مبرهنة الفردية

يفتقر محتوى هذه المقالة إلى الاستشهاد بمصادر. فضلاً، ساهم في تطوير هذه المقالة من خلال إضافة مصادر موثوق بها. أي معلومات غير موثقة يمكن التشكيك بها وإزالتها. (يناير 2022)

نظرية الفردية لمعادلة بواسون هي نظرية تنص على أن المعادلة لها تدرج واحد فريد في مسائل القيم الحدية , وفي حالة الكهروستاتيكا إذا وجد حقل كهربائي يحقق الشروط الحدية , يكون هذا الحقل هو الحقل الكهربائي الكامل .

الإثبات[عدل]

في الكهروستاتيكا التعبير العام لمعادلة بواسون بالوحدات الفيزيائية الجاوسية هو

${\displaystyle \mathbf {\nabla } \cdot (\epsilon \mathbf {\nabla } \varphi )=-4\pi \rho _{f}}$

حيث

${\displaystyle \varphi }$ هو الجهد الكهربائي .

${\displaystyle \mathbf {E} =-\mathbf {\nabla } \varphi }$ هو المجال الكهربي .

ويتم إثبات النظرية الفردية لمعادلة بواسون بطرق كثيرة منها ما يلي .

نفترض وجود حلان لمعادلة ما هما ${\displaystyle \varphi _{1}}$ و ${\displaystyle \varphi _{2}}$ , و ${\displaystyle \phi }$ هو الفرق بين قيمة الحلين ${\displaystyle \phi =\varphi _{2}-\varphi _{1}}$ .

وبما أن ${\displaystyle \varphi _{1}}$ و ${\displaystyle \varphi _{2}}$ تحققان معادلة بواسون . فيجب بالضرورة أن تحققها ${\displaystyle \phi }$ .

${\displaystyle \mathbf {\nabla } \cdot (\epsilon \mathbf {\nabla } \phi )=0}$

وباستخدام التعريف

${\displaystyle \nabla \cdot (\phi \epsilon \,\nabla \phi )=\epsilon \,(\nabla \phi )^{2}+\phi \nabla \cdot (\epsilon \,\nabla \phi )}$

وعند الأخذ في الاعتبار أن قيمة الحد الثاني يساوي 0 . يمكن كتابه المعادلة بالشكل التالي :

${\displaystyle \mathbf {\nabla } \cdot (\phi \epsilon \mathbf {\nabla } \phi )=\epsilon (\mathbf {\nabla } \phi )^{2}}$

وبأخذ التكامل الحجمي تكون المعادلة بالشكل التالي :

${\displaystyle \int _{V}\mathbf {\nabla } \cdot (\phi \epsilon \mathbf {\nabla } \phi )d^{3}\mathbf {r} =\int _{V}\epsilon (\mathbf {\nabla } \phi )^{2}\,d^{3}\mathbf {r} }$

وبتطبيق نظرية جاوس يمكن كتابه المعادلة بالشكل التالي :

${\displaystyle \sum _{i}\int _{S_{i}}(\phi \epsilon \mathbf {\nabla } \phi )\cdot \mathbf {dS} =\int _{V}\epsilon (\mathbf {\nabla } \phi )^{2}\,d^{3}\mathbf {r} }$

حيث

${\displaystyle S_{i}}$ هي حدود الأسطح التي تحددها الشروط الحدية .

وبما أن

${\displaystyle \epsilon >0}$ و ${\displaystyle (\mathbf {\nabla } \phi )^{2}\geq 0}$

إذا

${\displaystyle \mathbf {\nabla } \phi }$ يجب أن تكون مساوية للصفر في أي مكان، وتكون ${\displaystyle \mathbf {\nabla } \varphi _{1}=\mathbf {\nabla } \varphi _{2}}$ .

وهذا يعني أن المعادلة لها تدرج واحد فريد عندما تكون

${\displaystyle \sum _{i}\int _{S_{i}}(\phi \epsilon \,\mathbf {\nabla } \phi )\cdot \mathbf {dS} =0}$

بشرط أن يكون :

1. ${\displaystyle \varphi }$ معرفة على كل حدود السطح، وتكون ${\displaystyle \varphi _{1}=\varphi _{2}}$ , وبالتالي تصبح ${\displaystyle \phi =0}$ .
2. ${\displaystyle \mathbf {\nabla } \varphi }$ معرفة على كل حدود السطح، وتكون ${\displaystyle \mathbf {\nabla } \varphi _{1}=\mathbf {\nabla } \varphi _{2}}$ , وبالتالي تصبح ${\displaystyle \mathbf {\nabla } \phi =0}$ .
3. أن تحقق ${\displaystyle \mathbf {\nabla } \varphi }$ قانون جاوس

انظر أيضا[عدل]

• معادلة بواسون
• قانون جاوس
• قانون كولوم
• توافقات كروية
• سيمنز (وحدة)
• مطاوعة كهربائية

• بوابة الفيزياء
• بوابة رياضيات