عدد مثلثي تربيعي 36 تم تمثيله كعدد مثلثي وكعدد مربع. العدد المثلثي التربيعي (أو العدد التربيعي المثلثي ) Square triangular number هو عدد عدد مثلثي ومربع كامل . هنالك أعداد لانهائية مثلثية تربيعية، الأولى منها هي 0, 1, 36, 1225, 41616, 1413721, 48024900, 1631432881, 55420693056, 1882672131025 (متسلسلة A001110 في OEIS ).
الصيغ الصريحة [ عدل ] بكتابة N k للعدد المثلثي التربيعي k وبكتابة s k وt k لأطراف التربيع والتكعيب المقابلة بالصورة
N k = s k 2 = t k ( t k + 1 ) 2 . {\displaystyle N_{k}=s_{k}^{2}={\frac {t_{k}(t_{k}+1)}{2}}.} عرف الجذر المثلثي للعدد المثلثي N = n ( n + 1 ) 2 {\displaystyle N={\frac {n(n+1)}{2}}} على أنه n {\displaystyle n} . من التعريف ومن الصيغة التربيعية n = 8 N + 1 − 1 2 . {\displaystyle n={\frac {{\sqrt {8N+1}}-1}{2}}.} لذلك، N {\displaystyle N} يكون مثلثي إذا وإذا كان فقط 8 N + 1 {\displaystyle 8N+1} تربيعيا. بناء عليه، M 2 {\displaystyle M^{2}} يكون تربيعيا ومثلثيا إذا وإذا كان فقط 8 M 2 + 1 {\displaystyle 8M^{2}+1} تربيعيا، بعبارة أخرى، توجد أعداد x {\displaystyle x} و y {\displaystyle y} بحيث x 2 − 8 y 2 = 1 {\displaystyle x^{2}-8y^{2}=1} . هذه صورة من معادلة بيل مع n = 8 {\displaystyle n=8} . جميع معادلات بيل لها حلول بديهية لأي قيمة n، يدعى هذا الحل بالصفري ويفهرس ( x 0 , y 0 ) {\displaystyle (x_{0},y_{0})} . إذا كان ( x k , y k ) {\displaystyle (x_{k},y_{k})} يرمز إلى الحل اللابديهي k لأي معادلة بيل لقيمة محدد n، فيمكن تبيان أن x k + 1 = 2 x k x 1 − x k − 1 {\displaystyle x_{k+1}=2x_{k}x_{1}-x_{k-1}} و y k + 1 = 2 y k x 1 − y k − 1 {\displaystyle y_{k+1}=2y_{k}x_{1}-y_{k-1}} . بالتالي هناك لانهاية من الحلول لأي معادلة بيل بحيث لها حل لابديهي محقق كلما كانت n غير مربعة. الحل اللابديهي الأول عندما n=8 سهل الإيجاد: إنه (3,1). الحل ( x k , y k ) {\displaystyle (x_{k},y_{k})} لمعادلة بيل عندما n=8 ينتج عدد مثلثي تربيعي وجذورة التربيعية والمثلثية: s k = y k , t k = x k − 1 2 , {\displaystyle s_{k}=y_{k},t_{k}={\frac {x_{k}-1}{2}},} و N k = y k 2 . {\displaystyle N_{k}=y_{k}^{2}.} بالتالي، العدد المثلثي التربيعية الأول، مشتق من (3,1), is 1، والثاني مشتق من (17,6) (=6×(3,1)-(1,0)), هو 36.
في 1778 استطاع ليونارد أويلر إيجاد الصيغة الصريحة [1] [2] :12–13
N k = ( ( 3 + 2 2 ) k − ( 3 − 2 2 ) k 4 2 ) 2 . {\displaystyle N_{k}=\left({\frac {(3+2{\sqrt {2}})^{k}-(3-2{\sqrt {2}})^{k}}{4{\sqrt {2}}}}\right)^{2}.} من الصيغ الأخرى المكافئة (نحصل عليها من نشر هذه الصيغة) التي قد تكون مناسبة
N k = 1 32 ( ( 1 + 2 ) 2 k − ( 1 − 2 ) 2 k ) 2 = 1 32 ( ( 1 + 2 ) 4 k − 2 + ( 1 − 2 ) 4 k ) = 1 32 ( ( 17 + 12 2 ) k − 2 + ( 17 − 12 2 ) k ) . {\displaystyle {\begin{aligned}N_{k}&={1 \over 32}\left((1+{\sqrt {2}})^{2k}-(1-{\sqrt {2}})^{2k}\right)^{2}={1 \over 32}\left((1+{\sqrt {2}})^{4k}-2+(1-{\sqrt {2}})^{4k}\right)\\&={1 \over 32}\left((17+12{\sqrt {2}})^{k}-2+(17-12{\sqrt {2}})^{k}\right).\end{aligned}}} الصيغ الصريحة المقابلة لـ s k وt k هي [2] :13
s k = ( 3 + 2 2 ) k − ( 3 − 2 2 ) k 4 2 {\displaystyle s_{k}={\frac {(3+2{\sqrt {2}})^{k}-(3-2{\sqrt {2}})^{k}}{4{\sqrt {2}}}}} و
t k = ( 3 + 2 2 ) k + ( 3 − 2 2 ) k − 2 4 . {\displaystyle t_{k}={\frac {(3+2{\sqrt {2}})^{k}+(3-2{\sqrt {2}})^{k}-2}{4}}.} معادلة بيل [ عدل ] تنخفض مسألة الأعداد التربيعية المثلثية إلى معادلة بيل بالطريقة التالية.[3] كل عدد مثلثي هو بالصورة t (t + 1)/2. لذلك نبحث عن أعداد صحيحة t ، s بحيث
t ( t + 1 ) 2 = s 2 . {\displaystyle {\frac {t(t+1)}{2}}=s^{2}.} بتحليل جبري بسيط تصبح
( 2 t + 1 ) 2 = 8 s 2 + 1 , {\displaystyle (2t+1)^{2}=8s^{2}+1,} ثم بجعل x = 2t + 1 وy = 2s ، نحصل على معادلة ديفونتية
x 2 − 2 y 2 = 1 {\displaystyle x^{2}-2y^{2}=1} وهي صورة من معادلة بيل . هذه المعادلة بالذات تحل عن طريق عدد بيلs P k بصورة [4]
x = P 2 k + P 2 k − 1 , y = P 2 k ; {\displaystyle x=P_{2k}+P_{2k-1},\quad y=P_{2k};} ولذلك فإن جميع الحلول تعطى بالعلاقة
s k = P 2 k 2 , t k = P 2 k + P 2 k − 1 − 1 2 , N k = ( P 2 k 2 ) 2 . {\displaystyle s_{k}={\frac {P_{2k}}{2}},\quad t_{k}={\frac {P_{2k}+P_{2k-1}-1}{2}},\quad N_{k}=\left({\frac {P_{2k}}{2}}\right)^{2}.} هناك العديد من المتطابقات حول عدد بيل، وهذه تترجم إلى متطابقات حول العدد التربيعي المثلثي.
علاقات المعاودة أو التكرار [ عدل ] هناك صيغ تكرارية للأعداد التربيعية المثلثية، وكذلك للمربعات والمثلثيات ذات العلاقة. لدينا[5] :(12)
N k = 34 N k − 1 − N k − 2 + 2 , with N 0 = 0 and N 1 = 1. {\displaystyle N_{k}=34N_{k-1}-N_{k-2}+2,{\text{ with }}N_{0}=0{\text{ and }}N_{1}=1.} N k = ( 6 N k − 1 − N k − 2 ) 2 , with N 0 = 0 and N 1 = 1. {\displaystyle N_{k}=\left(6{\sqrt {N_{k-1}}}-{\sqrt {N_{k-2}}}\right)^{2},{\text{ with }}N_{0}=0{\text{ and }}N_{1}=1.} لدينا[1] [2] :13
s k = 6 s k − 1 − s k − 2 , with s 0 = 0 and s 1 = 1 ; {\displaystyle s_{k}=6s_{k-1}-s_{k-2},{\text{ with }}s_{0}=0{\text{ and }}s_{1}=1;} t k = 6 t k − 1 − t k − 2 + 2 , with t 0 = 0 and t 1 = 1. {\displaystyle t_{k}=6t_{k-1}-t_{k-2}+2,{\text{ with }}t_{0}=0{\text{ and }}t_{1}=1.} بيانات عددية [ عدل ] مع كبر قيمة k {\displaystyle k} ، تصبح النسبة t k / s k {\displaystyle t_{k}/s_{k}} قريبة من 2 ≈ 1.41421356 {\displaystyle {\sqrt {2}}\approx 1.41421356} ونسبة الأعداد التربيعية المثلية تقترب من ( 1 + 2 ) 4 = 17 + 12 2 ≈ 33.970562748 {\displaystyle (1+{\sqrt {2}})^{4}=17+12{\sqrt {2}}\approx 33.970562748} . الجدول التالي يعطي قيما من k {\displaystyle k} between 0 and 11، والتي توضح كل الأعداد التربيعية المثلثية حتى 100 000 000 {\displaystyle 100\,000\,000} .
k {\displaystyle k} N k {\displaystyle N_{k}} s k {\displaystyle s_{k}} t k {\displaystyle t_{k}} t k / s k {\displaystyle t_{k}/s_{k}} N k / N k − 1 {\displaystyle N_{k}/N_{k-1}} 0 {\displaystyle 0} 0 {\displaystyle 0} 0 {\displaystyle 0} 0 {\displaystyle 0} 1 {\displaystyle 1} 1 {\displaystyle 1} 1 {\displaystyle 1} 1 {\displaystyle 1} 1.00000000 {\displaystyle 1.00000000} 2 {\displaystyle 2} 36 {\displaystyle 36} 6 {\displaystyle 6} 8 {\displaystyle 8} 1.33333333 {\displaystyle 1.33333333} 36.000000000 {\displaystyle 36.000000000} 3 {\displaystyle 3} 1 225 {\displaystyle 1\,225} 35 {\displaystyle 35} 49 {\displaystyle 49} 1.40000000 {\displaystyle 1.40000000} 34.027777778 {\displaystyle 34.027777778} 4 {\displaystyle 4} 41 616 {\displaystyle 41\,616} 204 {\displaystyle 204} 288 {\displaystyle 288} 1.41176471 {\displaystyle 1.41176471} 33.972244898 {\displaystyle 33.972244898} 5 {\displaystyle 5} 1 413 721 {\displaystyle 1\,413\,721} 1 189 {\displaystyle 1\,189} 1 681 {\displaystyle 1\,681} 1.41379310 {\displaystyle 1.41379310} 33.970612265 {\displaystyle 33.970612265} 6 {\displaystyle 6} 48 024 900 {\displaystyle 48\,024\,900} 6 930 {\displaystyle 6\,930} 9 800 {\displaystyle 9\,800} 1.41414141 {\displaystyle 1.41414141} 33.970564206 {\displaystyle 33.970564206} 7 {\displaystyle 7} 1 631 432 881 {\displaystyle 1\,631\,432\,881} 40 391 {\displaystyle 40\,391} 57 121 {\displaystyle 57\,121} 1.41420118 {\displaystyle 1.41420118} 33.970562791 {\displaystyle 33.970562791} 8 {\displaystyle 8} 55 420 693 056 {\displaystyle 55\,420\,693\,056} 235 416 {\displaystyle 235\,416} 332 928 {\displaystyle 332\,928} 1.41421144 {\displaystyle 1.41421144} 33.970562750 {\displaystyle 33.970562750} 9 {\displaystyle 9} 1 882 672 131 025 {\displaystyle 1\,882\,672\,131\,025} 1 372 105 {\displaystyle 1\,372\,105} 1 940 449 {\displaystyle 1\,940\,449} 1.41421320 {\displaystyle 1.41421320} 33.970562749 {\displaystyle 33.970562749} 10 {\displaystyle 10} 63 955 431 761 796 {\displaystyle 63\,955\,431\,761\,796} 7 997 214 {\displaystyle 7\,997\,214} 11 309 768 {\displaystyle 11\,309\,768} 1.41421350 {\displaystyle 1.41421350} 33.970562748 {\displaystyle 33.970562748} 11 {\displaystyle 11} 2 172 602 007 770 041 {\displaystyle 2\,172\,602\,007\,770\,041} 46 611 179 {\displaystyle 46\,611\,179} 65 918 161 {\displaystyle 65\,918\,161} 1.41421355 {\displaystyle 1.41421355} 33.970562748 {\displaystyle 33.970562748}
طالع أيضا [ عدل ] وصلات خارجية [ عدل ] المصادر [ عدل ]