في التوافقيات، متطابقة فانديرموند (بالإنجليزية: Vandermonde's identity) هي المتطابقة التالية للمعاملات الثنائية:
حيث r و m و n أعداد صحيحة.[1]
سميت هذه المتطابقة هكذا نسبة إلى ألكسندر ثيوفيل فانديرموند (1772)، رغم أنها كانت معروفة من قبل منذ 1303 لدى الرياضياتي الصيني زو شيجيه (شو شي-شييه).
براهين[عدل]
بشكل عام، يعطى جداء متعددتي حدود درجتاهما "m" و "n" ، على التوالي، ب
من خلال النظرية الحدانية
باستخدام النظرية الحدانية أيضا ل m و n، ثم المعادلة أعلاه لجداء حدوديتين، نحصل على:
![{\displaystyle {\begin{aligned}\sum _{k=0}^{m+n}{m+n \choose k}x^{k}&=(1+x)^{m+n}\\&=(1+x)^{m}(1+x)^{n}\\&={\biggl (}\sum _{i=0}^{m}{m \choose i}x^{i}{\biggr )}{\biggl (}\sum _{j=0}^{n}{n \choose j}x^{j}{\biggr )}\\&=\sum _{k=0}^{m+n}{\biggl (}\sum _{r=0}^{k}{m \choose r}{n \choose k-r}{\biggr )}x^{k},\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0ce8bc36745034ee789d2ab3f3a91dd703aa4a12)
من خلال مقارنة معاملات xk نجد أن
تقابلي[عدل]
احتمالي[عدل]
مثال استعمال[عدل]
أثبت أن
البرهان
المجموع أعلاه هو حالة خاصة من متطابقة فانديرموند عند
هكذا نحصل على
إذن، حسب المتطابقة
، يكون
![{\displaystyle .\sum _{r=0}^{n}{n \choose r}^{2}={2n \choose n}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/145f8b426d5355537d065966763e797c13ef33b0)
متطابقة شو-فانديرموند[عدل]
متطابقة شو-فانديرموند باسم فانديرموند والرياضياتي الصيني زو شيجيه (حوالي 1260 - حوالي 1320) تعمم متطابقة فانديرموند لقيم غير صحيحة (باستعمال التعريف المعمم للمعاملات الثنائية،
):
مراجع[عدل]
https://brilliant.org/wiki/vandermondes-identity/
Askey، Richard (1975)، متعددة حدود متعامدة and دوال خاصةs، Regional Conference Series in Applied Mathematics، Philadelphia, PA: SIAM، ج. 21، ص. viii+110.