In trigonometria , le formule di prostaferesi permettono di trasformare somme e differenze di funzioni trigonometriche di due angoli in un prodotto di funzioni trigonometriche.
La parola prostaferesi deriva dalla giustapposizione di due parole greche, prosthesis (πρόσθεσις) e aphairesis (ἀφαίρεσις), che significano rispettivamente "somma " e "sottrazione ".
Le formule di prostaferesi furono definite, nella forma attualmente nota, da Johann Werner agli inizi del XVI secolo, tuttavia è probabile che, almeno in parte, fossero già note in precedenza.[1]
Questa categoria di formule trigonometriche viene utilizzata poiché, in genere, conduce a una semplificazione dell'espressione trigonometrica studiata. Sono in particolare utili nella descrizione dei battimenti .
Le formule inverse delle formule di prostaferesi si chiamano formule di Werner , su cui si basa l'algoritmo di prostaferesi .
sin α + sin β = 2 sin α + β 2 cos α − β 2 {\displaystyle \sin \alpha +\sin \beta =2\,\sin {\frac {\alpha +\beta }{2}}\cos {\frac {\alpha -\beta }{2}}} Dimostrazione
La formula di partenza può essere riscritta come:
sin ( α + β 2 + α − β 2 ) + sin ( β + α 2 + β − α 2 ) {\displaystyle \sin \left({\frac {\alpha +\beta }{2}}+{\frac {\alpha -\beta }{2}}\right)+\sin \left({\frac {\beta +\alpha }{2}}+{\frac {\beta -\alpha }{2}}\right)} Da cui, utilizzando la formula di addizione per il seno , si ottiene:
sin α + β 2 cos α − β 2 + cos α + β 2 sin α − β 2 + sin β + α 2 cos β − α 2 + cos β + α 2 sin β − α 2 {\displaystyle \sin {\frac {\alpha +\beta }{2}}\cos {\frac {\alpha -\beta }{2}}+\cos {\frac {\alpha +\beta }{2}}\sin {\frac {\alpha -\beta }{2}}+\sin {\frac {\beta +\alpha }{2}}\cos {\frac {\beta -\alpha }{2}}+\cos {\frac {\beta +\alpha }{2}}\sin {\frac {\beta -\alpha }{2}}} Da cui, utilizzando le relazioni che legano le funzioni trigonometriche di angoli opposti, si ottiene:
sin α + β 2 cos α − β 2 + cos α + β 2 sin α − β 2 + sin β + α 2 cos α − β 2 − cos β + α 2 sin α − β 2 {\displaystyle \sin {\frac {\alpha +\beta }{2}}\cos {\frac {\alpha -\beta }{2}}+\cos {\frac {\alpha +\beta }{2}}\sin {\frac {\alpha -\beta }{2}}+\sin {\frac {\beta +\alpha }{2}}\cos {\frac {\alpha -\beta }{2}}-\cos {\frac {\beta +\alpha }{2}}\sin {\frac {\alpha -\beta }{2}}} Da cui, semplificando e raccogliendo, si ottiene:
2 sin α + β 2 cos α − β 2 {\displaystyle 2\sin {\frac {\alpha +\beta }{2}}\cos {\frac {\alpha -\beta }{2}}} sin α − sin β = 2 sin α − β 2 cos α + β 2 {\displaystyle \sin \alpha -\sin \beta =2\sin {\frac {\alpha -\beta }{2}}\,\cos {\frac {\alpha +\beta }{2}}} Dimostrazione
Si tratta in effetti della Prima formula calcolata cambiando il segno del secondo angolo. La formula di partenza può essere riscritta come:
sin ( α + β 2 + α − β 2 ) − sin ( β + α 2 + β − α 2 ) {\displaystyle \sin \left({\frac {\alpha +\beta }{2}}+{\frac {\alpha -\beta }{2}}\right)-\sin \left({\frac {\beta +\alpha }{2}}+{\frac {\beta -\alpha }{2}}\right)} Da cui, utilizzando la formula di addizione per il seno , si ottiene:
sin α + β 2 cos α − β 2 + cos α + β 2 sin α − β 2 − sin β + α 2 cos β − α 2 − cos β + α 2 sin β − α 2 {\displaystyle \sin {\frac {\alpha +\beta }{2}}\cos {\frac {\alpha -\beta }{2}}+\cos {\frac {\alpha +\beta }{2}}\sin {\frac {\alpha -\beta }{2}}-\sin {\frac {\beta +\alpha }{2}}\cos {\frac {\beta -\alpha }{2}}-\cos {\frac {\beta +\alpha }{2}}\sin {\frac {\beta -\alpha }{2}}} Da cui, utilizzando le relazioni che legano le funzioni trigonometriche di angoli opposti, si ottiene:
sin α + β 2 cos α − β 2 + cos α + β 2 sin α − β 2 − sin β + α 2 cos α − β 2 + cos β + α 2 sin α − β 2 {\displaystyle \sin {\frac {\alpha +\beta }{2}}\cos {\frac {\alpha -\beta }{2}}+\cos {\frac {\alpha +\beta }{2}}\sin {\frac {\alpha -\beta }{2}}-\sin {\frac {\beta +\alpha }{2}}\cos {\frac {\alpha -\beta }{2}}+\cos {\frac {\beta +\alpha }{2}}\sin {\frac {\alpha -\beta }{2}}} Da cui, semplificando e raccogliendo, si ottiene:
2 sin α − β 2 cos α + β 2 {\displaystyle 2\sin {\frac {\alpha -\beta }{2}}\cos {\frac {\alpha +\beta }{2}}} cos α + cos β = 2 cos α + β 2 cos α − β 2 {\displaystyle \cos \alpha +\cos \beta =2\cos {\frac {\alpha +\beta }{2}}\cos {\frac {\alpha -\beta }{2}}} Dimostrazione
La formula di partenza può essere riscritta come:
cos ( α + β 2 + α − β 2 ) + cos ( β + α 2 + β − α 2 ) {\displaystyle \cos \left({\frac {\alpha +\beta }{2}}+{\frac {\alpha -\beta }{2}}\right)+\cos \left({\frac {\beta +\alpha }{2}}+{\frac {\beta -\alpha }{2}}\right)} Da cui, utilizzando la formula di addizione per il coseno , si ottiene:
cos α + β 2 cos α − β 2 − sin α + β 2 sin α − β 2 + cos β + α 2 cos β − α 2 − sin β + α 2 sin β − α 2 {\displaystyle \cos {\frac {\alpha +\beta }{2}}\cos {\frac {\alpha -\beta }{2}}-\sin {\frac {\alpha +\beta }{2}}\sin {\frac {\alpha -\beta }{2}}+\cos {\frac {\beta +\alpha }{2}}\cos {\frac {\beta -\alpha }{2}}-\sin {\frac {\beta +\alpha }{2}}\sin {\frac {\beta -\alpha }{2}}} Da cui, utilizzando le relazioni che legano le funzioni trigonometriche di angoli opposti, si ottiene:
cos α + β 2 cos α − β 2 − sin α + β 2 sin α − β 2 + cos β + α 2 cos α − β 2 + sin β + α 2 sin α − β 2 {\displaystyle \cos {\frac {\alpha +\beta }{2}}\cos {\frac {\alpha -\beta }{2}}-\sin {\frac {\alpha +\beta }{2}}\sin {\frac {\alpha -\beta }{2}}+\cos {\frac {\beta +\alpha }{2}}\cos {\frac {\alpha -\beta }{2}}+\sin {\frac {\beta +\alpha }{2}}\sin {\frac {\alpha -\beta }{2}}} Da cui, semplificando e raccogliendo, si ottiene:
2 cos α + β 2 cos α − β 2 {\displaystyle 2\cos {\frac {\alpha +\beta }{2}}\cos {\frac {\alpha -\beta }{2}}} cos α − cos β = − 2 sin α + β 2 sin α − β 2 {\displaystyle \cos \alpha -\cos \beta =-2\,\sin {\frac {\alpha +\beta }{2}}\,\sin {\frac {\alpha -\beta }{2}}} Dimostrazione
La formula di partenza può essere riscritta come:
cos ( α + β 2 + α − β 2 ) − cos ( β + α 2 + β − α 2 ) {\displaystyle \cos \left({\frac {\alpha +\beta }{2}}+{\frac {\alpha -\beta }{2}}\right)-\cos \left({\frac {\beta +\alpha }{2}}+{\frac {\beta -\alpha }{2}}\right)} Da cui, utilizzando la formula di addizione per il coseno , si ottiene:
cos α + β 2 cos α − β 2 − sin α + β 2 sin α − β 2 − cos β + α 2 cos β − α 2 + sin β + α 2 sin β − α 2 {\displaystyle \cos {\frac {\alpha +\beta }{2}}\cos {\frac {\alpha -\beta }{2}}-\,\sin {\frac {\alpha +\beta }{2}}\sin {\frac {\alpha -\beta }{2}}-\cos {\frac {\beta +\alpha }{2}}\cos {\frac {\beta -\alpha }{2}}+\sin {\frac {\beta +\alpha }{2}}\sin {\frac {\beta -\alpha }{2}}} Da cui, utilizzando le relazioni che legano le funzioni trigonometriche di angoli opposti, si ottiene:
cos α + β 2 cos α − β 2 − sin α + β 2 sin α − β 2 − cos β + α 2 cos α − β 2 − sin β + α 2 sin α − β 2 {\displaystyle \cos {\frac {\alpha +\beta }{2}}\cos {\frac {\alpha -\beta }{2}}-\sin {\frac {\alpha +\beta }{2}}\sin {\frac {\alpha -\beta }{2}}-\cos {\frac {\beta +\alpha }{2}}\cos {\frac {\alpha -\beta }{2}}-\sin {\frac {\beta +\alpha }{2}}\sin {\frac {\alpha -\beta }{2}}} Da cui, semplificando e raccogliendo, si ottiene:
− 2 sin α + β 2 sin α − β 2 {\displaystyle -2\sin {\frac {\alpha +\beta }{2}}\sin {\frac {\alpha -\beta }{2}}} tan α ± tan β = sin ( α ± β ) cos α cos β c o n α , β ≠ ( 2 k + 1 ) π 2 ; k ∈ Z {\displaystyle \tan \alpha \pm \tan \beta ={\frac {\sin(\alpha \pm \beta )}{\cos \alpha \cos \beta }}\qquad \mathrm {con} \ \alpha ,\beta \neq (2k+1){\frac {\pi }{2}};k\in \mathbb {Z} } Dimostrazione
La formula di partenza può essere riscritta, in virtù della definizione di tangente , come:
sin α cos α ± sin β cos β {\displaystyle {\frac {\sin \alpha }{\cos \alpha }}\pm {\frac {\sin \beta }{\cos \beta }}} Da cui, giacché la condizione sugli angoli garantisce che i coseni non siano nulli:
sin α cos β cos α cos β ± sin β cos α cos β cos α {\displaystyle {\frac {\sin \alpha \cos \beta }{\cos \alpha \cos \beta }}\pm {\frac {\sin \beta \cos \alpha }{\cos \beta \cos \alpha }}} Da cui, raccogliendo il denominatore :
sin α cos β ± sin β cos α cos α cos β {\displaystyle {\frac {\sin \alpha \cos \beta \pm \sin \beta \cos \alpha }{\cos \alpha \cos \beta }}} Da cui, giacché il numeratore è il risultato delle formule di addizione e sottrazione per il seno , si ottiene per sostituzione:
sin ( α ± β ) cos α cos β {\displaystyle {\frac {\sin(\alpha \pm \beta )}{\cos \alpha \cos \beta }}} cot α ± cot β = sin ( β ± α ) sin α sin β c o n α , β ≠ k π ; k ∈ Z {\displaystyle \cot \alpha \pm \cot \beta ={\frac {\sin(\beta \pm \alpha )}{\sin \alpha \,\sin \beta }}\qquad \mathrm {con} \ \alpha ,\beta \neq k\pi ;k\in \mathbb {Z} } Dimostrazione
La formula di partenza può essere riscritta, in virtù della definizione di cotangente , come:
cos α sin α ± cos β sin β {\displaystyle {\frac {\cos \alpha }{\sin \alpha }}\pm {\frac {\cos \beta }{\sin \beta }}} Da cui, giacché la condizione sugli angoli garantisce che i seni non siano nulli:
cos α sin β sin α sin β ± cos β sin α sin β sin α {\displaystyle {\frac {\cos \alpha \,\sin \beta }{\sin \alpha \,\sin \beta }}\pm {\frac {\cos \beta \,\sin \alpha }{\sin \beta \,\sin \alpha }}} Da cui, raccogliendo il denominatore :
cos α sin β ± cos β sin α sin α sin β {\displaystyle {\frac {\cos \alpha \,\sin \beta \pm \cos \beta \,\sin \alpha }{\sin \alpha \,\sin \beta }}} Da cui, giacché il numeratore è il risultato delle formule di addizione e sottrazione per il seno , si ottiene per sostituzione:
sin ( β ± α ) sin α sin β {\displaystyle {\frac {\sin \left(\beta \pm \alpha \right)}{\sin \alpha \,\sin \beta }}} Tutte le formule di prostaferesi possono essere derivate algebricamente ricordando che per l'esponenziale complesso è valida la formula di Eulero . Se P {\displaystyle {\mathcal {P}}} è, indifferentemente, la funzione parte reale o immaginaria di un numero complesso , le formule di prostaferesi possono essere espresse come
P ( e i a ± e i b ) = P ( e i a 2 e i b 2 ( e i a − b 2 ± e − i a − b 2 ) ) {\displaystyle {\mathcal {P}}(e^{ia}\pm e^{ib})={\mathcal {P}}(e^{i{\frac {a}{2}}}e^{i{\frac {b}{2}}}(e^{i{\frac {a-b}{2}}}\pm e^{-i{\frac {a-b}{2}}}))} = P ( e i a + b 2 ( e i a − b 2 ± e − i a − b 2 ) ) {\displaystyle ={\mathcal {P}}(e^{i{\frac {a+b}{2}}}(e^{i{\frac {a-b}{2}}}\pm e^{-i{\frac {a-b}{2}}}))} In altre parole, data la somma di due numeri complessi di modulo unitario (in forma polare ), raccogliamo il numero complesso di argomento pari a metà angolo del primo e quello di argomento pari a metà angolo del secondo. Esprimiamo così la somma dei due numeri complessi come un (opportuno) prodotto di un numero complesso per un numero ( e i a − b 2 ± e − i a − b 2 {\displaystyle e^{i{\frac {a-b}{2}}}\pm e^{-i{\frac {a-b}{2}}}} ) puramente reale o puramente immaginario (a seconda del segno), come vedremo.
Ricordiamo che ℜ ( e i α ) = e i α + e − i α 2 = cos ( α ) {\displaystyle \Re (e^{i\alpha })={\frac {e^{i\alpha }+e^{-i\alpha }}{2}}=\cos(\alpha )} e ℑ ( e i α ) = e i α − e − i α 2 i = sin ( α ) {\displaystyle \Im (e^{i\alpha })={\frac {e^{i\alpha }-e^{-i\alpha }}{2i}}=\sin(\alpha )} , e sono operatori lineari . Dunque abbiamo due casi:
P ( e i a + e i b ) = 2 cos ( a − b 2 ) P ( e i a + b 2 ) {\displaystyle {\mathcal {P}}(e^{ia}+e^{ib})=2\cos \left({\frac {a-b}{2}}\right){\mathcal {P}}\left(e^{i{\frac {a+b}{2}}}\right)} per linearità, e equivalentemente
P ( e i a − e i b ) = 2 sin ( a − b 2 ) P ( i e i a + b 2 ) {\displaystyle {\mathcal {P}}(e^{ia}-e^{ib})=2\sin \left({\frac {a-b}{2}}\right){\mathcal {P}}\left(i\,e^{i{\frac {a+b}{2}}}\right)}