قاعدة لايبنتز للتكامل

ترميز لايبنتز للتفاضل

معلومات عامة

جزء من	تفاضل وتكامل
الاستعمال	تكامل مشتق
سُمِّي باسم	غوتفريد لايبنتس
يدرسه	تفاضل وتكامل
تعريف الصيغة	${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\int _{\alpha (x)}^{\beta (x)}f(x,y)\,\mathrm {d} y=f(x,\beta (x))\beta '(x)-f(x,\alpha (x))\alpha '(x)+\int _{\alpha (x)}^{\beta (x)}{\frac {\partial f(x,y)}{\partial x}}\,\mathrm {d} y}$
الرموز في الصيغة	${\displaystyle f}$ ${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}}$ ${\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)\,\mathrm {d} x}$
يستعمل	Parametric integral (en)

تعديل - تعديل مصدري - تعديل ويكي بيانات

جزء من سلسلة مقالات حول
التفاضل والتكامل
* المبرهنة الأساسية نهايات الدوال استمرارية مبرهنة القيمة المتوسطة مبرهنة رول تفاضل وتكامل كسري
حساب التفاضل اشتقاق حساب المتغيرات تفاضل ضمني مبرهنة تايلور معدلات مرتبطة متطابِقات قواعد قاعدة القوة قاعدة الضرب قاعدة ناتج القسمة قاعدة التسلسل قاعدة لايبنتز للتكامل
حساب التكامل تكامل قائمة التكاملات تكاملات معتلة تكامل ريمان تكامل متعدد التكامل بواسطة التجزئة الأقراص الطبقات الأسطوانية التعويض التعويضات المثلثية الكسور الجزئية تغيير الرتب
حساب المتسلسلات متسلسلة هندسية (حسابية هندسية) متسلسلة متناسقة متسلسلة متناوبة متسلسلة قوى متسلسلة ذو الحدين متسلسلة تايلور اختبارات التقارب اختبار الحد النوني اختبار النسبة اختبار الجذر اختبار التكامل للتقارب اختبار المقارنة اختبار مقارنة النهاية اختبار متسلسلة متناوبة اختبار التكثف لكوشي اختبار دركليه اختبار أبيل
حساب المتجهات تدرج تباعد دوران لابلاسي مبرهنة التدرج مبرهنة غرين مبرهنة ستوكس مبرهنة التباعد مبرهنة كلفن-ستوكس (مبرهنة الدوران)
حساب متعدد المتغيرات حسبان المصفوفات اشتقاق جزئي تكامل متعدد تكامل خطي تكامل سطحي تكامل حجمي جاكوبي
بوابة رياضيات
ع ن ت

قاعدة لايبنتز للتكامل هي قاعدة رياضياتية في حساب التفاضل والتكامل  سميت تيمنا بغوتفريد لايبنتز، والتي تقول أن كل تكامل على شاكلة:

${\displaystyle \int _{a(x)}^{b(x)}f(x,t)\,dt,}$

حيث أن  ${\displaystyle -\infty <a(x),b(x)<\infty }$ مشتقته  بالشكل التالي:

${\displaystyle {\frac {d}{dx}}\left(\int _{a(x)}^{b(x)}f(x,t)\,dt\right)=f{\big (}x,b(x){\big )}\cdot {\frac {d}{dx}}b(x)-f{\big (}x,a(x){\big )}\cdot {\frac {d}{dx}}a(x)+\int _{a(x)}^{b(x)}{\frac {\partial }{\partial x}}f(x,t)\,dt,}$

حيث آن المشتق الجزئي يدل على أن ما داخل التكامل يمكن الأخذ به عندما يكون المتغير f(x, t) x يعتبر في اتخاذ مشتق.^[1] لاحظ أنه إذا كان كلا من ${\displaystyle a(x)}$ و ${\displaystyle b(x)}$ ثوابت، بمعنى أنّ ${\displaystyle a(x)\equiv a}$ و ${\displaystyle b(x)\equiv b}$، فسنحصل على التعبير التّالي:

${\displaystyle {\frac {d}{dx}}\left(\int _{a}^{b}f(x,t)\,dt\right)=\int _{a}^{b}{\frac {\partial }{\partial x}}f(x,t)\,dt.}$

حالة الأبعاد الثلاثة التي تعتمد على الزمن[عدل]

ان قاعدة لايبنتز للأبعاد الثنائية هي:^[2]

${\displaystyle {\frac {d}{dt}}\iint _{\Sigma (t)}\mathbf {F} (\mathbf {r} ,t)\cdot d\mathbf {A} =\iint _{\Sigma (t)}\left(\mathbf {F} _{t}(\mathbf {r} ,t)+\left[\nabla \cdot \mathbf {F} (\mathbf {r} ,t)\right]\mathbf {v} \right)\cdot d\mathbf {A} -\oint _{\partial \Sigma (t)}\left[\mathbf {v} \times \mathbf {F} (\mathbf {r} ,t)\right]\cdot d\mathbf {s} ,}$

حيث أن:

F(r, t) هو حقل متجه في موقف المكاني r في الوقت t,

Σ هو سطح متنقل في مساحة ثلاثية يحدها منحنى مغلق ∂Σ ،

dA هو متجه عنصر من سطح Σ،

ds هو متجه عنصر من منحنى ∂Σ،

v هي سرعة الحركة من المنطقة Σ،

∇⋅ هو متجه الاختلاف،

× هو متجه عبر المنتج،

إن ضعف التكامل هي التكاملات السطحية على سطح Σ و خط متكامل على إحاطة منحنى ∂Σ.

الأبعاد العليا[عدل]

يمكن تمديد قانون ليبنيز ليشمل تكاملات في أبعاد متعددة. تسمى في حالة البعدين والثلاثة بمجال ديناميات السوائل كما في نظرية رينولدز للنقل:

${\displaystyle {\frac {d}{dt}}\int _{D(t)}F({\vec {\textbf {x}}},t)\,dV=\int _{D(t)}{\frac {\partial }{\partial t}}F({\vec {\textbf {x}}},t)\,dV+\int _{\partial D(t)}F({\vec {\textbf {x}}},t){\vec {\textbf {v}}}_{b}\cdot d\mathbf {\Sigma } ,}$

انظر أيضًا[عدل]

• قاعدة السلسلة
• قاعدة لايبنيز العامة

المراجع[عدل]

مزيد من القراءة[عدل]

• Frederick S. Woods (1934). Advanced Calculus (ط. New). Ginn and Company. ASIN:B0006AMNBI.
• Frederick S. Woods (1926). Advanced Calculus (ط. 1st). Ginn and Company. ASIN:B00085L67S.
• David V. Widder (يوليو 1990). Advanced Calculus (ط. New). Dover Publications Inc. ISBN:978-0-486-66103-2.

• بوابة تحليل رياضي
• بوابة رياضيات