-x^{2}}}}=\arcsin {x \over a}+C} ∫ − d x a 2 − x 2 = arccos x a + C {\displaystyle \int {-dx \over {\sqrt {a^{2}-x^{2}}}}=\arccos {x \over a}+C} ∫ d x x x 2 − a 2 = 1 a sec | x | a + C {\displaystyle \int {dx \over x{\sqrt {x^{2}-a^{2}}}}={1 \over a}\sec {|x| \over a}+C} ∫ ln ( x ) d x = x ln ( x ) − x + C , {\displaystyle \int \ln(x)\,dx=x\ln(x)-x+C,} ∫ log b x d x = x log b x − x log b e + C {\displaystyle \int \log _{b}{x}\,dx=x\log _{b}{x}-x\log _{b}{e}+C} :) ∫ e x d x = e x + C {\displaystyle \int e^{x}\,dx=e^{x}+C} ∫ a x d x = a x ln a + C {\displaystyle \int a^{x}\,dx={\frac {a^{x}}{\ln {a}}}+C} ∫ a l n ( x ) d x = ∫ x l n ( a ) d x = x a l n ( x ) ln a + 1 + C = x x l n ( a ) ln a + 1 + C {\displaystyle \int a^{ln(x)}\,dx=\int x^{ln(a)}\,dx={\frac {x\,a^{ln(x)}}{\ln {a}+1}}+C={\frac {x\,x^{ln(a)}}{\ln {a}+1}}+C} Qotfrid Leybnits Ser İsaak Nyuton ∫ sin x d x = − cos x + C {\displaystyle \int \sin {x}\,dx=-\cos {x}+C} ∫ cos x d x = sin x + C {\displaystyle \int \cos {x}\,dx=\sin {x}+C} ∫ tan x d x = − ln | cos x | + C {\displaystyle \int \tan {x}\,dx=-\ln {\left|\cos {x}\right|}+C} ∫ cot x d x = ln | sin x | + C {\displaystyle \int \cot {x}\,dx=\ln {\left|\sin {x}\right|}+C} ∫ sec x d x = ln | sec x + tan x | + C {\displaystyle \int \sec {x}\,dx=\ln {\left|\sec {x}+\tan {x}\right|}+C} ∫ csc x d x = ln | csc x − cot x | + C {\displaystyle \int \csc {x}\,dx=\ln {\left|\csc {x}-\cot {x}\right|}+C} ∫ sec 2 x d x = tan x + C {\displaystyle \int \sec ^{2}x\,dx=\tan x+C} ∫ csc 2 x d x = − cot x + C {\displaystyle \int \csc ^{2}x\,dx=-\cot x+C} ∫ sec x tan x d x = sec x + C {\displaystyle \int \sec {x}\,\tan {x}\,dx=\sec {x}+C} ∫ csc x cot x d x = − csc x + C {\displaystyle \int \csc {x}\,\cot {x}\,dx=-\csc {x}+C} ∫ sin 2 x d x = 1 2 ( x − sin x cos x ) + C {\displaystyle \int \sin ^{2}x\,dx={\frac {1}{2}}(x-\sin x\cos x)+C} ∫ cos 2 x d x = 1 2 ( x + sin x cos x ) + C {\displaystyle \int \cos ^{2}x\,dx={\frac {1}{2}}(x+\sin x\cos x)+C} ∫ sec 3 x d x = 1 2 sec x tan x + 1 2 ln | sec x + tan x | + C {\displaystyle \int \sec ^{3}x\,dx={\frac {1}{2}}\sec x\tan x+{\frac {1}{2}}\ln |\sec x+\tan x|+C} ∫ sin n x d x = − sin n − 1 x cos x n + n − 1 n ∫ sin n − 2 x d x {\displaystyle \int \sin ^{n}x\,dx=-{\frac {\sin ^{n-1}{x}\cos {x}}{n}}+{\frac {n-1}{n}}\int \sin ^{n-2}{x}\,dx} ∫ cos n x d x = cos n − 1 x sin x n + n − 1 n ∫ cos n − 2 x d x {\displaystyle \int \cos ^{n}x\,dx={\frac {\cos ^{n-1}{x}\sin {x}}{n}}+{\frac {n-1}{n}}\int \cos ^{n-2}{x}\,dx} ∫ arctan x d x = x arctan x − 1 2 ln | 1 + x 2 | + C {\displaystyle \int \arctan {x}\,dx=x\,\arctan {x}-{\frac {1}{2}}\ln {\left|1+x^{2}\right|}+C} ∫ sinh x d x = c o s h x + C {\displaystyle \int \sinh x\,dx=\,coshx+C} ∫ cosh x d x = sinh x + C {\displaystyle \int \cosh x\,dx=\sinh x+C} ∫ tanh x d x = ln | cosh x | + C {\displaystyle \int \tanh x\,dx=\ln |\cosh x|+C} ∫ csch x d x = ln | tanh x 2 | + C {\displaystyle \int {\mbox{csch}}\,x\,dx=\ln \left|\tanh {x \over 2}\right|+C} ∫ sech x d x = arctan ( sinh x ) + C {\displaystyle \int {\mbox{sech}}\,x\,dx=\arctan(\sinh x)+C} ∫ coth x d x = ln | sinh x | + C {\displaystyle \int \coth x\,dx=\ln |\sinh x|+C} ∫ sech 2 x d x = tanh x + C {\displaystyle \int {\mbox{sech}}^{2}x\,dx=\tanh x+C} ∫ arcsinh x d x = x arcsinh x − x 2 + 1 + C {\displaystyle \int \operatorname {arcsinh} x\,dx=x\operatorname {arcsinh} x-{\sqrt {x^{2}+1}}+C} ∫ arccosh x d x = x arccosh x − x 2 − 1 + C {\displaystyle \int \operatorname {arccosh} x\,dx=x\operatorname {arccosh} x-{\sqrt {x^{2}-1}}+C} ∫ arctanh x d x = x arctanh x + 1 2 log ( 1 − x 2 ) + C {\displaystyle \int \operatorname {arctanh} x\,dx=x\operatorname {arctanh} x+{\frac {1}{2}}\log {(1-x^{2})}+C} ∫ arccsch x d x = x arccsch x + log [ x ( 1 + 1 x 2 + 1 ) ] + C {\displaystyle \int \operatorname {arccsch} \,x\,dx=x\operatorname {arccsch} x+\log {\left[x\left({\sqrt {1+{\frac {1}{x^{2}}}}}+1\right)\right]}+C} ∫ arcsech x d x = x arcsech x − arctan ( x x − 1 1 − x 1 + x ) + C {\displaystyle \int \operatorname {arcsech} \,x\,dx=x\operatorname {arcsech} x-\arctan {\left({\frac {x}{x-1}}{\sqrt {\frac {1-x}{1+x}}}\right)}+C} ∫ arccoth x d x = x arccoth x + 1 2 log ( x 2 − 1 ) + C {\displaystyle \int \operatorname {arccoth} \,x\,dx=x\operatorname {arccoth} x+{\frac {1}{2}}\log {(x^{2}-1)}+C}