حل معادلة تفاضلية جزئية من خلال طريقة عنصر نهائي. في الرياضيات '''التقطيع''' هي معنية بطريقة تحويل الدوال المتصلة والنماذج والمعادلات الي اجزاء منفصلة متساوية. وهذة العملية هي غالبا ما تحدث كأول خطوة لتحويلهم لشكل مناسب للتقييم العددى والتطبيق الرقمي علي أجهزة الحاسوب. معالجة البيانات علي الحاسوب يتطلب عمليات وطرق اخري تسمي التكميم . ان '''التفرع الثنائي''' هو حالة خاصة من التقطيع حيث ان عدد الفصول التي يتم التقطيع علي اساسها هو 2 , التي يمكنها تقريب متغير متصل ل''' متغير ثنائي''' وجعلها مناسبة لأغراض النمذجة.
ان التقطيع أيضا لها علاقة بالرياضيات التقطيع، وهي أيضا عنصر مهم في الحوسبة الحبيبية .[1]
أينما يتم تقطيع وتفصيل البيانات المتصلة، فهناك دائما بعض الأخطاء الناتجة عن التقطيع .والهدف هنا يكون في تقليل كمية تلك الأخطاء الي مستوي يمكن أهماله لأغراض النمذجة التي بين يدينا.
تقطيع النماذج الخطية حالية المحاور [ عدل ] ان عملية التقطيع أيضا متعلقة بتحويل المعادلات التفاضلية المتصلة الي معادلات فريقة مقسمة ومقطعة مناسبة للعمليات العددية.
المعادلات الاتية هي لنموذج المحاور الحالية متصل الزمن
x ˙ ( t ) = A x ( t ) + B u ( t ) + w ( t ) {\displaystyle {\dot {\mathbf {x} }}(t)=\mathbf {A} \mathbf {x} (t)+\mathbf {B} \mathbf {u} (t)+\mathbf {w} (t)} y ( t ) = C x ( t ) + D u ( t ) + v ( t ) {\displaystyle \mathbf {y} (t)=\mathbf {C} \mathbf {x} (t)+\mathbf {D} \mathbf {u} (t)+\mathbf {v} (t)} حيث أن الv و الw هما مصدران ضوضاء بيضاء ذات المتوسط صفر متصلة
w ( t ) ∼ N ( 0 , Q ) {\displaystyle \mathbf {w} (t)\sim N(0,\mathbf {Q} )} v ( t ) ∼ N ( 0 , R ) {\displaystyle \mathbf {v} (t)\sim N(0,\mathbf {R} )} و هنا يمكن تقطيعها بفرض ان الدرجة الصفرية للداخل u و التكامل المتصل للضوضاء إلى v
x [ k + 1 ] = A d x [ k ] + B d u [ k ] + w [ k ] {\displaystyle \mathbf {x} [k+1]=\mathbf {A} _{d}\mathbf {x} [k]+\mathbf {B} _{d}\mathbf {u} [k]+\mathbf {w} [k]} y [ k ] = C d x [ k ] + D d u [ k ] + v [ k ] {\displaystyle \mathbf {y} [k]=\mathbf {C} _{d}\mathbf {x} [k]+\mathbf {D} _{d}\mathbf {u} [k]+\mathbf {v} [k]} مع التغايرات
w [ k ] ∼ N ( 0 , Q d ) {\displaystyle \mathbf {w} [k]\sim N(0,\mathbf {Q} _{d})} v [ k ] ∼ N ( 0 , R d ) {\displaystyle \mathbf {v} [k]\sim N(0,\mathbf {R} _{d})} حيث أن
A d = e A T = L − 1 { ( s I − A ) − 1 } t = T {\displaystyle \mathbf {A} _{d}=e^{\mathbf {A} T}={\mathcal {L}}^{-1}\{(s\mathbf {I} -\mathbf {A} )^{-1}\}_{t=T}} B d = ( ∫ τ = 0 T e A τ d τ ) B = A − 1 ( A d − I ) B {\displaystyle \mathbf {B} _{d}=\left(\int _{\tau =0}^{T}e^{\mathbf {A} \tau }d\tau \right)\mathbf {B} =\mathbf {A} ^{-1}(\mathbf {A} _{d}-I)\mathbf {B} } A {\displaystyle \mathbf {A} } غير مفردة C d = C {\displaystyle \mathbf {C} _{d}=\mathbf {C} } D d = D {\displaystyle \mathbf {D} _{d}=\mathbf {D} } Q d = ∫ τ = 0 T e A τ Q e A T τ d τ {\displaystyle \mathbf {Q} _{d}=\int _{\tau =0}^{T}e^{\mathbf {A} \tau }\mathbf {Q} e^{\mathbf {A} ^{T}\tau }d\tau } R d = 1 T R {\displaystyle \mathbf {R} _{d}={\frac {1}{T}}\mathbf {R} } و الT هنا هي عينة تقطيع زمن الزمن حيث أن A T {\displaystyle \mathbf {A} ^{T}} A {\displaystyle \mathbf {A} }
وبخدعة ذكية لحساب ال A d B d
e [ A B 0 0 ] T = [ M 11 M 12 0 I ] {\displaystyle e^{{\begin{bmatrix}\mathbf {A} &\mathbf {B} \\\mathbf {0} &\mathbf {0} \end{bmatrix}}T}={\begin{bmatrix}\mathbf {M_{11}} &\mathbf {M_{12}} \\\mathbf {0} &\mathbf {I} \end{bmatrix}}} وبالتالي نحصل علي
A d = M 11 {\displaystyle \mathbf {A} _{d}=\mathbf {M} _{11}} B d = M 12 {\displaystyle \mathbf {B} _{d}=\mathbf {M} _{12}} تقطيع عملية الضوضاء [ عدل ] ان التقييم العددي لل Q d {\displaystyle \mathbf {Q} _{d}}
F = [ − A Q 0 A T ] T {\displaystyle \mathbf {F} ={\begin{bmatrix}-\mathbf {A} &\mathbf {Q} \\\mathbf {0} &\mathbf {A} ^{T}\end{bmatrix}}T} G = e F = [ … A d − 1 Q d 0 A d T ] . {\displaystyle \mathbf {G} =e^{\mathbf {F} }={\begin{bmatrix}\dots &\mathbf {A} _{d}^{-1}\mathbf {Q} _{d}\\\mathbf {0} &\mathbf {A} _{d}^{T}\end{bmatrix}}.} بعد ذلك عملية تقطيع الضوضاء يمكن تقييمها بضرب مقلوب الجزء السفلي الأيمن من المصفوفة G في الجزء العلوي الأيمن من المصفوفة G
Q d = ( A d T ) T ( A d − 1 Q d ) . {\displaystyle \mathbf {Q} _{d}=(\mathbf {A} _{d}^{T})^{T}(\mathbf {A} _{d}^{-1}\mathbf {Q} _{d}).} الاستنتاج [ عدل ] بداية بالنموذج المتصل
x ˙ ( t ) = A x ( t ) + B u ( t ) {\displaystyle \mathbf {\dot {x}} (t)=\mathbf {A} \mathbf {x} (t)+\mathbf {B} \mathbf {u} (t)} نعرف بأن المصفوفة الأسية هي :
d d t e A t = A e A t = e A t A {\displaystyle {\frac {d}{dt}}e^{\mathbf {A} t}=\mathbf {A} e^{\mathbf {A} t}=e^{\mathbf {A} t}\mathbf {A} } ومع ضرب النموذج مسبقا نجد :
e − A t x ˙ ( t ) = e − A t A x ( t ) + e − A t B u ( t ) {\displaystyle e^{-\mathbf {A} t}\mathbf {\dot {x}} (t)=e^{-\mathbf {A} t}\mathbf {A} \mathbf {x} (t)+e^{-\mathbf {A} t}\mathbf {B} \mathbf {u} (t)} التي نعرفها بأنها
d d t ( e − A t x ( t ) ) = e − A t B u ( t ) {\displaystyle {\frac {d}{dt}}(e^{-\mathbf {A} t}\mathbf {x} (t))=e^{-\mathbf {A} t}\mathbf {B} \mathbf {u} (t)} ومع التكامل نجد..
e − A t x ( t ) − e 0 x ( 0 ) = ∫ 0 t e − A τ B u ( τ ) d τ {\displaystyle e^{-\mathbf {A} t}\mathbf {x} (t)-e^{0}\mathbf {x} (0)=\int _{0}^{t}e^{-\mathbf {A} \tau }\mathbf {B} \mathbf {u} (\tau )d\tau } x ( t ) = e A t x ( 0 ) + ∫ 0 t e A ( t − τ ) B u ( τ ) d τ {\displaystyle \mathbf {x} (t)=e^{\mathbf {A} t}\mathbf {x} (0)+\int _{0}^{t}e^{\mathbf {A} (t-\tau )}\mathbf {B} \mathbf {u} (\tau )d\tau } التي هي حل تحليلي للنموذج المتصل
والان يمكننا تقطيع المصطلح الذي بالأعلي. فنفترض ان u هي ثابتة أثناء كل خطوة زمنية. : x [ k ] = d e f x ( k T ) {\displaystyle \mathbf {x} [k]\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ \mathbf {x} (kT)}
x [ k ] = e A k T x ( 0 ) + ∫ 0 k T e A ( k T − τ ) B u ( τ ) d τ {\displaystyle \mathbf {x} [k]=e^{\mathbf {A} kT}\mathbf {x} (0)+\int _{0}^{kT}e^{\mathbf {A} (kT-\tau )}\mathbf {B} \mathbf {u} (\tau )d\tau } x [ k + 1 ] = e A ( k + 1 ) T x ( 0 ) + ∫ 0 ( k + 1 ) T e A ( ( k + 1 ) T − τ ) B u ( τ ) d τ {\displaystyle \mathbf {x} [k+1]=e^{\mathbf {A} (k+1)T}\mathbf {x} (0)+\int _{0}^{(k+1)T}e^{\mathbf {A} ((k+1)T-\tau )}\mathbf {B} \mathbf {u} (\tau )d\tau } x [ k + 1 ] = e A T [ e A k T x ( 0 ) + ∫ 0 k T e A ( k T − τ ) B u ( τ ) d τ ] + ∫ k T ( k + 1 ) T e A ( k T + T − τ ) B u ( τ ) d τ {\displaystyle \mathbf {x} [k+1]=e^{\mathbf {A} T}\left[e^{\mathbf {A} kT}\mathbf {x} (0)+\int _{0}^{kT}e^{\mathbf {A} (kT-\tau )}\mathbf {B} \mathbf {u} (\tau )d\tau \right]+\int _{kT}^{(k+1)T}e^{\mathbf {A} (kT+T-\tau )}\mathbf {B} \mathbf {u} (\tau )d\tau } يمكننا ان نلاحظ المصطلحات ذات الأقواس مثل x [ k ] {\displaystyle \mathbf {x} [k]} v = k T + T − τ {\displaystyle v=kT+T-\tau } x [ k + 1 ] = e A T x [ k ] + ( ∫ 0 T e A v d v ) B u [ k ] = e A T x [ k ] + A − 1 ( e A T − I ) B u [ k ] {\displaystyle {\begin{matrix}\mathbf {x} [k+1]&=&e^{\mathbf {A} T}\mathbf {x} [k]+\left(\int _{0}^{T}e^{\mathbf {A} v}dv\right)\mathbf {B} \mathbf {u} [k]\\&=&e^{\mathbf {A} T}\mathbf {x} [k]+\mathbf {A} ^{-1}\left(e^{\mathbf {A} T}-\mathbf {I} \right)\mathbf {B} \mathbf {u} [k]\end{matrix}}}
التي هي حل دقيق لمسألة التقطيع
التقريبات [ عدل ] ان عملية التقطيع الدقيقة أحيانا قد تصبح معقدة بسبب احتوائها علي المصفوفات الأسية وعمليات التكامل الثقيلة. وأن نقوم بحساب التقريبات للنموذج المقطع هو أكثر سهولة بناءا علي الخطوات الزمنية الصغيرة e A T ≈ I + A T {\displaystyle e^{\mathbf {A} T}\approx \mathbf {I} +\mathbf {A} T}
x [ k + 1 ] ≈ ( I + A T ) x [ k ] + T B u [ k ] {\displaystyle \mathbf {x} [k+1]\approx (\mathbf {I} +\mathbf {A} T)\mathbf {x} [k]+T\mathbf {B} \mathbf {u} [k]} هناك بعض صور التقريبات الأخرى المحتملة e A T ≈ ( I − A T ) − 1 {\displaystyle e^{\mathbf {A} T}\approx \left(\mathbf {I} -\mathbf {A} T\right)^{-1}} e A T ≈ ( I + 1 2 A T ) ( I − 1 2 A T ) − 1 {\displaystyle e^{\mathbf {A} T}\approx \left(\mathbf {I} +{\frac {1}{2}}\mathbf {A} T\right)\left(\mathbf {I} -{\frac {1}{2}}\mathbf {A} T\right)^{-1}}
تقطيع الصفات المتصلة [ عدل ] في الاحصائيات وتعليم الآلة ان التقطيع يشير الي عملية تحويل الصفات المتصلة أو المتغيرات الي صفات مقطعة.وهذا يمكنه انه يكون مفيد عندما نعمل في دوال الاحتمالات الكبيرة.
مراجع [ عدل ] 
![{\displaystyle \mathbf {x} [k+1]=\mathbf {A} _{d}\mathbf {x} [k]+\mathbf {B} _{d}\mathbf {u} [k]+\mathbf {w} [k]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4e76d3f00a4ffc2b8214171b120b5c64ed67ecad)
![{\displaystyle \mathbf {y} [k]=\mathbf {C} _{d}\mathbf {x} [k]+\mathbf {D} _{d}\mathbf {u} [k]+\mathbf {v} [k]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/60954d819a458cbbfaecb45337ebf610f2d6ff08)
![{\displaystyle \mathbf {w} [k]\sim N(0,\mathbf {Q} _{d})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d2dcee136b863c44db67bab3ec8ddac03e4ab234)
![{\displaystyle \mathbf {v} [k]\sim N(0,\mathbf {R} _{d})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/39f6c4f86c17384b1c831d33fd6e1c45d7b97748)
![{\displaystyle \mathbf {x} [k]\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ \mathbf {x} (kT)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9fc0e1ad9e945eee38efac0e3b5d0ff46237b3be)
![{\displaystyle \mathbf {x} [k]=e^{\mathbf {A} kT}\mathbf {x} (0)+\int _{0}^{kT}e^{\mathbf {A} (kT-\tau )}\mathbf {B} \mathbf {u} (\tau )d\tau }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/85215b58f30c40205c94cd3fec3dbd16bae1ac2b)
![{\displaystyle \mathbf {x} [k+1]=e^{\mathbf {A} (k+1)T}\mathbf {x} (0)+\int _{0}^{(k+1)T}e^{\mathbf {A} ((k+1)T-\tau )}\mathbf {B} \mathbf {u} (\tau )d\tau }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2fa76d8a30851a8df18ee1cae3f3cc638d1b9285)
![{\displaystyle \mathbf {x} [k+1]=e^{\mathbf {A} T}\left[e^{\mathbf {A} kT}\mathbf {x} (0)+\int _{0}^{kT}e^{\mathbf {A} (kT-\tau )}\mathbf {B} \mathbf {u} (\tau )d\tau \right]+\int _{kT}^{(k+1)T}e^{\mathbf {A} (kT+T-\tau )}\mathbf {B} \mathbf {u} (\tau )d\tau }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a9970af7c6dcf74cefaf5799607bf969e8373201)
![{\displaystyle \mathbf {x} [k]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/89de738568b201f70e218c5199a23c2aaab2cc43)
![{\displaystyle {\begin{matrix}\mathbf {x} [k+1]&=&e^{\mathbf {A} T}\mathbf {x} [k]+\left(\int _{0}^{T}e^{\mathbf {A} v}dv\right)\mathbf {B} \mathbf {u} [k]\\&=&e^{\mathbf {A} T}\mathbf {x} [k]+\mathbf {A} ^{-1}\left(e^{\mathbf {A} T}-\mathbf {I} \right)\mathbf {B} \mathbf {u} [k]\end{matrix}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4fdf56b15f1bc992280bba808bb25e7f7f61cea7)
![{\displaystyle \mathbf {x} [k+1]\approx (\mathbf {I} +\mathbf {A} T)\mathbf {x} [k]+T\mathbf {B} \mathbf {u} [k]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3fbbbc2ccc407e5c018c805b32a3a5a7437218b3)
