معادلة هاميلتون في الفيزياء (بالإنجليزية:Hamilton function ) H ( t , q , p ) {\displaystyle {\mathcal {H}}(t,q,p)} هي معادلة تصف حركة نظام مكون من جسيمات وتعطي طاقته كدالة لموضع الجسيمات و وزخم حركتها . وهي معادلة تعتمد على الزمن t {\displaystyle t} و إحداثيات الوضع q = ( q 1 , q 2 … q n ) {\displaystyle q=(q_{1},q_{2}\dots q_{n})} و زخم الحركة لكل الجسيمات p = ( p 1 , p 2 … p n ) {\displaystyle p=(p_{1},p_{2}\dots p_{n})} .
عند دراسة حركة جسيم كتلته m {\displaystyle m} يتحرك بسرعة أقل بكثير من سرعة الضوء ويوجد في بئر جهدي V (مثال تقريبي : إلكترون يتحرك في جهد نواة الذرة ) ، فيمكن حساب طاقة الحركة و طاقة الوضع للجسيم (الإلكترون) بالمعادلة:
H ( t , q , p ) = p 2 2 m + V ( q ) {\displaystyle {\mathcal {H}}(t,\mathbf {q} ,\mathbf {p} )={\frac {\mathbf {p} ^{2}}{2\,m}}+V(\mathbf {q} )} [1] أما إذا أردنا وصف جسيم حر طليق يتحرك بسرعة مقاربة من سرعة الضوء نحصل على العلاقة بين الطاقة E وزخم الحركة p للجسيم الحر كالآتي:
E 2 − p 2 c 2 = m 2 c 4 {\displaystyle E^{2}-\mathbf {p} ^{2}\,c^{2}=m^{2}\,c^{4}} حيث c سرعة الضوء ,
وتكون معادلة هاميلتون للجسيم الحر (مع أخذ تأثيرات النظرية النسبية الخاصة لأينشتاين في الحسبان) :
H ( t , q , p ) = m 2 c 4 + p 2 c 2 . {\displaystyle {\mathcal {H}}(t,\mathbf {q} ,\mathbf {p} )={\sqrt {m^{2}\,c^{4}+\mathbf {p} ^{2}\,c^{2}}}\,.} في ذلك المثالين (جسيم يتحرك في بئر جهدي لنواة أو جسيم حر) لا تعتمد دالة هاميلتون على الزمن ، وعلى ذلك يحتفظ الجسيم بطاقته الابتدائية ، فتكون طاقة الجسيم كمية محفوطة .
دالة هاميلتون و دالة لاغرانج [ عدل ] تمكن تحويل دالة هاميلتون عن طريق تحويل ليجاندر فنحصل على دالة لاغرانج L ( t , q , q ˙ ) {\displaystyle {\mathcal {L}}(t,q,{\dot {q}})} التي تعتمد على الإحداثيات المعممة للوضع والسرعات , q ˙ = ( q ˙ 1 , q ˙ 2 … q ˙ n ) {\displaystyle {\dot {q}}=({\dot {q}}_{1},{\dot {q}}_{2}\dots {\dot {q}}_{n})} :
H ( t , q , p ) = ∑ k = 1 n q ˙ k p k − L ( t , q , q ˙ ) {\displaystyle {\mathcal {H}}(t,q,p)=\sum _{k=1}^{n}{\dot {q}}_{k}\,p_{k}-{\mathcal {L}}(t,q,{\dot {q}})} نجد على اليمين السرعات q ˙ {\displaystyle {\dot {q}}} التي تؤول إلى الدوال q ˙ ( t , q , p ) {\displaystyle {\dot {q}}(t,q,p)} عند تعريف زخوم الحركة حيث زخم الحركة p :
p k = ∂ L ∂ q ˙ k {\displaystyle p_{k}={\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial {\dot {q}}_{k}}}} واستنباطها من السرعات.
وعلى سبيل المثال يعتمد زخم الحركة لجسيم يتحرك بسرعة مقاربة من سرعة الضوء طبقا لدالة لاغرانج :
L = − m c 2 1 − q ˙ 2 / c 2 {\displaystyle {\mathcal {L}}=-m\,c^{2}{\sqrt {1-{\dot {\mathbf {q} }}^{2}/c^{2}}}} p = m q ˙ 1 − q ˙ 2 / c 2 {\displaystyle \mathbf {p} ={\frac {m{\dot {\mathbf {q} }}}{\sqrt {1-{\dot {\mathbf {q} }}^{2}/c^{2}}}}} أي يعتمد زخم الحركة على السرعات .
وبالعكس نجد ان السرعة دالة لزخم الحركة :
q ˙ = p c 2 m 2 c 4 + p 2 c 2 {\displaystyle {\dot {\mathbf {q} }}={\frac {\mathbf {p} \,c^{2}}{\sqrt {m^{2}\,c^{4}+\mathbf {p} ^{2}\,c^{2}}}}} وتحدد دالة هاميلتون تغير مكان الجسيمات و زخمها الحركي مع الزمن من خلال معادلة هاميلتون للحركة .
q ˙ k = ∂ H ∂ p k , p ˙ k = − ∂ H ∂ q k . {\displaystyle {\dot {q}}_{k}={\frac {\partial {\mathcal {H}}}{\partial p_{k}}}\ ,\quad {\dot {p}}_{k}=-{\frac {\partial {\mathcal {H}}}{\partial q_{k}}}\,.} كذلك يعين معامل هاميلتون التغير مع الزمن في ميكانيكا الكم . ويمكن الحصول عليه في مسائل كثيرة من دالة هاميلتون مع أخذ الكمومية في الاعتبار ، وصياغة الدالة H ( t , q , p ) {\displaystyle {\mathcal {H}}(t,q,p)} كدالة للمعاملين q {\displaystyle q} و p {\displaystyle p} .
مراجع [ عدل ] ^ les maths en physiques"la physiques à travers le filtre des mathématiques" انظر أيضا [ عدل ]