Unità di misura di Planck

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Nella fisica delle particelle e nella cosmologia, le unità di Planck sono un insieme di unità di misura definite esclusivamente in termini di cinque costanti fisiche universali, in modo tale che queste cinque costanti fisiche assumano il valore numerico di 1 quando espresse in termini di queste unità.

Originariamente proposte nel 1899 dal fisico tedesco Max Planck, queste unità sono anche conosciute come unità naturali perché l'origine della loro definizione deriva solo da proprietà della natura e non da alcun costrutto umano,come ad esempio l'intensità luminosa (misurata in candele), il flusso luminoso (misurato in lumen), e la dose equivalente (misurata in Sievert), né derivano da qualsiasi proprietà della terra o dell'universo (come per esempio accade per l'accelerazione di gravità, l'atmosfera standard o la costante di Hubble), né da qualsiasi caratteristica di una data sostanza (come il punto di fusione dell'acqua, la densità dell'acqua o la capacità termica specifica dell'acqua). Le unità di Planck sono solo un insieme di più sistemi di unità naturali, ma non si basano sulle proprietà di alcun oggetto prototipo o particella che sarebbe scelta arbitrariamente (come la carica elementare, la massa a riposo dell'elettrone o la massa a riposo del protone), ma piuttosto si basano sulle proprietà dello spazio libero: difatti la velocità di Planck è la velocità della luce, il momento angolare di Planck è la costante ridotta di Planck, la resistenza di Planck è l'impedenza di spazio libero, l'entropia di Planck è la costante di Boltzmann, tutte sono proprietà dello spazio libero. Le unità di Planck hanno un significato rilevante per la fisica teorica poiché semplificano diverse espressioni algebriche mediante la cosiddetta non dimensionalizzazione. Sono altresì rilevanti nella ricerca su teorie unificate come la gravità quantistica.

Il termine scala di Planck si riferisce alle magnitudini di spazio, tempo, energia e altre unità, al di sotto delle quali (od oltre le quali) le previsioni del Modello standard, la teoria quantistica dei campi e la relatività generale non sono più riconciliabili, e si prevedono dominare gli effetti quantistici della gravità. Questa regione può essere caratterizzata da energie tra i ${\displaystyle 5.52\times 10^{8}\,\mathrm {J} }$ e i ${\displaystyle 1.96\times 10^{9}\,\mathrm {J} }$ (chiamate appunto energie di Planck), intervalli di tempo tra i ${\displaystyle 1.91\times 10^{-43}s}$ e i ${\displaystyle 5.39\times 10^{-44}s}$ (chiamati tempi di Planck) e lunghezze tra i ${\displaystyle 5.73\times 10^{-35}m}$ e i ${\displaystyle 1.62\times 10^{-35}m}$ (chiamate lunghezze di Planck). Su scala Planck, non ci si aspetta che i modelli attuali siano una guida utile al cosmo, e i fisici non hanno un modello scientifico per suggerire come si comporta l'universo fisico. L'esempio più noto è rappresentato dalle condizioni nei primi ${\displaystyle 10^{-43}}$ secondi del nostro universo dopo il Big Bang, circa 13,8 miliardi di anni fa. Nel nuovo 2019 CODATA da NIST si prevede di usare le unità di Planck come future unità in sostituzione delle unità attuali internazionali di riferimento.

Esistono due versioni delle unità di Planck, la versione di Lorentz – Heaviside (chiamata anche razionalizzata) e la versione gaussiana (chiamata anche non razionalizzata).

Le costanti universali che le unità di Planck, per definizione, normalizzano a ${\displaystyle 1}$ sono:

• la velocità della luce nel vuoto, ${\displaystyle c}$, (nota anche come velocità di Planck)
• la costante gravitazionale, ${\displaystyle G}$
  • ${\displaystyle G}$ per la versione gaussiana, ${\displaystyle 4\pi G}$ per la versione Lorentz – Heaviside
• la costante ridotta di Planck, ${\displaystyle \hbar }$, (nota anche come azione di Planck)
• la permittività del vuoto, ${\displaystyle \varepsilon _{0}}$ (nota anche come permittività di Planck)
  • ${\displaystyle \varepsilon _{0}}$ per la versione Lorentz – Heaviside, ${\displaystyle 4\pi \varepsilon _{0}}$ per la versione gaussiana
• la costante di Boltzmann, ${\displaystyle k_{\text{B}}}$ (nota anche come capacità termica di Planck).

Ciascuna di queste costanti può essere associata a una teoria o concetto fisico fondamentale:

• ${\displaystyle c}$ con la relatività speciale,
• ${\displaystyle G}$ con la relatività generale,
• ${\displaystyle \hbar }$ con la meccanica quantistica,
• ${\displaystyle \varepsilon _{0}}$ con l'elettromagnetismo,
• ${\displaystyle k_{\text{B}}}$ con le nozioni dell'entropia, della meccanica statistica e della termodinamica.

Introduzione[modifica | modifica wikitesto]

A qualsiasi sistema di misura può essere assegnato un insieme reciprocamente indipendente di quantità di base e unità di misura di base associate, da cui possono derivare tutte le altre quantità e unità. Nel Sistema internazionale, ad esempio, le quantità di base includono la lunghezza con l'unità associata del metro. Nel sistema di unità di Planck, è possibile selezionare un insieme simile di quantità di base e l'unità di base Planck per la lunghezza è quindi nota semplicemente come lunghezza di Planck, l'unità di base del tempo è il tempo di Planck, e così via. Queste unità sono derivate dalle costanti fisiche universali a cinque dimensioni della Tabella 1, in modo tale che queste costanti vengano eliminate dalle equazioni fondamentali delle leggi della fisica quando le quantità fisiche sono espresse in termini di unità di Planck. Ad esempio, la legge di gravitazione universale di Newton

${\displaystyle {\begin{aligned}F&=G{\frac {m_{1}m_{2}}{r^{2}}}\\&=\left({\frac {F_{\text{P}}l_{\text{P}}^{2}}{m_{\text{P}}^{2}}}\right){\frac {m_{1}m_{2}}{r^{2}}}\end{aligned}}}$

può essere espressa come:

${\displaystyle {\frac {F}{F_{\text{P}}}}={\frac {\left({\dfrac {m_{1}}{m_{\text{P}}}}\right)\left({\dfrac {m_{2}}{m_{\text{P}}}}\right)}{\left({\dfrac {r}{l_{\text{P}}}}\right)^{2}}}.}$

Entrambe le equazioni sono dimensionalmente coerenti e ugualmente valide in qualsiasi sistema di unità, ma la seconda equazione, con ${\displaystyle G}$ mancante, riguarda solo le quantità senza dimensioni poiché qualsiasi rapporto tra due quantità con dimensioni simili è una grandezza adimensionale. Se si intende che ogni grandezza fisica è il rapporto corrispondente ad una coerente unità di Planck (o "espresso in unità di Planck"), i rapporti di cui sopra possono essere espressi semplicemente con i simboli della grandezza fisica, senza essere scalati esplicitamente dalla loro unità corrispondente:

${\displaystyle F={\frac {m_{1}m_{2}}{r^{2}}}\ .}$

Quest'ultima equazione (senza ${\displaystyle G}$) è valida solo se ${\displaystyle F}$, ${\displaystyle m_{1}}$, ${\displaystyle m_{2}}$ e ${\displaystyle r}$ sono valori numerici senza dimensioni delle stesse grandezze fisiche misurate in termini di unità di Planck. Questo è il motivo per cui le unità di Planck o qualsiasi altro uso di unità naturali devono essere impiegate con attenzione. Riferendosi a ${\displaystyle G=c=1}$, Paul S. Wesson scrisse che:^[1]

Definizione[modifica | modifica wikitesto]

In fisica, le unità di misura di Planck sono un particolare sistema di unità naturali, in cui cinque costanti hanno valore unitario:

Tabella 1: Unità universali dal 2018 CODATA normalizzate alle unità di Planck

Costante	Simbolo	Dimensioni fisiche	Valore	Teorie associate
Velocità della luce nel vuoto	${\displaystyle c}$	${\displaystyle \left[L\right]\left[T\right]^{-1}}$	${\displaystyle 299792458\;{\frac {m}{s}}}$[2](esatta per definizione)	Elettromagnetismo Relatività ristretta
Costante gravitazionale	${\displaystyle G}$	${\displaystyle \left[M\right]^{-1}\left[L\right]^{3}\left[T\right]^{-2}}$	${\displaystyle 6,67430(15)\cdot 10^{-11}{\frac {m^{3}}{kg\;s^{2}}}}$[3]	Relatività generale Gravità newtoniana
Costante di Planck ridotta	${\displaystyle \hbar ={\frac {h}{2\pi }}}$ dove ${\displaystyle h}$ è la costante di Planck	${\displaystyle \left[M\right]\left[L\right]^{2}\left[T\right]^{-1}}$	${\displaystyle 1,054571817\ldots \cdot 10^{-34}\;\mathrm {J} s}$[4](esatta per definizione da h = 6,626 070 15 × 10−34 J⋅s)	Meccanica quantistica
Costante della forza di Coulomb	${\displaystyle {\frac {1}{4\pi \varepsilon _{0}}}}$ dove ${\displaystyle \varepsilon _{0}}$ è la costante dielettrica nel vuoto	${\displaystyle \left[M\right]\left[L\right]^{3}\left[T\right]^{-2}\left[Q\right]^{-2}}$	${\displaystyle 8,9875517923(14)\cdot 10^{9}\;{\frac {kg\cdot m^{3}}{s^{4}\cdot \mathrm {A} ^{2}}}}$[5]	Elettrostatica
Costante di Boltzmann	${\displaystyle k_{\text{B}}}$	${\displaystyle \left[M\right]\left[L\right]^{2}\left[T\right]^{-2}\left[\Theta \right]^{-1}}$	${\displaystyle 1,380649\cdot 10^{-23}\;{\frac {\mathrm {J} }{\mathrm {K} }}}$[6](esatta per definizione)	Termodinamica Meccanica statistica
Località di Planck, seconda costante di radiazione	${\displaystyle C_{2}={\frac {hc}{k_{\text{B}}}}}$	${\displaystyle \left[L\right]\left[\Theta \right]}$	${\displaystyle 0,01438777\;m\cdot \mathrm {K} }$	Termodinamica Meccanica statistica Elettromagnetismo
Costante di Stefan-Boltzmann	${\displaystyle \sigma ={\frac {{\pi }^{2}{k}_{\text{B}}^{4}}{60{\hbar }^{3}{c}^{2}}}={\frac {{2\pi }^{5}{k}_{\text{B}}^{4}}{15{h}^{3}{c}^{2}}}}$	${\displaystyle \left[M\right]\left[T\right]^{-3}\left[\Theta \right]^{-4}}$	${\displaystyle 5,67037441\ldots \cdot 10^{-8}\;{\frac {\mathrm {W} }{m^{2}\cdot \mathrm {K^{4}} }}}$	Termodinamica Elettromagnetismo
Carica elementare	${\displaystyle e=q_{e}}$	${\displaystyle \left[Q\right]}$	${\displaystyle 1,602176634\cdot 10^{-19}\;\mathrm {C} }$ (esatta per definizione)	Elettrostatica
Costante di struttura fine o costante di Sommerfeld	${\displaystyle {\alpha }={\alpha _{e}}={\frac {e^{2}}{4\pi \varepsilon _{0}\hbar c}}}$	Numero adimensionale	${\displaystyle 0,0072973525693(11)}$ ${\displaystyle {\frac {1}{137,035999084(21)}}}$	Elettromagnetismo Teoria Atomica

Nota: ${\displaystyle \mathrm {L} }$ = lunghezza, ${\displaystyle \mathrm {M} }$ = massa, ${\displaystyle \mathrm {T} }$ = tempo, ${\displaystyle \mathrm {Q} }$ = carica, ${\displaystyle \Theta }$ = temperatura.

Le unità naturali possono aiutare i fisici a rispondere alcune domande. Frank Wilczek probabilmente ha fatto l'osservazione più acuta:

L'intensità della gravità è semplicemente quella che è, così come l'intensità della forza elettromagnetica è semplicemente quella che è. La forza elettromagnetica opera in base alla carica elettrica, diversamente dalla gravità, che opera in base alla massa, così che non sia possibile una diretta comparazione tra le due: è da notare, infatti, come la gravità sia una forza estremamente debole rispetto alla forza elettromagnetica; dal punto di vista delle unità naturali, sarebbe come paragonare le mele con le arance perché la massa e la carica sono grandezze incommensurabili. Vero è che la forza elettrostatica repulsiva tra due protoni che si trovino in uno spazio vuoto surclassa la forza di attrazione gravitazionale tra gli stessi, ma la disparità di intensità delle due forze è una manifestazione del fatto che la carica dei protoni è approssimativamente la carica unitaria, mentre la massa dei protoni è molto inferiore alla massa unitaria.

Le unità di Planck hanno il vantaggio di semplificare molte equazioni fisiche, rimuovendo i fattori di conversione, per questo motivo sono molto usate nella teoria dei quanti.

Risolvendo le cinque equazioni precedenti per le cinque incognite si ottiene un insieme unico di valori per le cinque unità di Planck di base:

Unità di Planck fondamentali[modifica | modifica wikitesto]

Tabella 2: Unità di Planck dal 2018 CODATA

Dimensione	Formula	versione di Lorentz–Heaviside[8][9]	Versione gaussiana[10][11]	Valore di Lorentz-Heaviside[12][13]	Valore nel Sistema Internazionale gaussiano[14]
Lunghezza di Planck	Lunghezza ${\displaystyle \left[L\right]}$	${\displaystyle l_{\text{P}}={\sqrt {\frac {4\pi \hbar G}{c^{3}}}}}$	${\displaystyle l_{\text{P}}={\sqrt {\frac {\hbar G}{c^{3}}}}}$	${\displaystyle 5,729475\cdot 10^{-35}\;m}$	${\displaystyle 1,616255(18)\cdot 10^{-35}\;m}$
Massa di Planck	Massa ${\displaystyle \left[M\right]}$	${\displaystyle m_{\text{P}}={\sqrt {\frac {\hbar c}{4\pi G}}}}$	${\displaystyle m_{\text{P}}={\sqrt {\frac {\hbar c}{G}}}}$	${\displaystyle 6,139608\cdot 10^{-9}\;kg}$	${\displaystyle 2,176434(24)\cdot 10^{-8}\;kg}$
Tempo di Planck	Tempo ${\displaystyle \left[T\right]}$	${\displaystyle t_{\text{P}}={\sqrt {\frac {4\pi \hbar G}{c^{5}}}}}$	${\displaystyle t_{\text{P}}={\frac {l_{\text{P}}}{c}}={\sqrt {\frac {\hbar G}{c^{5}}}}}$	${\displaystyle 1,911147\cdot 10^{-43}\;s}$	${\displaystyle 5,391247(60)\cdot 10^{-44}\,s}$
Carica di Planck	Carica elettrica ${\displaystyle \left[Q\right]}$	${\displaystyle q_{\text{P}}={\sqrt {\varepsilon _{0}\hbar c}}}$	${\displaystyle q_{\text{P}}={\sqrt {4\pi \varepsilon _{0}\hbar c}}}$	${\displaystyle 5,290818\cdot 10^{-19}\;\mathrm {C} }$	${\displaystyle 1,875545956(41)\cdot 10^{-18}\;\mathrm {C} }$
Temperatura di Planck	Temperatura ${\displaystyle \left[\Theta \right]}$	${\displaystyle \Theta _{\text{P}}={\sqrt {\frac {\hbar c^{5}}{4\pi G{k_{\text{B}}}^{2}}}}}$	${\displaystyle {{\Theta }_{\text{P}}}={\frac {{{m}_{\text{P}}}{{c}^{2}}}{{k}_{B}}}={\sqrt {\frac {\hbar {{c}^{5}}}{Gk_{\text{B}}^{2}}}}}$	${\displaystyle 3,996674\cdot 10^{31}\;\mathrm {K} }$	${\displaystyle 1,416784(16)\cdot 10^{32}\;\mathrm {K} }$

Nota: ${\displaystyle \mathrm {L} }$ = lunghezza, ${\displaystyle \mathrm {M} }$ = massa, ${\displaystyle \mathrm {T} }$ = tempo, ${\displaystyle \mathrm {Q} }$ = carica, ${\displaystyle \Theta }$ = temperatura.

Le tre costanti della fisica sono espresse in questo modo semplicemente, mediante l'uso delle unità fondamentali di Planck:

${\displaystyle c={\frac {l_{\text{P}}}{t_{\text{P}}}}}$

${\displaystyle \hbar ={\frac {m_{\text{P}}l_{\text{P}}^{2}}{t_{\text{P}}}}}$

${\displaystyle G={\frac {l_{\text{P}}^{3}}{m_{\text{P}}t_{\text{P}}^{2}}}}$

Nel 1899 Max Planck propose di partire dalle costanti fondamentali (che sono: nella teoria della gravitazione, la costante di Newton ${\displaystyle {G}\ }$; nell'elettrostatica la costante di Coulomb ${\displaystyle {\frac {1}{4\pi \varepsilon _{0}}}}$; nell'elettromagnetismo e nella relatività la velocità della luce ${\displaystyle {c}\ }$; nella termodinamica la costante di Boltzmann ${\displaystyle k_{\text{B}}}$ e nella meccanica quantistica la costante di Planck ridotta ${\displaystyle \hbar ={\frac {h}{2\pi }}}$) per definire le unità di misura di lunghezza, tempo, massa, carica e temperatura, invece di fare il contrario^[15]. Ottenne un sistema di misura alternativo basato su «unità di Planck» in cui la costante di Newton è l'attrazione gravitazionale esercitata da due masse di Planck poste alla distanza di Planck, la costante di Coulomb è l'attrazione elettrica esercitata da due cariche di Planck poste alla distanza di Planck, la velocità della luce è la velocità di percorrenza della lunghezza di Planck nel tempo di Planck, la costante di Boltzmann è l'energia termica della temperatura di Planck e la costante di Planck è l'energia della frequenza pari all'inverso del tempo di Planck. Planck fu molto soddisfatto della scoperta delle sue unità di misura perché «mantengono il loro significato in tutti i tempi e luoghi, e risultano sempre uguali anche se misurate dalle intelligenze più disparate», mentre le costanti universali assumono valori diversi a seconda del sistema di misura considerato (il sistema internazionale di misura (SI), piuttosto che il sistema CGS). Le unità di Planck però portano con sé i limiti delle teorie attuali, nel senso che al di sotto delle lunghezze, dei tempi e delle cariche di Planck, o al di sopra delle masse e delle temperature di Planck, la fisica come la conosciamo perde di senso. Quanto ai loro valori, il tempo di Planck è circa ${\displaystyle {\text{10}}^{-43}}$ secondi, la lunghezza di Planck è ${\displaystyle {\text{10}}^{20}}$ volte più piccola di un protone, la massa di Planck è pari a ${\displaystyle {\text{10}}^{19}}$ protoni e farebbe collassare un quanto in un buco nero, la carica di Planck è ${\displaystyle {\text{12}}}$ volte maggiore di quella di un elettrone o un protone, la temperatura di Planck, infine, è di circa ${\displaystyle {\text{10}}^{30}}$ gradi, e un corpo che la raggiungesse emetterebbe radiazioni aventi lunghezze d'onda pari alla lunghezza di Planck.^[16]

La tabella definisce chiaramente le unità di Planck in termini di costanti fondamentali. Tuttavia, rispetto ad altre unità di misura come quelle del sistema internazionale, i valori delle unità di Planck, diversi dalla carica Planck, sono conosciuti solo approssimativamente. Ciò è dovuto all'incertezza nel valore della costante gravitazionale ${\displaystyle G}$ misurata rispetto alle definizioni del SI. Oggi il valore della velocità della luce ${\displaystyle c}$ nelle unità SI non è soggetto a errori di misurazione, poiché l'unità base SI di lunghezza, il metro, è ora definita come la lunghezza del percorso dalla luce nel vuoto durante un intervallo di tempo di ${\displaystyle {\frac {1}{299792458}}}$ di secondo. Quindi il valore di ${\displaystyle c}$ è ora esatto per definizione e non contribuisce all'incertezza degli equivalenti SI delle unità di Planck. Lo stesso vale per il valore della permittività del vuoto ${\displaystyle \varepsilon _{0}}$, a causa della definizione di ampere che imposta la permeabilità magnetica del vuoto ${\displaystyle \mu _{0}}$ a ${\displaystyle 4\pi \times 10^{-7}{\frac {H}{m}}}$: infatti, poiché ${\displaystyle \mu _{0}}$ e ${\displaystyle c}$ sono ben definite, dalla relazione ${\displaystyle \mu _{0}\varepsilon _{0}={\frac {1}{c^{2}}}}$ è possibile ricavare un valore di ${\displaystyle \varepsilon _{0}}$ privo di incertezze. Il valore numerico della costante ridotta di Planck ${\displaystyle \hbar }$ è stato determinato sperimentalmente a 12 parti per miliardo, mentre quello di ${\displaystyle G}$ è stato determinato sperimentalmente a non migliore di 1 parte su 21300 (o 47000 parti per miliardo).^[17] ${\displaystyle G}$ appare nella definizione di quasi tutte le unità di Planck nelle tabelle 2 e 3, ma non tutte. Quindi l'incertezza nei valori degli equivalenti SI delle unità di Planck deriva quasi interamente dall'incertezza nel valore di ${\displaystyle G}$. (La propagazione dell'errore in ${\displaystyle G}$ è una funzione dell'esponente di ${\displaystyle G}$ nell'espressione algebrica per un'unità. Poiché tale esponente è ${\displaystyle \pm {\frac {1}{2}}}$ per ogni unità base diversa dalla carica di Planck, l'incertezza relativa di ciascuna unità di base è circa la metà di quella di ${\displaystyle G}$. Questo è davvero il caso; secondo CODATA, i valori sperimentali degli equivalenti SI delle unità di Planck di base sono noti a circa 1 parte su 43500, o 23000 parti per miliardo). Dopo il 20 maggio 2019, ${\displaystyle h}$ (e quindi ${\displaystyle \hbar ={\frac {h}{2\pi }}}$ ) è un valore di riferimento esatto, ${\displaystyle k_{\text{B}}}$ è anch'essa esatta ma, poiché ${\displaystyle G}$ non è ancora esatta, anche i valori di ${\displaystyle \ell _{\text{P}}}$, ${\displaystyle m_{\text{P}}}$, ${\displaystyle t_{\text{P}}}$ e ${\displaystyle \theta _{\text{P}}}$ non sono esatti. Inoltre, ${\displaystyle \mu _{0}}$ (e quindi ${\displaystyle \varepsilon _{0}={\frac {1}{c^{2}\mu _{0}}}}$) non è più esatto (solo la carica ${\displaystyle e}$ è esatta), quindi anche ${\displaystyle q_{\text{P}}}$ non è esatto come precisione numerica.

Unità di Planck derivate[modifica | modifica wikitesto]

Lo stesso argomento in dettaglio: Unità di misura di Planck derivate.

In qualsiasi sistema di misura, le unità per molte grandezze fisiche possono essere derivate da unità di base. La tabella 3 offre un campione di unità di Planck derivate, alcune delle quali in realtà sono usate raramente. Come per le unità di base, il loro uso è per lo più limitato alla fisica teorica perché la maggior parte di esse è troppo grande o troppo piccola per un uso empirico o pratico, e vi sono grandi incertezze nei loro valor

Table 3: Unità derivate delle unità di Planck

Unità derivata da	Espressione	Equivalente SI
area (L2)	${\displaystyle l_{\text{P}}^{2}={\frac {\hbar G}{c^{3}}}}$	2,6121×10−70 m²
volume (L3)	${\displaystyle l_{\text{P}}^{3}=\left({\frac {\hbar G}{c^{3}}}\right)^{\frac {3}{2}}={\sqrt {\frac {(\hbar G)^{3}}{c^{9}}}}}$	4,2217×10−105 m³
quantità di moto (LMT−1)	${\displaystyle m_{\text{P}}c={\frac {\hbar }{l_{\text{P}}}}={\sqrt {\frac {\hbar c^{3}}{G}}}}$	6,5249 kg⋅m/s
energia (L2MT−2)	${\displaystyle E_{\text{P}}=m_{\text{P}}c^{2}={\frac {\hbar }{t_{\text{P}}}}={\sqrt {\frac {\hbar c^{5}}{G}}}}$	1,9561×109 J
forza (LMT−2)	${\displaystyle F_{\text{P}}={\frac {E_{\text{P}}}{l_{\text{P}}}}={\frac {\hbar }{l_{\text{P}}t_{\text{P}}}}={\frac {c^{4}}{G}}}$	1,2103×1044 N
densità (L−3M)	${\displaystyle \rho _{\text{P}}={\frac {m_{\text{P}}}{l_{\text{P}}^{3}}}={\frac {\hbar t_{\text{P}}}{l_{\text{P}}^{5}}}={\frac {c^{5}}{\hbar G^{2}}}}$	5,1550×1096 kg/m³
accelerazione (LT−2)	${\displaystyle a_{\text{P}}={\frac {c}{t_{\text{P}}}}={\sqrt {\frac {c^{7}}{\hbar G}}}}$	5,5608×1051 m/s²

Alcune unità di Planck, come quella di tempo o di lunghezza, sono molti ordini di grandezza maggiori o minori per essere d'uso pratico, e sono rilevanti solo nella fisica teorica. In alcuni casi, un'unità di Planc suggerisce un limite alla gamma di valori che una grandezza fisica può assumere nelle attuali teorie.^[18] Per esempio, l'attuale comprensione del Big Bang si ferma all'epoca di Planck, corrispondente all'età dell'universo di un tempo di Planck. Descrivere l'universo durante l'epoca di Planck comporta una teoria di gravità quantistica, che incorpori gli effetti quantistici nella relatività generale.

Discussione[modifica | modifica wikitesto]

Nelle "scale di Planck" di lunghezza, tempo, densità o temperatura, si devono considerare sia gli effetti della meccanica quantistica che della relatività generale, ma ciò richiede una teoria della gravità quantistica di cui ancora non conosciamo la forma.

La maggior parte delle unità sono o troppo piccole o troppo grandi per l'utilizzo pratico. Inoltre soffrono di incertezze nella misura di alcune delle costanti su cui sono basate, in particolare la costante gravitazionale ${\displaystyle {G}}$ (che ha un'incertezza di 1 su 44000 parti).

La carica di Planck non fu originariamente definita da Planck. È una definizione di unità di carica che è un'aggiunta naturale alle altre unità di Planck, ed è utilizzata in alcune pubblicazioni^[19][20][21]. È interessante notare che la carica elementare, misurata in termini della carica di Planck, risulta essere:

${\displaystyle e={\sqrt {\alpha }}\ q_{P}=0{,}085\,424\,543\,1319(64)\ q_{P}\,}$

dove ${\displaystyle {\alpha }}$ è la costante di struttura fine^[22]:

${\displaystyle \alpha =\left({\frac {e}{q_{P}}}\right)^{2}={\frac {e^{2}}{\hbar c4\pi \varepsilon _{0}}}={\frac {1}{137{,}035\,999\,084(21)}}}$

Si può ritenere che la costante di struttura fine, adimensionale, possieda il proprio valore per via della quantità di carica, misurata in unità naturali (carica di Planck), che gli elettroni, i protoni e altre particelle cariche hanno in natura. Poiché la forza elettromagnetica tra due particelle è proporzionale alle cariche di ciascuna particella (che è proporzionale a ${\displaystyle {\sqrt {\alpha }}}$), la forza elettromagnetica relativamente alle altre forze è proporzionale a ${\displaystyle {\alpha }}$.

L'impedenza di Planck risulta essere l'impedenza caratteristica del vuoto, ${\displaystyle Z_{0}}$, divisa per ${\displaystyle 4\pi }$. Ciò avviene in quanto la costante della forza di Coulomb, ${\displaystyle {\frac {1}{4\pi \varepsilon _{0}}}}$, è normalizzata a ${\displaystyle 1}$ nella legge di Coulomb, così come viene fatto nelle unità del sistema CGS, invece che porre a ${\displaystyle 1}$ la permittività del vuoto ${\displaystyle \varepsilon _{0}\ }$. Tali considerazioni, insieme al fatto che la costante gravitazionale ${\displaystyle G}$ è normalizzata a ${\displaystyle 1}$ (invece che ${\displaystyle 4\pi G}$ o ${\displaystyle 8\pi G}$ o ${\displaystyle 16\pi G}$), inducono a ritenerla una definizione arbitraria e forse non ottimale nella prospettiva di definire le unità più naturali della fisica come unità di Planck.

.

La carica, come le altre unità di Planck, non era originariamente definita da Planck. È un'unità di carica che è un'aggiunta naturale alle altre unità di Planck e viene utilizzata in alcune pubblicazioni.^[23][24] La carica elementare ${\displaystyle e}$, misurato in termini di unità di Planck, è

${\displaystyle e={\sqrt {4\pi \alpha }}\cdot q_{\text{P}}\approx 0.302822121\cdot q_{\text{P}}\,}$ (Versione Lorentz – Heaviside)

${\displaystyle e={\sqrt {\alpha }}\cdot q_{\text{P}}\approx 0.085424543\cdot q_{\text{P}}\,}$ (Versione gaussiana)

dove ${\displaystyle {\alpha }}$ è la costante di struttura fine

${\displaystyle \alpha ={\frac {k_{e}e^{2}}{\hbar c}}\approx {\frac {1}{137,03599911}}}$

${\displaystyle \alpha ={\frac {1}{4\pi }}\left({\frac {e}{q_{\text{P}}}}\right)^{2}}$

${\displaystyle \alpha =\left({\frac {e}{q_{\text{P}}}}\right)^{2}}$

La costante di struttura fine ${\displaystyle \alpha }$ è anche chiamata costante di accoppiamento elettromagnetico, confrontandola così con la costante di accoppiamento gravitazionale ${\displaystyle \alpha _{\text{G}}}$. La massa a riposo dell'elettrone ${\displaystyle m_{e}}$ misurata in termini di massa di Planck, è:

${\displaystyle m_{e}={\sqrt {4\pi \alpha _{\text{G}}}}\cdot m_{\text{P}}\approx 1.48368\cdot 10^{-22}\cdot m_{\text{P}}\,}$(Versione Lorentz – Heaviside)

${\displaystyle m_{e}={\sqrt {\alpha _{\text{G}}}}\cdot m_{\text{P}}\approx 4.18539\cdot 10^{-23}\cdot m_{\text{P}}\,}$ (Versione gaussiana)

dove ${\displaystyle {\alpha _{\text{G}}}}$ è la costante di accoppiamento gravitazionale:

${\displaystyle \alpha _{\text{G}}={\frac {Gm_{e}^{2}}{\hbar c}}\approx 1,7518\cdot 10^{-45}}$

${\displaystyle \alpha _{\text{G}}={\frac {1}{4\pi }}\left({\frac {m_{e}}{m_{\text{P}}}}\right)^{2}}$ (Versione Lorentz – Heaviside)

${\displaystyle \alpha _{\text{G}}=\left({\frac {m_{e}}{m_{\text{P}}}}\right)^{2}}$(Versione gaussiana)

Alcune unità di Planck sono adatte per misurare quantità familiari nel mondo della fisica. Per esempio:

• la massa di Planck è di circa ${\displaystyle 6,14\mu g}$ (versione di Lorentz – Heaviside) o ${\displaystyle 21,8\mu g}$ (versione gaussiana);
• il momento di Planck è di circa ${\displaystyle 1,84\,\mathrm {N} \cdot s}$ (versione di Lorentz – Heaviside) o ${\displaystyle 6,52\,\mathrm {N} \cdot s}$ (versione gaussiana);
• l'energia di Planck è di circa ${\displaystyle 153\;k\mathrm {W} \cdot h}$ (versione Lorentz – Heaviside) o ${\displaystyle 543\;k\mathrm {W} \cdot h}$ (versione gaussiana);
• l'angolo di Planck è ${\displaystyle 1}$ radiante (entrambe le versioni);
• l'angolo solido di Planck è ${\displaystyle 1}$ steradiante (entrambe le versioni);
• la carica di Planck è di circa ${\displaystyle 3,3}$ cariche elementari (versione Lorentz – Heaviside) o ${\displaystyle 11,7}$ cariche elementari (versione gaussiana);
• l'impedenza di Planck è di circa ${\displaystyle 377\;\Omega }$ (versione Lorentz-Heaviside) o ${\displaystyle 30\,\Omega }$ (versione gaussiana);
• la conduttanza Planck è di circa ${\displaystyle 2,65\,m\mathrm {S} }$ (versione Lorentz – Heaviside) o ${\displaystyle 33,4\,m\mathrm {S} }$ (versione gaussiana);
• la permeabilità di Planck è di circa ${\displaystyle 1,26{\frac {\mu \mathrm {H} }{m}}}$ (versione Lorentz – Heaviside) o ${\displaystyle 0,1{\frac {\mu \mathrm {H} }{m}}}$ (versione gaussiana);
• il flusso elettrico di Planck è di circa ${\displaystyle 59,8\,m\mathrm {V} \cdot \mu m}$ (versione Lorentz – Heaviside) o ${\displaystyle 16,9\,m\mathrm {V} \cdot \mu m}$ (versione gaussiana).

Tuttavia, la maggior parte delle unità di Planck ha ordini di grandezza troppo grandi o troppo piccoli per essere di uso pratico, quindi le unità di Planck come sistema sono realmente rilevanti solo per la fisica teorica. In effetti, ${\displaystyle 1}$ unità di Planck è spesso il valore più grande o più piccolo di una quantità fisica che ha senso secondo la nostra attuale comprensione. Per esempio:

• La velocità di Planck è la velocità della luce nel vuoto, la massima velocità fisica possibile nella relatività speciale;^[25] 1 miliardesimo della velocità di Planck è di circa 1,079 km/h.
• La nostra comprensione del Big Bang inizia con l'epoca di Planck, quando l'universo aveva ${\displaystyle 1}$ tempo di Planck e ${\displaystyle 1}$ lunghezza di Planck di diametro, e aveva una temperatura di Planck pari a ${\displaystyle 1}$. In quel momento, la teoria quantistica, come attualmente intesa, diventa applicabile. Comprendere l'universo quando era meno di ${\displaystyle 1}$ tempo di Planck richiede una teoria della gravità quantistica che incorporerebbe gli effetti quantistici nella relatività generale. Tale teoria non esiste ancora.

Nelle unità di Planck abbiamo:

${\displaystyle \alpha ={\frac {e^{2}}{4\pi }}}$ (Versione Lorentz – Heaviside)

${\displaystyle \alpha =e^{2}}$ (Versione gaussiana)

${\displaystyle \alpha _{\text{G}}={\frac {m_{e}^{2}}{4\pi }}}$ (Versione Lorentz – Heaviside)

${\displaystyle \alpha _{\text{G}}=m_{e}^{2}}$ (Versione gaussiana)

dove:

${\displaystyle \alpha }$ è la costante di struttura fine

${\displaystyle e}$ è la carica elementare

${\displaystyle \alpha _{\text{G}}}$ è la costante di accoppiamento gravitazionale

${\displaystyle m_{e}}$ è la massa di riposo dell'elettrone

da qui la carica specifica dell'elettrone ${\displaystyle \left({\frac {e}{m_{e}}}\right)}$ è ${\displaystyle {\sqrt {\frac {\alpha }{\alpha _{G}}}}}$ Carica specifica di Planck, in entrambe le versioni delle unità di Planck.

Significato[modifica | modifica wikitesto]

Le unità di Planck sono prive di arbitrarietà antropocentrica. Alcuni fisici sostengono che la comunicazione con l'intelligenza extraterrestre dovrebbe impiegare un tale sistema di unità per essere compresa.^[26] A differenza del metro e del secondo, che esistono come unità di base nel sistema SI per ragioni storiche, la lunghezza di Planck e il tempo di Planck sono concettualmente collegati a un livello fisico fondamentale.

Cosmologia[modifica | modifica wikitesto]

Nella cosmologia del Big Bang, l'epoca di Planck o era di Planck è il primo stadio del Big Bang, prima che il tempo trascorso fosse uguale al tempo di Planck, ${\displaystyle t_{\text{P}}}$, o circa ${\displaystyle 10^{-43}}$ secondi.^[27] Al momento non esiste una teoria fisica disponibile per descrivere tempi così brevi, e non è chiaro in che senso il concetto di tempo sia significativo per valori inferiori al tempo di Planck. Si presume generalmente che gli effetti quantistici della gravità dominino le interazioni fisiche a questa scala temporale. Su questa scala, si presume che la forza unificata del Modello standard sia unificata con la gravitazione. Incommensurabilmente caldo e denso, lo stato dell'epoca di Planck fu seguito dall'epoca della grande unificazione, in cui la gravitazione è separata dalla forza unificata del Modello Standard, a sua volta seguita dall'epoca inflazionistica, che si concluse dopo circa ${\displaystyle 10^{-32}}$ secondi (o circa ${\displaystyle 10^{10}\;t_{P}}$).^[28]

Rispetto all'epoca di Planck, l'universo osservabile oggi sembra estremo quando espresso in unità di Planck, come in questo insieme di approssimazioni:^[29][30]

Tabella 4: L'universo osservabile di oggi in unità di Planck

Proprietà dell'Universo osservabile	Espressione	Hubble in unità di Planck	Unità di Hubble (universo osservabile)
Età di Hubble	${\displaystyle {\frac {1}{H_{0}}}}$	${\displaystyle 8,080\cdot 10^{60}t_{\text{P}}}$	${\displaystyle 4,356129\cdot 10^{17}\;s\approx 13,799\cdot 10^{9}\mathrm {anni} }$
Diametro di Hubble	${\displaystyle {\frac {2\pi c}{H_{0}}}}$	${\displaystyle 5,07681\cdot 10^{61}l_{\text{P}}}$	${\displaystyle 8,20543\cdot 10^{26}\;m\approx 8,7\cdot 10^{23}\,\mathrm {km} }$ ${\displaystyle \approx 9,2\cdot 10^{10}\,\mathrm {anni\,luce} }$
Massa di Hubble	${\displaystyle {\frac {8\pi c}{H_{0}4\pi r_{s}}}\equiv {\frac {8\pi c^{3}}{3H_{0}G}}}$	${\displaystyle 8,080\cdot 10^{60}m_{\text{P}}}$ ${\displaystyle 6,769\cdot 10^{61}\,m_{P}}$ (con 8π/3)	${\displaystyle \approx 1,7586\cdot 10^{53}\,\mathrm {kg} \approx 1,76\cdot 10^{50}\,\mathrm {tonnellate} }$ ${\displaystyle \approx 1,47\cdot 10^{54}\,\mathrm {kg} }$ (con 8π/3) ${\displaystyle \approx 8,844\cdot 10^{22}\,\mathrm {masse\,solari} }$ (solo stelle) ${\displaystyle \approx 2,945\cdot 10^{28}\,\mathrm {masse\,terrestri} }$ ${\displaystyle \approx 1,051\cdot 10^{80}\,\mathrm {protoni} }$ (conosciuto come numero di Eddington)
Densità di Hubble	${\displaystyle {\frac {2\Lambda }{r_{s}}}={\frac {3H_{0}^{2}}{4\pi c^{2}r_{s}}}\equiv {\frac {3H_{0}^{2}}{8\pi G}}}$	${\displaystyle 1.8283\cdot 10^{-123}\rho _{\text{P}}}$ ${\displaystyle 1,5317\cdot 10^{-122}\rho _{\text{P}}}$	${\displaystyle \approx 9,4248\cdot 10^{-27}\,\mathrm {kg\cdot m^{-3}} }$ ${\displaystyle \approx 7,8957\cdot 10^{-26}\,\mathrm {kg\cdot m^{-3}} }$ (senza 3/8π)
Pressione di Hubble Energia del vuoto	${\displaystyle {\frac {\Lambda c^{4}}{G}}={\frac {2\Lambda c^{2}}{r_{s}}}\equiv {\frac {3H_{0}^{2}c^{2}}{8\pi G}}}$	${\displaystyle 1,5317\cdot 10^{-122}p_{\text{P}}}$	${\displaystyle \approx 7,0963\cdot 10^{-9}\,\mathrm {J\cdot m^{-3}} }$
Temperatura di Hubble		${\displaystyle 1,92371\cdot 10^{-32}\Theta _{\text{P}}}$	${\displaystyle 2,72548\,\mathrm {K} \pm 0,00057\,\mathrm {K} \,}$ (2,72548=radiazione cosmica di fondo) ${\displaystyle \approx -270,43452\,^{\circ }\mathrm {C} }$ ${\displaystyle \approx 160,23\,\mathrm {GHz} }$ ${\displaystyle \approx \lambda =1,063\,mm}$ a ${\displaystyle 242\,\mathrm {GHz} }$ ${\displaystyle \approx 6,626\cdot 10^{-4}\,\mathrm {eV} }$ ${\displaystyle \approx 0,25\,\mathrm {eV\cdot cm^{-3}} }$ ${\displaystyle \approx 4,005\cdot 10^{-14}\,\mathrm {J\cdot m^{-3}} }$ Temperatura della radiazione cosmica di fondo
Carica di Hubble	${\displaystyle {\frac {2cq_{r_{\text{s}}}}{H_{0}r_{s}}}\equiv {\frac {8\pi c^{3}}{3H_{0}G}}{\sqrt {4\pi \varepsilon _{0}G}}}$	${\displaystyle 8,080\cdot 10^{60}q_{\text{P}}}$	${\displaystyle \approx 1,5154\cdot 10^{43}\,\mathrm {C} }$
Accelerazione di Hubble	${\displaystyle H_{0}c}$	${\displaystyle 1,237623\cdot 10^{-61}a_{\text{P}}}$	${\displaystyle \approx 6,882084\cdot 10^{-10}\,\mathrm {m\cdot s^{-2}} \approx 7\cdot 10^{-11}\,\mathrm {g\,terrestri} }$
Costante cosmologica, ${\displaystyle \Lambda }$	${\displaystyle \Lambda \equiv \left({\frac {H_{\text{0}}}{2\pi c}}\right)^{2}}$	${\displaystyle 5,42977\cdot 10^{-122}t_{\text{P}}^{-2}}$ 2,883 89 × 10−122 l−2P (con 8π/3)	${\displaystyle \approx 1,86811\cdot 10^{-35}\,s^{-2}}$ ${\displaystyle 1,10352\cdot 10^{-52}\,\mathrm {m^{-2}} }$
Costante di Hubble	${\displaystyle H_{0}}$	${\displaystyle 1,237623\cdot 10^{-61}t_{\text{P}}^{-1}}$	${\displaystyle \approx 2,295616\cdot 10^{-18}\approx 70,83531\mathrm {(km/s)/Mpc} }$
Costante di accoppiamento di Hubble	${\displaystyle \alpha _{H_{0}}\equiv \left({\frac {_{\text{Massa}}{H}_{0}}{m_{\text{P}}}}\right)^{2}\equiv {\frac {G}{\hbar c}}\left({\frac {8\pi c^{3}}{3H_{0}G}}\right)^{2}}$	${\displaystyle 6,52865\cdot 10^{121}}$ 4,582 × 10123 (con 8π/3)	${\displaystyle \approx 3,09253\cdot 10^{106}\,_{Massa}H_{0}^{2}=\mathrm {Massa\,di\,Hubble\,al\,quadrato} }$ ${\displaystyle \approx 2,17046\cdot 10^{108}\,_{Massa}H_{0}^{2}}$ (con 8π/3)
Entropia di Hubble	${\displaystyle S_{H_{0}}=\alpha _{H_{0}}k_{\text{B}}\equiv {\frac {\Lambda ^{-2}k_{\text{B}}}{4l_{\text{P}}^{2}}}\equiv {\frac {c^{5}k_{\text{B}}}{\hbar GH_{0}^{2}}}}$	${\displaystyle 6,52865\cdot 10^{121}}$ 1,632 × 10123 (1/4) 4,582 × 10123 (con 8π/3)	${\displaystyle 2,2534419\cdot 10^{98}\,\mathrm {J/K} \,_{\mathrm {con1/4} }\,9,013768\cdot 10^{98}\,\mathrm {J/K} }$ ${\displaystyle 7,551356\cdot 10^{99}\,\mathrm {J/K} }$ (con 8π/3)
Informazione teorica di Hubble secondo il limite di Bekenstein[31][32][33][34][35]	${\displaystyle {\frac {2\pi \alpha _{H_{0}}}{\log[2]}}\equiv \left({\frac {2\pi c_{\text{distanza}}H_{0}\,_{\text{Massa}}H_{0}}{\hbar \log[2]}}\right)}$	${\displaystyle 6,528645\cdot 10^{122}\,\mathrm {I_{bits\,P}} }$	${\displaystyle \mathrm {I_{bits}} \approx 5,918034\cdot 10^{122}\,\mathrm {bits} }$ ${\displaystyle \mathrm {I_{bytes}} \approx 7,397543\cdot 10^{121}\,\mathrm {bytes} }$ ${\displaystyle \approx 2^{407,84}\,\mathrm {I_{bits}} \approx 2^{404,84}\,\mathrm {I_{bytes}} }$ ${\displaystyle \approx 7,4\cdot 10^{109}\,\mathrm {TB} \approx 7,4\cdot 10^{112}\,\mathrm {GB} \approx 7,4\cdot 10^{115}\,\mathrm {MB} }$ L'informazione di Hubble che può avere l'universo osservabile di dati secondo Seth LIyod[36] e Jacob Bekenstein[37] sugli studi dell'entropia dei buchi neri. Questo enorme valore ci dice quanti dati possiamo archiviare teoricamente, circa ${\displaystyle 7,4\cdot 10^{109}\,\mathrm {TB} }$, su una chiavetta USB che possa avere questa capacità. Ma per avere questa capacità teorica dovrebbe usare la stessa massa/energia dell'intero universo osservabile di oggi. Cioè l'analogia è che la massa di Hubble, quindi la massa del universo può avere massimo ${\displaystyle 7,4\cdot 10^{109}\,\mathrm {TB} }$ di dati sapendo che ogni unità di Planck al quadrato può avere 1,133 bytes di dati. Quindi la radice quadrata delle unità di Planck e circa ${\displaystyle 1,0645\,{\sqrt {_{Bytes}}}}$. l'intera massa di Hubble a circa ${\displaystyle 8,08\cdot 10^{60}}$ unità di Planck, per ${\displaystyle 1,0645\,{\sqrt {_{Bytes}}}}$ di singola unità di Planck porta a ${\displaystyle 7,4\cdot 10^{109}\,\mathrm {TB} }$. In bits sarà la radice quadrata di ${\displaystyle 9,065\,\mathrm {bits} }$ della costante di accoppiamento di Planck, ovvero unità di Planck al quadrato. Diventerà ${\displaystyle 3,011\,{\sqrt {_{bits}}}}$ di singola unità di Planck per l'intera massa di Hubble a circa ${\displaystyle 8,08\cdot 10^{60}}$ unità di Plack uguale a ${\displaystyle 5,918\cdot 10^{122}\,\mathrm {bits} }$. Questo calcolo deriva da Jacob Bekenstein che usava non la massa di Planck, ma l'area di Planck secondo la sua formula dell'entropia di un buco nero che è l'area della superficie divisa 4 area di Planck.

La ricorrenza di grandi numeri vicino o correlata a ${\displaystyle 10^{60}}$ nella tabella sopra è una coincidenza che incuriosisce alcuni teorici. È un esempio del tipo di coincidenza di grandi numeri che ha portato teorici come Eddington e Dirac a sviluppare teorie fisiche alternative (ad esempio una velocità della luce variabile o la teoria di G variabile di Dirac ).^[38] Dopo la misurazione della costante cosmologica ${\displaystyle \Lambda }$ nel 1998, stimata in ${\displaystyle 10^{-122}}$ unità di Planck, è stato notato che ciò è suggestivamente vicino al reciproco dell'età dell'universo al quadrato.^[39] Barrow and Shaw (2011) hanno proposto una teoria modificata in cui tale costante è un campo che si evolve in modo tale che il suo valore rimanga ${\displaystyle \Lambda \sim T^{-2}}$ per tutta la storia dell'universo.^[40]

Tabella 5: Alcuni quantità fisiche comuni in unità di Planck

Quantità	versione di Lorentz–Heaviside in unità di Planck	versione di Gaussian in unità di Planck
Gravità standard (${\displaystyle \mathrm {g} }$)	${\displaystyle 6.25154\cdot 10^{-51}\,a_{\text{P}}}$	${\displaystyle 1.76353\cdot 10^{-51}\,a_{\text{P}}}$
Atmosfera standard (${\displaystyle {\mathsf {atm}}}$)	${\displaystyle 3.45343\cdot 10^{-108}\,p_{\text{P}}}$	${\displaystyle 2.18691\cdot 10^{-109}p_{\text{P}}}$
Tempo astronomico solare	${\displaystyle 4.52091\cdot 10^{47}\,t_{\text{P}}}$	${\displaystyle 1.60262\cdot 10^{48}\,t_{\text{P}}}$
Raggio equatoriale della Terra	${\displaystyle 1.11323\cdot 10^{41}\,l_{\text{P}}}$	${\displaystyle 3.94629\cdot 10^{41}\,l_{\text{P}}}$
Circonferenza equatoriale della Terra	${\displaystyle 6.99465\cdot 10^{41}\,l_{\text{P}}}$	${\displaystyle 2.47954\cdot 10^{42}\,l_{\text{P}}}$
Diametro dell'universo osservabile	${\displaystyle 1.53594\cdot 10^{61}\,l_{\text{P}}}$	${\displaystyle 5.44477\cdot 10^{61}\,l_{\text{P}}}$
Volume della Terra	${\displaystyle 1.89062\cdot 10^{55}\,l_{\text{P}}^{3}}$	${\displaystyle 6.70208\cdot 10^{55}\,l_{\text{P}}^{3}}$
Volume dell'universo osservabile	${\displaystyle 6.98156\cdot 10^{114}\,l_{\text{P}}^{3}}$	${\displaystyle 2.47490\cdot 10^{115}\,l_{\text{P}}^{3}}$
Massa della Terra	${\displaystyle 9.72717\cdot 10^{32}\,m_{\text{P}}}$	${\displaystyle 2.74398\cdot 10^{32}\,m_{\text{P}}}$
Massa dell'universo osservabile	${\displaystyle 2.37796\cdot 10^{61}\,m_{\text{P}}}$	${\displaystyle 6.70811\cdot 10^{60}\,m_{\text{P}}}$
Densità media della Terra	${\displaystyle 1.68905\cdot 10^{-91}\,\rho _{\text{P}}}$	${\displaystyle 1.06960\cdot 10^{-93}\,\rho _{\text{P}}}$
Densità dell'universo osservabile	${\displaystyle 3.03257\cdot 10^{-121}\,\rho _{\text{P}}}$	${\displaystyle 1.92040\cdot 10^{-123}\,\rho _{\text{P}}}$
Età della Terra	${\displaystyle 7.49657\cdot 10^{59}\,t_{\text{P}}}$	${\displaystyle 2.65747\cdot 10^{60}\,t_{\text{P}}}$
Età dell'universo (tempo di Hubble)	${\displaystyle 2.27853\cdot 10^{60}\,t_{\text{P}}}$	${\displaystyle 8.07719\cdot 10^{60}\,t_{\text{P}}}$
Temperatura media della Terra	${\displaystyle 7.18485\cdot 10^{-30}\,\Theta _{\text{P}}}$	${\displaystyle 2.02681\cdot 10^{-30}\,\Theta _{\text{P}}}$
Temperatura dell'universo	${\displaystyle 6.81806\cdot 10^{-32}\,\Theta _{\text{P}}}$	${\displaystyle 1.92334\cdot 10^{-32}\,\Theta _{\text{P}}}$
Costante di Hubble (${\displaystyle H_{0}}$)	${\displaystyle 4.20446\cdot 10^{-61}\,t_{\text{P}}^{-1}}$	${\displaystyle 1.18605\cdot 10^{-61}\,t_{\text{P}}^{-1}}$
Costante cosmologica (${\displaystyle \Lambda }$)	${\displaystyle 3.62922\cdot 10^{-121}\,l_{\text{P}}^{-2}}$	${\displaystyle 2.88805\cdot 10^{-122}\,l_{\text{P}}^{-2}}$
Densità del vuoto energetico (${\displaystyle \rho _{\text{0}}}$)	${\displaystyle 1.82567\cdot 10^{-121}\,\rho _{\text{P}}}$	${\displaystyle 1.15612\cdot 10^{-123}\,\rho _{\text{P}}}$
Punto di evaporazione dell'acqua	${\displaystyle 6.83432\cdot 10^{-30}\,\Theta _{\text{P}}}$	${\displaystyle 1.92793\cdot 10^{-30}\,\Theta _{\text{P}}}$
Punto di ebollizione dell'acqua	${\displaystyle 9.33636\cdot 10^{-30}\,\Theta _{\text{P}}}$	${\displaystyle 2.63374\cdot 10^{-30}\,\Theta _{\text{P}}}$
Pressione del punto triplo dell'acqua	${\displaystyle 2.08469\cdot 10^{-109}\,p_{\text{P}}}$	${\displaystyle 1.32015\cdot 10^{-111}\,p_{\text{P}}}$
Temperatura del punto triplo dell'acqua	${\displaystyle 6.83457\cdot 10^{-30}\,\Theta _{\text{P}}}$	${\displaystyle 1.92800\cdot 10^{-30}\,\Theta _{\text{P}}}$
Densità dell'acqua	${\displaystyle 3.06320\cdot 10^{-92}\,\rho _{\text{P}}}$	${\displaystyle 1.93980\cdot 10^{-94}\,\rho _{\text{P}}}$
Calore specifico dell'acqua	${\displaystyle 1.86061\cdot 10^{18}\,c_{\text{P}}}$	${\displaystyle 6.59570\cdot 10^{18}\,c_{\text{P}}}$
Volume molare ideale (${\displaystyle V_{m}}$)	${\displaystyle 2.00522\cdot 10^{77}\,{\mathcal {V}}_{\text{P}}}$	${\displaystyle 8.93256\cdot 10^{78}\,{\mathcal {V}}_{\text{P}}}$
Carica elementare (${\displaystyle e}$)	${\displaystyle 3.02822\cdot 10^{-1}\,q_{\text{P}}}$	${\displaystyle 8.54245\cdot 10^{-2}\,q_{\text{P}}}$
Massa dell'elettrone (${\displaystyle m_{e}}$)	${\displaystyle 1.48368\cdot 10^{-22}\,m_{\text{P}}}$	${\displaystyle 4.18539\cdot 10^{-23}\,m_{\text{P}}}$
Massa del protone (${\displaystyle m_{p}}$)	${\displaystyle 2.72427\cdot 10^{-19}\,m_{\text{P}}}$	${\displaystyle 7.68502\cdot 10^{-20}\,m_{\text{P}}}$
Massa del neutrone (${\displaystyle m_{n}}$)	${\displaystyle 2.72802\cdot 10^{-19}\,m_{\text{P}}}$	${\displaystyle 7.69562\cdot 10^{-20}\,m_{\text{P}}}$
Massa atomica costante (${\displaystyle u}$)	${\displaystyle 2.70459\cdot 10^{-19}\,m_{\text{P}}}$	${\displaystyle 7.62951\cdot 10^{-20}\,m_{\text{P}}}$
Rapporto carica-massa dell'elettrone (${\displaystyle \xi _{e}}$)	${\displaystyle -2.04102\cdot 10^{21}\,q_{\,r_{\text{s}}}}$
Rapporto carica-massa del protone (${\displaystyle \xi _{e}}$)	${\displaystyle 1.11157\cdot 10^{18}\,q_{\,r_{\text{s}}}}$
giromagneto del protone (${\displaystyle \gamma _{p}}$)	${\displaystyle 3.10445\cdot 10^{18}\,\Theta _{\text{P}}}$
Momento magnetico dell'elettrone (${\displaystyle \mu _{e}}$)	${\displaystyle -1.02169\cdot 10^{21}\,{\mu _{d}}_{\text{P}}}$
Momento magnetico del protone (${\displaystyle \mu _{p}}$)	${\displaystyle 1.55223\cdot 10^{18}\,{\mu _{d}}_{\text{P}}}$
Costante di Faraday (${\displaystyle F}$)	${\displaystyle 3.02822\cdot 10^{-1}\,{q_{\text{P}}}N_{A}}$	${\displaystyle 8.54245\cdot 10^{-2}\,{q_{\text{P}}}N_{A}}$
Raggio di Bohr (${\displaystyle a_{0}}$)	${\displaystyle 9.23620\cdot 10^{23}\,l_{\text{P}}}$	${\displaystyle 3.27415\cdot 10^{24}\,l_{\text{P}}}$
Magnetone di Bohr (${\displaystyle \mu _{B}}$)	${\displaystyle 1.02051\cdot 10^{21}\,{\frac {{\bf {E}}_{\text{P}}}{{\bf {B}}_{\text{P}}}}}$
Flusso magnetico quantistico (${\displaystyle \varphi _{0}}$)	${\displaystyle 10.3744\,{\phi }_{\text{P}}^{E}}$	${\displaystyle 36.7762\,{\phi }_{\text{P}}^{E}}$
Raggio classico dell'elettrone (${\displaystyle r_{e}}$)	${\displaystyle 4.91840\cdot 10^{19}\,l_{\text{P}}}$	${\displaystyle 1.74353\cdot 10^{20}\,l_{\text{P}}}$
Lunghezza d'onda Compton dell'elettrone (${\displaystyle \lambda _{c}}$)	${\displaystyle 2.71873\cdot 10^{28}\,l_{\text{P}}}$	${\displaystyle 9.63763\cdot 10^{28}\,l_{\text{P}}}$
Costante di Rydberg (${\displaystyle R_{\infty }}$)	${\displaystyle 6.28727\cdot 10^{-28}\,l_{\text{P}}^{-1}}$	${\displaystyle 1.77361\cdot 10^{-28}\,l_{\text{P}}^{-1}}$
Costante di Josephson (${\displaystyle K_{J}}$)	${\displaystyle 9.63913\cdot 10^{-2}\,{\frac {1}{\phi _{\text{P}}t_{\text{P}}}}}$	${\displaystyle 2.71915\cdot 10^{-2}\,{\frac {1}{\phi _{\text{P}}t_{\text{P}}}}}$
Costante di von Klitzing (${\displaystyle R_{K}}$)	${\displaystyle 68.5180\,Z_{\text{P}}}$	${\displaystyle 861.023\,Z_{\text{P}}}$
Costante di Stefan-Boltzmann (${\displaystyle \sigma }$)	${\displaystyle 1.64493\cdot 10^{-1}\,{\frac {P_{\text{P}}}{l_{\text{P}}^{2}\,\Theta _{\text{P}}^{4}}}}$